【歌手艾米尔的新专辑《unchild》即将发行】日本歌手艾米尔的新专辑《unchild》将于2014年6月25日发行。除了新歌《unchild》和英文版的《mobile fighter up UC》主题曲《starringchild》和《re:I am》由aimer演唱外，还有几首插入的歌曲《mobile fighter up UC》，如小野弘的《ego》。[冰雪奇缘艾莎][黑豹][下雨]
镁合金材料的发展历程是怎么样的？
1833年， araday 首先使用电解法将镁从氯化镁中还原出来。
1852年，德国科学家 Robert Bunsen 建立一个电解单元，为目前电解无水氯化镁单元的前身。
第一次世界大战期间，因飞机对铝合金的需求大增，连带产生镁合金的需求，使得当时全球镁的年产量达到3000-5000吨。
1927年，高强度镁合金MgAl9Zn( 即现在还广泛应用的镁合金 AZ91)诞生，这是镁合金发展史上的一个划时代标志。
1930年间，德国 Alder 工厂在一辆汽车上采用了73.8kg的镁合金，为第一次应用于汽车零组件的创举。
1935年，苏联的飞机设计师在其飞机的金属材料中，也采用了80%的镁合金。随后，德国福斯汽车于1936年将金龟车上的传动系统零组件采用镁制品，成为全球第一个量产镁制零组件的公司。
1941年，L.M.Pidgeon 在加拿大发明了硅铁还原制程。
1951年，Norsk Hydro 建立了 I.G.制镁工厂，并以此技术成为全球最大的镁供货商。
1960年代，人们开始尝试高性能轿车的镁合金轮圈，但由于 AZ91 合金的延性太低，因此早期第一批轮圈是用AZ81，并采用砂型或低压铸造的方法制造，并加以热处理。但是，为了满足对轻质轮圈的不断高涨的需求，Dow、Fiat 和 Cromodora 于1966 年共同开发 AM60合金，结果证明十分符合轮圈的需求。
1970年代中期，镁合金在汽车上的用量因为福斯公司停止镁合金在金龟车上的应用而开始回落，当时很多人基于价格不稳定、成形困难和耐蚀性能低等方面的考虑，认为镁合金压铸件不可能成为未来汽车的最好选择。但是到70年代末，随着国际性能源危机的临近，汽车工业再次将投资的焦点转向了轻质的镁合金材料。美国和德国政府也参与进来，组织了一系列的研究项目，以达到减轻汽车重量、节省能源的目的。
到了1980年代，镁合金材料因为发现 Fe、Ni、Cu 等杂质元素以及Fe与 Mn的比例对镁合金耐蚀性的影响非常之大，为此而开发了高纯度的新一代的压铸镁合金AZ91D 等，使得耐蚀性能比原来的AZ91A、AZ91B、AZ91C提高10倍以上，并在耐盐雾腐蚀能力方面超过了铝合金A380。另外，因为与冷室压铸机匹配的镁合金熔炼技术的日臻成熟与进步，使得1980年代镁合金得到快速应用。尤其北美地区在“平均燃油标准”的要求下，政府和社会投入大量的人力和物力研究，积极推动汽车业中镁合金压铸件的应用，使得采用镁合金来减轻汽车重量成为一个发展的重点。
1993年，在美国能源部的支持下，由福特、通用和克来斯勒组成的三大汽车集团联合制定了 PNGV计划，积极开发汽车业需求的镁合金零组件。而德国也于1996年推动MADICA计划，大幅提升镁在汽车上的应用。
1996年，镁合金也开始应用在3C产品上，如日本SONY公司在1996年将镁合金应用于手提式摄录像机外壳及VAIO 笔记本电脑外壳， Toshiba 公司则将镁合金应用于笔记本电脑外壳；之后，受到家电回收法的限制下，镁合金在电子、计算机及通信产品外壳的使用量更显著地增加。
我国镁工业起步较晚，1957年，抚顺铝厂建成一条3000吨/年的镁生产线，采用电解法工艺，从而结束了中国不能生产金属镁的历史。70年代初，民和镁厂开始建设。1989年，该厂产能为4000吨的电解法炼镁系统正式建成投产。遵义钛厂也在此期间建成并投产，产能大约为3000吨/年。这种状况一直持续到了1987年，之间中国的镁需求50%以上仍依赖进口。这个阶段是中国镁工业的起步期，跨度较大，产能大约维持在10000吨，工艺全部采用电解法。
从80年代后期到90年代中期，由于我国在70年代在热法炼镁方面取得的一些新的科研成果开始推广利用，使得很多镁厂陆陆续续开始投资建设，但规模普遍偏小，从500吨/年到3000吨/年不等。1995年我国第三次全国工业普查报告称，我国的镁产量大约在93593吨左右，其中河南省最多，其次是山西省。
从1995到1999年初，是镁工业曲折发展，不断调整和深加工开始发展的时期。
1995年5月，美国对我国实行反倾销制裁，对纯镁征收108.26%的反倾销税。镁国际市场价格开始下跌，延续到1996年底，造成大量镁厂关闭和破产，行业进入第一轮调整期，全国镁产量有所下降。1996年全国的镁产量大约为73000吨。1997年，中国镁产量开始再次恢复增长，当年大约生产了92000吨的原镁，产能则为180000吨/年。是年，印度开始对中国产所有镁产品征收反倾销税。
1998年，欧盟开始对产于中国的纯镁征收31.7%的反倾销税，产业又一次开始大规模的调整。其时全国镁生产企业约有120家左右，产能大约在200000吨/年，产量也达到了120000吨。国内消费开始起步。据当年了解，上海乾通汽车附件有限公司已开始向上海大众汽车提供镁制压铸件，每年消耗约3000吨的镁合金。
1999年中期，国土资源部和国家经济贸易委员会联合发布包括“镁冶炼项目”的禁止供地目录，显示了国家对调整镁产业结构，控制镁冶炼无序建设和生产的关注。
从1999年开始，世界镁工业进入一个大发展时期，除中国以外其他国家的原镁改扩建和新增项目达到了35个以上，其中澳大利亚就有26个。在中国，一些大型企业开始扩建，下游加工，特别是镁粉项目出现过热状况，国内的研发也开始进入一个高潮。由于担心欧盟提高反倾销税税率，企业竞相压价出口，迫使一些成本不占优势的企业退出镁市场，而产能则开始进一步向山西和宁夏集中。
2000年8月，美国国际贸易委员会宣布，继续对中国产纯镁征收108.23%的反倾销税；10月，欧盟宣布，对来自中国的镁锭和“假镁合金”征收63.4%的反倾销税，或执行2622欧元/吨的限价。市场更加狭小，意味着竞争将更加惨烈，大多企业都处于亏损或微利状态，当年镁产量达到了约200000吨左右。从2000年已经开始，中国镁行业进入第三轮调整。这是一场耐力的比赛，最终经过2001年市场血洗的企业，目前基本上已经成为生产和出口的主力军。2001年9月，美国开始对中国产粒状镁征收306.56%的反倾销税。
2007年之前，原镁价格一直在2万元以下徘徊。2007年5月以来，由于奥运会停产、国际炒家的炒作、以及相传的中国制造航空母舰需要大量的镁转换钛金属等原因，国内外镁锭价格疯狂上涨，2008年6月镁价已经达到3.8万元/吨，甚至超过镁合金的售价。奥运会前，镁价开始急速下跌，加上金融危机的到来，国际镁价回落到2万元以下的水平。镁价的大幅波动，给刚刚起步的中国镁合金压铸业带来了沉重的打击。
镁合金的发展历史就是一部稀土镁合金的研发历史，早在20世纪30年代就已经发现稀土对于提高镁合金的性能具有重大作用。但国外出于缺乏稀土资源以及使用稀土价格昂贵等方面的考虑，曾经开发了系列不含有稀土，而含有Si、Ca、Sr 合金的耐热镁合金，然而其综合性能远远低于含有稀土的镁合金。例如，含有稀土的AE42 镁合金具有良好的抗高温蠕变性能，在同等测试条件下比不含有稀土的AS21 耐热镁合金的蠕变强度几乎提高了一倍。
随着合金技术和铸造工艺不断改善，通过加入稀土等元素后，稀土镁合金能够克服普通镁合金的强度和抗高温蠕变性能较差的应用缺陷，在流动性、成型能力、抗裂变能力等多方面表现出较普通镁合金明显的性能与质量优势。
与普通镁合金相比，含有稀土的镁合金在阻燃、提高机械性能、耐腐蚀性能以及抗高温蠕变性能等方面都有明显改善。国内外研究结果表明，稀土元素多呈三价，可用以增强镁（呈二价）原子间的结合力，减少原子扩散速度；部分稀土元素在镁中有较大固溶度（钇为12.6%、钪为24.9%），可以实现固溶强化、沉淀强化，以提高合金性能；部分稀土元素（如铈和镧等）与镁、铝和其他合金元素（如锌、锆、锰等）形成高熔点、热稳定性好的金属间化合物，可以实现弥散强化，从而提高耐热、抗高温蠕变等性能。同时，稀土元素在镁合金熔炼过程中具有净化、细化和合金化作用。
1833年， araday 首先使用电解法将镁从氯化镁中还原出来。
1852年，德国科学家 Robert Bunsen 建立一个电解单元，为目前电解无水氯化镁单元的前身。
第一次世界大战期间，因飞机对铝合金的需求大增，连带产生镁合金的需求，使得当时全球镁的年产量达到3000-5000吨。
1927年，高强度镁合金MgAl9Zn( 即现在还广泛应用的镁合金 AZ91)诞生，这是镁合金发展史上的一个划时代标志。
1930年间，德国 Alder 工厂在一辆汽车上采用了73.8kg的镁合金，为第一次应用于汽车零组件的创举。
1935年，苏联的飞机设计师在其飞机的金属材料中，也采用了80%的镁合金。随后，德国福斯汽车于1936年将金龟车上的传动系统零组件采用镁制品，成为全球第一个量产镁制零组件的公司。
1941年，L.M.Pidgeon 在加拿大发明了硅铁还原制程。
1951年，Norsk Hydro 建立了 I.G.制镁工厂，并以此技术成为全球最大的镁供货商。
1960年代，人们开始尝试高性能轿车的镁合金轮圈，但由于 AZ91 合金的延性太低，因此早期第一批轮圈是用AZ81，并采用砂型或低压铸造的方法制造，并加以热处理。但是，为了满足对轻质轮圈的不断高涨的需求，Dow、Fiat 和 Cromodora 于1966 年共同开发 AM60合金，结果证明十分符合轮圈的需求。
1970年代中期，镁合金在汽车上的用量因为福斯公司停止镁合金在金龟车上的应用而开始回落，当时很多人基于价格不稳定、成形困难和耐蚀性能低等方面的考虑，认为镁合金压铸件不可能成为未来汽车的最好选择。但是到70年代末，随着国际性能源危机的临近，汽车工业再次将投资的焦点转向了轻质的镁合金材料。美国和德国政府也参与进来，组织了一系列的研究项目，以达到减轻汽车重量、节省能源的目的。
到了1980年代，镁合金材料因为发现 Fe、Ni、Cu 等杂质元素以及Fe与 Mn的比例对镁合金耐蚀性的影响非常之大，为此而开发了高纯度的新一代的压铸镁合金AZ91D 等，使得耐蚀性能比原来的AZ91A、AZ91B、AZ91C提高10倍以上，并在耐盐雾腐蚀能力方面超过了铝合金A380。另外，因为与冷室压铸机匹配的镁合金熔炼技术的日臻成熟与进步，使得1980年代镁合金得到快速应用。尤其北美地区在“平均燃油标准”的要求下，政府和社会投入大量的人力和物力研究，积极推动汽车业中镁合金压铸件的应用，使得采用镁合金来减轻汽车重量成为一个发展的重点。
1993年，在美国能源部的支持下，由福特、通用和克来斯勒组成的三大汽车集团联合制定了 PNGV计划，积极开发汽车业需求的镁合金零组件。而德国也于1996年推动MADICA计划，大幅提升镁在汽车上的应用。
1996年，镁合金也开始应用在3C产品上，如日本SONY公司在1996年将镁合金应用于手提式摄录像机外壳及VAIO 笔记本电脑外壳， Toshiba 公司则将镁合金应用于笔记本电脑外壳；之后，受到家电回收法的限制下，镁合金在电子、计算机及通信产品外壳的使用量更显著地增加。
我国镁工业起步较晚，1957年，抚顺铝厂建成一条3000吨/年的镁生产线，采用电解法工艺，从而结束了中国不能生产金属镁的历史。70年代初，民和镁厂开始建设。1989年，该厂产能为4000吨的电解法炼镁系统正式建成投产。遵义钛厂也在此期间建成并投产，产能大约为3000吨/年。这种状况一直持续到了1987年，之间中国的镁需求50%以上仍依赖进口。这个阶段是中国镁工业的起步期，跨度较大，产能大约维持在10000吨，工艺全部采用电解法。
从80年代后期到90年代中期，由于我国在70年代在热法炼镁方面取得的一些新的科研成果开始推广利用，使得很多镁厂陆陆续续开始投资建设，但规模普遍偏小，从500吨/年到3000吨/年不等。1995年我国第三次全国工业普查报告称，我国的镁产量大约在93593吨左右，其中河南省最多，其次是山西省。
从1995到1999年初，是镁工业曲折发展，不断调整和深加工开始发展的时期。
1995年5月，美国对我国实行反倾销制裁，对纯镁征收108.26%的反倾销税。镁国际市场价格开始下跌，延续到1996年底，造成大量镁厂关闭和破产，行业进入第一轮调整期，全国镁产量有所下降。1996年全国的镁产量大约为73000吨。1997年，中国镁产量开始再次恢复增长，当年大约生产了92000吨的原镁，产能则为180000吨/年。是年，印度开始对中国产所有镁产品征收反倾销税。
1998年，欧盟开始对产于中国的纯镁征收31.7%的反倾销税，产业又一次开始大规模的调整。其时全国镁生产企业约有120家左右，产能大约在200000吨/年，产量也达到了120000吨。国内消费开始起步。据当年了解，上海乾通汽车附件有限公司已开始向上海大众汽车提供镁制压铸件，每年消耗约3000吨的镁合金。
1999年中期，国土资源部和国家经济贸易委员会联合发布包括“镁冶炼项目”的禁止供地目录，显示了国家对调整镁产业结构，控制镁冶炼无序建设和生产的关注。
从1999年开始，世界镁工业进入一个大发展时期，除中国以外其他国家的原镁改扩建和新增项目达到了35个以上，其中澳大利亚就有26个。在中国，一些大型企业开始扩建，下游加工，特别是镁粉项目出现过热状况，国内的研发也开始进入一个高潮。由于担心欧盟提高反倾销税税率，企业竞相压价出口，迫使一些成本不占优势的企业退出镁市场，而产能则开始进一步向山西和宁夏集中。
2000年8月，美国国际贸易委员会宣布，继续对中国产纯镁征收108.23%的反倾销税；10月，欧盟宣布，对来自中国的镁锭和“假镁合金”征收63.4%的反倾销税，或执行2622欧元/吨的限价。市场更加狭小，意味着竞争将更加惨烈，大多企业都处于亏损或微利状态，当年镁产量达到了约200000吨左右。从2000年已经开始，中国镁行业进入第三轮调整。这是一场耐力的比赛，最终经过2001年市场血洗的企业，目前基本上已经成为生产和出口的主力军。2001年9月，美国开始对中国产粒状镁征收306.56%的反倾销税。
2007年之前，原镁价格一直在2万元以下徘徊。2007年5月以来，由于奥运会停产、国际炒家的炒作、以及相传的中国制造航空母舰需要大量的镁转换钛金属等原因，国内外镁锭价格疯狂上涨，2008年6月镁价已经达到3.8万元/吨，甚至超过镁合金的售价。奥运会前，镁价开始急速下跌，加上金融危机的到来，国际镁价回落到2万元以下的水平。镁价的大幅波动，给刚刚起步的中国镁合金压铸业带来了沉重的打击。
镁合金的发展历史就是一部稀土镁合金的研发历史，早在20世纪30年代就已经发现稀土对于提高镁合金的性能具有重大作用。但国外出于缺乏稀土资源以及使用稀土价格昂贵等方面的考虑，曾经开发了系列不含有稀土，而含有Si、Ca、Sr 合金的耐热镁合金，然而其综合性能远远低于含有稀土的镁合金。例如，含有稀土的AE42 镁合金具有良好的抗高温蠕变性能，在同等测试条件下比不含有稀土的AS21 耐热镁合金的蠕变强度几乎提高了一倍。
随着合金技术和铸造工艺不断改善，通过加入稀土等元素后，稀土镁合金能够克服普通镁合金的强度和抗高温蠕变性能较差的应用缺陷，在流动性、成型能力、抗裂变能力等多方面表现出较普通镁合金明显的性能与质量优势。
与普通镁合金相比，含有稀土的镁合金在阻燃、提高机械性能、耐腐蚀性能以及抗高温蠕变性能等方面都有明显改善。国内外研究结果表明，稀土元素多呈三价，可用以增强镁（呈二价）原子间的结合力，减少原子扩散速度；部分稀土元素在镁中有较大固溶度（钇为12.6%、钪为24.9%），可以实现固溶强化、沉淀强化，以提高合金性能；部分稀土元素（如铈和镧等）与镁、铝和其他合金元素（如锌、锆、锰等）形成高熔点、热稳定性好的金属间化合物，可以实现弥散强化，从而提高耐热、抗高温蠕变等性能。同时，稀土元素在镁合金熔炼过程中具有净化、细化和合金化作用。
【跃远】公务员/银行校招笔试行测技巧：乘法原理
乘法原理，是指乘法的运算结果成为积，是数学概率方面的基本原理。
比如，做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
例：从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线（设为a，b，c），从C城到B城共有2条路线（设为m，t），那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct
下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用
例1：利用数字1，2，3，4，5共可组成
⑴多少个数字不重复的三位数？
⑵多少个数字不重复的三位偶数？
⑶多少个数字不重复的偶数？
解：⑴百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数
⑵先选个位数，共有两种选择：2或4在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数
⑶分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54
三位偶数由上述⑵中求得为24个
四位偶数共有2×（4×3×2)=48个括号外面的2表示个位数有2种选择（2或4）
五位偶数共有2×（4×3×2×1)=48个
由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130
例2：从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
解法1：将符合要求的自然数分为以下三类：
⑴一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个
⑵二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，9 8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个
⑶三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个
因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个
解法2：将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有3×9×9-1=242（个）
例3：在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解：不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0使之成为四位数
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9=6561，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6561+1=6562（算上0），于是，小于10000且含有数字1的自然数共有10000-6562=3438个
例4：求正整数1400的正因数的个数
解：因为任何一个正整数的任何一个正因数（除1外）都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=2×2×2×5×5×7
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到（有的可重复）于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
⑴取2×2×2的正因数是1，2，2×2，2×2×2，共3+1种；『注：1表示取0个；2表示取1个2；2×2表示取2个2；2×2×2表示取3个2下面同理』
⑵取5×5的正因数是1，5，5×5，共2+1种；
⑶取7的正因数是1，7，共1+1种
所以1400的正因数个数为（3+1）×（2+1）×（1+1)=24
说明：利用本题的方法，可得如下结论：
若将正整数a分解成质因数pi（i=1，2，…，r）的连乘积时，其中质因数pi的个数是ai（i=1，2，…，r），则正整数a的不同的正因数的个数是(a1+1)×(a2+1）×…×（ar+1）
例5：求五位数中至少出现一个6，且能被3整除的数的个数
⑴从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有3×10×10×10=3000（个）
⑵最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能（因为a5不能等于6），a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能，根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700（个）
⑶最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430（个）
⑷最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
⑸a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504（个）
例6：在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，有多少种不同的剪法？
解：我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头
凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的于是，边框上（不是角）的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个
第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头（即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右），所以，这类凸字形有4×（4×4)=64（个）
由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法
乘法原理，是指乘法的运算结果成为积，是数学概率方面的基本原理。
比如，做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
例：从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线（设为a，b，c），从C城到B城共有2条路线（设为m，t），那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct
下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用
例1：利用数字1，2，3，4，5共可组成
⑴多少个数字不重复的三位数？
⑵多少个数字不重复的三位偶数？
⑶多少个数字不重复的偶数？
解：⑴百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数
⑵先选个位数，共有两种选择：2或4在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数
⑶分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54
三位偶数由上述⑵中求得为24个
四位偶数共有2×（4×3×2)=48个括号外面的2表示个位数有2种选择（2或4）
五位偶数共有2×（4×3×2×1)=48个
由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130
例2：从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
解法1：将符合要求的自然数分为以下三类：
⑴一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个
⑵二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，9 8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个
⑶三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个
因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个
解法2：将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有3×9×9-1=242（个）
例3：在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解：不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0使之成为四位数
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9=6561，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6561+1=6562（算上0），于是，小于10000且含有数字1的自然数共有10000-6562=3438个
例4：求正整数1400的正因数的个数
解：因为任何一个正整数的任何一个正因数（除1外）都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=2×2×2×5×5×7
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到（有的可重复）于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
⑴取2×2×2的正因数是1，2，2×2，2×2×2，共3+1种；『注：1表示取0个；2表示取1个2；2×2表示取2个2；2×2×2表示取3个2下面同理』
⑵取5×5的正因数是1，5，5×5，共2+1种；
⑶取7的正因数是1，7，共1+1种
所以1400的正因数个数为（3+1）×（2+1）×（1+1)=24
说明：利用本题的方法，可得如下结论：
若将正整数a分解成质因数pi（i=1，2，…，r）的连乘积时，其中质因数pi的个数是ai（i=1，2，…，r），则正整数a的不同的正因数的个数是(a1+1)×(a2+1）×…×（ar+1）
例5：求五位数中至少出现一个6，且能被3整除的数的个数
⑴从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有3×10×10×10=3000（个）
⑵最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能（因为a5不能等于6），a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能，根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700（个）
⑶最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430（个）
⑷最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
⑸a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504（个）
例6：在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，有多少种不同的剪法？
解：我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头
凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的于是，边框上（不是角）的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个
第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头（即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右），所以，这类凸字形有4×（4×4)=64（个）
由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法
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