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再补充了一下通解，以及求开方边长的三角形面积的时候，用到原来简单推导出来的改造的海伦公式。
所以更一般性的，其它边边长a，球半径b，另一边长：
DA=2a*((3b^2-a^2)/(4b^2-a^2))^0.5。
简单的空间想象口算就出来了2/3*6^0.5。
补上图形，方便需要看图的。
一个球里正放边长为1的等边三角形ABC，高AE=1/2*3^0.5，绕着底边BC抬起顶点A转动，到D接触到球就行，这时候正三角形DBC。DA就是所求的边。
球心O和底边BC平面的切圆，相交弦定理球心O到底边中点E距离也是OE=1/2*3^0.5，(1+x)(1-x)=1/2*1/2。
⚠️⚠️⚠️画图更明白了，这个球心到底边中点距离OE都不需要再求，直接想象过程中，没有仔细想过程。这个OE就是正三角形的高，抬起A过程中，A必然会过球心O。不过这个是对于这题的特例情况，如果球半径不是1，还是需要相交弦定理求一下。
两个顶点AD底边中点E球心O切圆平面，形成一个四边形ODEA，两边是正三角形的两个高DE=AE=1/2*3^0.5，两边是球心到顶点距离OD=OA=1，一条对角线OE是球心O到底边中点E距离也是1/2*3^0.5。
两个顶点AD距离，就是四边形另外一条对角线，AD=2/3*6^0.5。
这四边形是特殊的四边形，两组邻边相等的四边形叫做筝型，两对角线垂直。
四边形被球心那条对角线分成了两个一样的三角形，边长为1的边上OD的高为1/2*2^0.5，四边形面积=1*1/2*2^0.5=1/2*L*1/2*3^0.5，L=2/3*6^0.5。
口算都放大2倍更方便。
更一般性的，其它边边长2a，球半径2b。等边三角形高3^0.5*a，四边形一条对角线长OE=（4b^2-a^2)^0.5。2个全等的三角形，三边有两边是开方形式，三边分别为2b、3^0.5*a、(4b^2-a^2)^0.5，这时候以前改造的海伦公式派上用场了：
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改造一下三角形面积海伦公式： 16S^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2。 都是一些平方形式。对称性，可以对称交换abc字母。 特殊情况直角三角形a^2+b^2=c^2，那就成很简化的S=1/2a*b了，全等三角形a=b=c就是16S^2=3a^4。
所以有：
16S^2=4*3a^2*4b^2-((3a^2+4b^2-(4b^2-a^2))^2=48a^2*b^2-16a^4
S=a*(3b^2-a^2)^0.5
所以DA=2S/(1/2*OE)=4a*((3b^2-a^2)/(4b^2-a^2))^0.5
现在把放大2倍放回去，
所以更一般性的，其它边边长a，球半径b，另一边长：
DA=2a*((3b^2-a^2)/(4b^2-a^2))^0.5。
对于这题a=b=1，DA=2*(2/3)^0.5=2/3*6^0.5。
所以更一般性的，其它边边长a，球半径b，另一边长：
DA=2a*((3b^2-a^2)/(4b^2-a^2))^0.5。
简单的空间想象口算就出来了2/3*6^0.5。
补上图形，方便需要看图的。
一个球里正放边长为1的等边三角形ABC，高AE=1/2*3^0.5，绕着底边BC抬起顶点A转动，到D接触到球就行，这时候正三角形DBC。DA就是所求的边。
球心O和底边BC平面的切圆，相交弦定理球心O到底边中点E距离也是OE=1/2*3^0.5，(1+x)(1-x)=1/2*1/2。
⚠️⚠️⚠️画图更明白了，这个球心到底边中点距离OE都不需要再求，直接想象过程中，没有仔细想过程。这个OE就是正三角形的高，抬起A过程中，A必然会过球心O。不过这个是对于这题的特例情况，如果球半径不是1，还是需要相交弦定理求一下。
两个顶点AD底边中点E球心O切圆平面，形成一个四边形ODEA，两边是正三角形的两个高DE=AE=1/2*3^0.5，两边是球心到顶点距离OD=OA=1，一条对角线OE是球心O到底边中点E距离也是1/2*3^0.5。
两个顶点AD距离，就是四边形另外一条对角线，AD=2/3*6^0.5。
这四边形是特殊的四边形，两组邻边相等的四边形叫做筝型，两对角线垂直。
四边形被球心那条对角线分成了两个一样的三角形，边长为1的边上OD的高为1/2*2^0.5，四边形面积=1*1/2*2^0.5=1/2*L*1/2*3^0.5，L=2/3*6^0.5。
口算都放大2倍更方便。
更一般性的，其它边边长2a，球半径2b。等边三角形高3^0.5*a，四边形一条对角线长OE=（4b^2-a^2)^0.5。2个全等的三角形，三边有两边是开方形式，三边分别为2b、3^0.5*a、(4b^2-a^2)^0.5，这时候以前改造的海伦公式派上用场了：
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所以有：
16S^2=4*3a^2*4b^2-((3a^2+4b^2-(4b^2-a^2))^2=48a^2*b^2-16a^4
S=a*(3b^2-a^2)^0.5
所以DA=2S/(1/2*OE)=4a*((3b^2-a^2)/(4b^2-a^2))^0.5
现在把放大2倍放回去，
所以更一般性的，其它边边长a，球半径b，另一边长：
DA=2a*((3b^2-a^2)/(4b^2-a^2))^0.5。
对于这题a=b=1，DA=2*(2/3)^0.5=2/3*6^0.5。
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