形如姊妹,解法迥异
大罕

  有两道初中的几何题,她俩形如姊妹,解题方法却迥然不同.在此比较一番,以提高鉴别和解题能力.

  例1、如图1,在边长为4等边△ABC中,D是AC边中点,E是直线BD上一动点,线段EA绕着点E顺时针旋转60°得到EF,求DF的最小值.
  解析:因为D是定点,F是动点,可以先考察点F的运动轨迹.
  正三角形三边相等,三内角均为60°,这就为两三角形全等提供了极佳条件.
  观察△ACF和△ABE,有两边及夹角对应相等,故全等.
  所以∠ABE=∠ACF=30°,说明直线CF是固定的,即点F的轨迹是直线CF.
  过点D作CF的垂线段DG,则DG为最小值,如图2.
  在Rt△DCG中,DC=2,∠DCG=30°,所以DG=1,故DF的最小值为1.

  例2、如图3,在边长为4等边△ABC中,D是AC边中点,E是直线BC上一动点,线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到DF,求AF的最小值.
  解析:是否像上一题那样,先考察点F的轨迹呢?模仿上题寻找全等三角形,没有现成的.于是,为了充分利用正三角形的性质,所以添加辅助线,作EM⊥AC于M,FN⊥AC于N,易知△NDF≌△MED,如图4.

注意:∠FAN不是定角,这与例1不同,说明点F的轨迹并不是现成的直线.因此,此题必须另辟蹊径.

  为此,设EM=x,寻求AF是什么样的函数.
  在Rt△MEC中,∠MEC=30°,则MC=EM•tan30°=1/√3,
  ⑴当D在BC上时,如图4,
  FN=DM =DC-MC=2-(1/√3)x,AN=AD+DN=AD+EM=2+x,
  在Rt△AFN中,
  AF^2=FN^2+AN^2=[2-(1/√3)x]^2+(2+x)^2=(4/3)[x+(3-√3)/2]^2=4+2√3,
  此时AF^2没有最小值.

  ⑵当D在BC的延长线上时,如图5,
  FN=DM =DC+MC=2+(1/√3)x,AN=AD-DN=AD-EM=2-x,
  在Rt△AFN中,
  AF^2=FN^2+AN^2=[2+(1/√3)x]^2+(2-x)^2=(4/3)[x-(3-√3)/2]^2=4+2√3,
  当x=(3-√3)/2时,AF^2的最小值为4+2√3,
  AF的最小值为√(4+2√3)=1+√3.

  评论:求最值的问题,采用的方法因题而异,没有统一的方法.上面两个例子,乍看似乎差不多,沉下去分析不难知道两题的解法相去甚远. 

总的来说,解题方法大体可分几何法与代数法两种.例1用的是几何法,求的是定点到定直线上点的连线段长的最小值,关键是确定动点轨迹所在的直线.例2用的是代数法,求的是函数的最值,关键是列出相关函数的解析式.

例1适于初二,属于基础题.例2适于初三,属于提高题.例2需要讨论,还要面对复杂的二次函数,求它的最值.

#初中数学##中考#

得卧而息有音者,是阳明之逆也,足三阳者下行,今逆而上行,故息有音也。阳明者胃脉也,胃者六腑之海,其气亦下行,阳明逆不得从其道,故不得卧也。
    《下经》曰:胃不和则卧不安。此之谓也。夫起居如故而息有音者,此肺之络脉逆也,络脉不得随经上下,故留经而不行,络脉之病人也微,故起居如故而息有音也。夫不得卧卧则喘者,是水气之客也,夫水者循津液而流也,肾者水脏,主津液,主卧与喘也。

#那些逢人必推的百科全书#
南怀瑾经典阐释《金刚经》精华句
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1、如是灭度无量无数无边众生,实无众生得灭度者。
南怀瑾:佛教化救度了无量无数无边的众生,心里并没有说某一个众生是我度的,绝没有这个观念。
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2、若菩萨有我相、人相、众生相、寿者相,即非菩萨。
南怀瑾:一个学大乘菩萨道的人,心胸里头还有你、我、他,甚至给了人家好处时,这个家伙应该卖卖我的交情才对!这是世间法的作风,佛法没有,给了就给了,要像「事如春梦了无痕」一样的忘掉它。
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3、菩萨于法,应无所住行于布施,所谓不住色布施,不住声香味触法布施。
南怀瑾:是叫我们不要住在色相上布施,不要有对象的观念。譬如说要做一点功德,出一点钱,或者救济一个人,然后说救济了某一个人,那是住相布施。
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4、菩萨应如是布施,不住于相。
南怀瑾:一个学大乘菩萨道的人,应该是这个样子来布施来修行,应该不住相,一切现象不留,心中若留一点现象,已经不是学佛的境界了。
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5、不可以身相得见如来。
南怀瑾:佛是不可以形相来见的,拿形相来见佛,就错了。
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6、凡所有相,皆是虚妄。若见诸相非相,则见如来。
南怀瑾:凡是你有什么境界,都是假的;凡是你修得出来的,不修就没有了。若见诸相非相,你就见到佛了,见到佛的法身了。
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7、不应取法,不应取非法。
南怀瑾:你讲空也不对,不是佛法,执著有也不是佛法,非空非有也不对,即空即有也不是佛法。
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8、法尚应舍,何况非法。
南怀瑾:一切真正的佛法到了最后,像过了河的船,都要丢掉。何况一切不是法呢!
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9、无有定法,如来可说。
怀瑾:佛法在哪里?不一定在佛经上啊!世间法皆是佛法……所以大家不要把学佛的精神和生活与现实人生分开。
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10、如来所说法,皆不可取、不可说,非法、非非法。
南怀瑾:如来所说法,你也不可抓住!你听了他老人家的话,认为这样就对,那你就上了你自己的当了……说得出来的,表达得出来的,已经不是它了。
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11、一切贤圣,皆以无为法而有差别。
南怀瑾:这是佛法的精神,它不像其他的宗教,否定自己以外的宗教,佛法是承认一切的宗教,一切的大师,乃至到了华严境界,连一切的魔王邪王都对了一点。
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12、所谓佛法者,即非佛法。
南怀瑾:真正的佛不认为自己是佛,真正的圣人,不认为自己是圣人,所以真正的佛法即非佛法。如果你有一个佛法的观念存在,你已经著相了,说得好听是著相了,不好听是著魔了。
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13、应如是生清净心,不应住色生心,不应住声香味触法生心,应无所住而生其心。
南怀瑾:真正的清净心,不是有个光,有个境界,而是不住色,不住声香味触法,他说真正的修行,应无所住而生其心。应该随时随地无所住,坦坦然,物来则应,过去不留。
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14、如来说世界,非世界,是名世界。
南怀瑾:佛告诉你,这个世界一个一个灰尘,一粒一粒灰尘,一个分子一个分子,组合拢来,构成了一个物理世界。你把地球物理世界打烂了,分析了,本来就是空的,没有世界的存在。
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15、离一切诸相,则名诸佛。
南怀瑾:离开了一切的相就是佛,这是真正的佛。
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16、菩萨应离一切相,发阿耨多罗三藐三菩提心。
南怀瑾:这就是学佛的精神,换句话说,不要被一切现象骗了,或迷惑了……大乘菩萨走大乘的路,应该离一切相,发起求大彻大悟菩提之心。(阿耨多罗三藐三菩提,意为“无上正等正觉”)
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17、若心有住,则为非住。
南怀瑾:若心有住,可以训练意识专一,比较能够宁静,但是认为这个有相的……所以若心有住,即为非住,这是最好的观心法门。
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18、如来说一切诸相,即是非相。又说一切众生,即非众生。
南怀瑾:不要著相,那一相都是停留不住的,都是非相……再进一步说,不但无我,也无人,也无众生。
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19、如来是真语者、实语者、如语者、不诳语者、不异语者。
南怀瑾:佛说法是真实的,不说假话,说的是老实话,实实在在,是什么样子就说什么样子。
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20、如来所得法,此法无实无虚。
南怀瑾:无实,没有个东西;无虚,但是不假的。所以形而上的道理,真正的佛法,不真不假,也就是金刚经的中心重点,这里已经全部点出来了。
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21、当生如是心,我应灭度一切众生。灭度一切众生已,而无有一众生实灭度者。
南怀瑾:学佛的人发心度一切众生,救了这个世界一切众生,心中一概不留,认为是应该做的事,这就是菩萨道,是菩萨发心。
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22、如来者,即诸法如义。
南怀瑾:世间一切法,都是佛法,没有哪一点法不是佛法……随时随地的任何一颗灰尘,清净的地方,脏的地方,处处佛在现前,这就是如来。
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23、实无有法,佛得阿耨多罗三藐三菩提。
南怀瑾:真正的佛法,并没有个固定的东西,你如果得到一个固定的东西就是错了。实实在在没有一个东西,身体都没有了,连感觉都没有了,所以五蕴皆空,连光也没有,色相也没有,一切都不可得,这个时候就是阿耨多罗三藐三菩提,大彻大悟。
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24、如来说:一切法皆是佛法。所言一切法者,即非一切法,是故名一切法。
南怀瑾:什么叫一切法?一切法皆空嘛!……这是一个观念问题,观念说有一个法就有了,观念说空就空了。
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25、一切法无我,无人、无众生、无寿者。
南怀瑾:空灵的,广大的,一切都不著的,一切都不住的。
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26、若菩萨通达无我法者,如来说名真是菩萨。
南怀瑾:学佛的第一步,学到身见忘掉了……要真正内在身心皆亡,达到无我才对……但是有了一个人无我,还有一个法在喔!最后要法无我……到了法无我,叫做人法二无我,到达了就成佛。最后连空也空,空也不存在。
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27、如来说诸心,皆为非心,是名为心。
南怀瑾:这一切人的心啊,都不是心。他并没有说这一切人不是人心啊!众生的心还不只是人的心,包括狗啊,牛啊,蚂蚁啊,小昆虫这一切生命,都不是心……叫它是心。
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28、过去心不可得,现在心不可得,未来心不可得。
南怀瑾:一切都不是心,众生一切的心都在变化中,像时间一样,像物理世界一样,永远不会停留,永远把握不住,永远是过去的……我们刚说一声未来。它已经变成现在了,正说现在的时候,已经变成过去了。
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29、如来不应以具足诸相见。
南怀瑾:千万不可以著相,你不要以有形的观念来看佛。
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30、说法者,无法可说,是名说法。
南怀瑾:经三藏十二部所说的也都是教育法。教育法只限于教育法,教育的目的是使你懂得那个东西,如果抓住老师的教育法当成学问就错了。
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31、是法平等,无有高下。
南怀瑾:八万四千法门,念佛也好,修密宗也好,参禅也好,修止观也好,甚至于说修旁门左道也好,以华严境界看来,都能成就。真正的佛法是平等,无有高下的。
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32、以无我、无人、无众生、无寿者,修一切善法,即得阿耨多罗三藐三菩提。
南怀瑾:我们之所以觉得有烦恼,有人我,有众生,是因人我分别而来;把我相,我见一空以后,平等性智出来,再看一切众生都是一律平等……但是要修一切的善,才能证得空。
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33、实无有众生如来度者。若有众生如来度者。如来即有我人众生寿者。
南怀瑾:世界上实实在在没有一个众生须要佛来度的……如果有人因我度他而成了佛,这个佛就不是佛了,而是个非常普通的人,因为这个佛已经是有我相、人相、众生相、寿者相的人了。
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34、若以色见我,以音声求我,是人行邪道,不能见如来。
南怀瑾:所讲的是色、声都不能见道,也就是整个金刚经上所讲的不能著相。学佛法著相了,就不能见得法身。人相、我相、众生相、寿者相是四大原则,任何的著相,都不能见得法身,所以说以色见我,以音声求我,都错了。
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35、知一切法无我,得成于忍。
南怀瑾:真正知道了一切法无我的时候,达到了无我的境界,自然达到了无生法忍的境界。(无生法忍:佛自己说,过去修忍辱波罗密的时候,被歌利王割截身体,没有动过怨恨的心,只有慈悲的念,因此他没有觉得痛苦……这是定,这是无生法忍,这也是般若,也就是悟的境界。)
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36、所作福德,不应贪著。
南怀瑾:虽然有福德,自己并不贪著,有好处,自己并不领受,而回向给世界一切众生,愿这个世界一切众生受这个好处,自己不想要。
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37、如来者,无所从来,亦无所去,故名如来。
南怀瑾:譬如电灯,电风扇,把开关一打开,这个电来了,但是看不见电,只感觉到光,感觉有风,电来了没有?来过了,好像没有来,它又消散了。电去了没有?去了,好像没有去,再发动它又来了,它是不来也不去,不生也不死。
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38、于一切法,应如是知,如是见,如是信解,不生法相。
南怀瑾:理性上清楚了,才是不迷信。如果佛法的教理都没有弄清楚,情执化跑来学佛参禅,全是迷信!所以把知见搞清楚了,如是信,才是正信。如是解,正信以后,由这样去理解它,这才是理性的。学佛修道是理性的,不是情感的,不是盲目的迷信,是理性的如是信解。  
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39.不取于相,如如不动。
南怀瑾:不要著相,尽管在说佛法,始终没有一点佛味,不像那些佛油子,而是很平凡,很平静;尽管在讲金刚经,没有一点金刚钻的味道,如如不动。什么是如如不动呢?不生法相,善护念,无所住。
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40.一切有为法,如梦幻泡影,如露亦如电,应作如是观。
南怀谨:我们生活的世界如梦幻般地不实在,佛经以泡、影、露、电、水中月、空中花、镜中相、阳焰、海市蜃楼来作比喻。除了梦幻观的修法外,另外就是透过理性的认识,了解我们的人生是虚幻不实的,真正的修持不是什么观、什么法,而是大智慧,用智慧观察一切如梦如幻。
故:若诸菩萨唯灭诸幻,不取作用,独断烦恼,烦恼断尽,便证实相,此菩萨者,名单修禅那。


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