#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20210921文字稿, 详细内容请见视频讲解
(1)今天我们来讨论初等变换与矩阵方程的相关综合问题。

(2)A经若干次初等列变换得到矩阵B, 若利用矩阵乘法来表示, 相当于A右乘可逆阵P得到B, 即AP=B。这在之前初等变换与初等矩阵的讲解中已经给出了详细的分析。

(3)①第一问求常数a的值, 其实是考察r(A)和r(B)的关系。由AP=B且P可逆, 可知r(A)=r(B)。
②第二问求可逆矩阵P, 可以依据这里初等列变换的背景, 将可逆矩阵翻译为若干初等矩阵(对应由A到B所做的初等列变换)的乘积。我们既可以将每一步初等列变换的过程用初等阵表示出来(方法一); 也可以将A与E拼到一起做初等列变换, 待A变成B时, 原来E位置处的矩阵则正好是P矩阵(方法二)。
③本题还可以从矩阵方程的角度考虑, 相当于是AX=B型, 但是这里A, B均不可逆。此时应从线性方程组角度着手, 我们留待线性方程组部分讲解, 大家也可以参考2018年的真题。

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