【#浙江#—— #数字经济# 助推高质量发展】9月26日至28日，2021年世界互联网大会乌镇峰会将在乌镇召开。近年来，浙江积极把办会优势转化为发展胜势，数字经济助推#高质量发展#，取得积极进展。In recent years, Zhejiang Province, an e-commerce heartland in east China, has made positive progress in driving high-quality economic and social development through its thriving digital economy.
https://t.cn/A6M5wmUh
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当n≥5时，交错群(alternating group)An是单群 (simple group)。单群指不是平凡群{e}，且没有{e}与其自身以外的正规子群的群，单群在群中的地位相当于素数在数中的地位。伽罗瓦首先证明了该定理，并由此出发证明五次及以上方程一般无根式解。Artin书中给出的证明如下（本人根据自己的理解补充了些细节）：
引理1：n≥3时，An由3循环生成。
证明：任意p∈An，若p是单位元e，则为任意一个3循环的立方。若p不是单位元，假设其固定了{1,2 ……n}中的m个元素，它要么含有k循环(k≥3)，要么含有两个2循环的乘积，因为编号无足轻重，不妨设p=(123…k)…或p=(12)(34)…。令q=(321), (321)(123…k)…=(1)(2)(3…k)… (321)(12) (34)…=(1)(234)…，因此qp固定了m+2或m+1个元素。重复这一过程，被固定元素个数步步增长，直至n个元素全都被固定，即可以找到q1,q2,… qk,使得qk…q2q1p=e，也即p=(q1^-1)(q2^-1) …(qk^-1)，因为3循环的逆还是3循环，所以p由3循环生成。
引理2：n≥5时，An中所有3循环组成一个共轭类。
证明：令q=(123)，因为Sn中所有3循环共轭https://t.cn/A6MqSgB5，对于任意3循环q'，总能找到一个置换p，使得pqp^-1=q'。如p是偶置换，则q与q'在An中共轭 。如p是奇置换，取τ=(45)，τqτ^-1=q，pτ是偶置换，(pτ)q(pτ)^-1=q'。
定理的证明：设N是An除{e}外的正规子群，需要证明N=An。这等价于证明N包含一个3循环，这样根据引理2，N包含所有3循环；再根据引理1，N=An。考虑N中除e以外的置换x，设x的阶为lr，l 为某个素数，则x^r的阶为l。重新用x表示x^r，x 的阶为素数l，x的循环分解包含l循环和1循环。对任意g∈An，gxg^-1与x-1都属于N，因此交换子gxg^-1x-1也属于N。分三种情况讨论，以期得到一个3循环（下图）。
引理1：n≥3时，An由3循环生成。
证明：任意p∈An，若p是单位元e，则为任意一个3循环的立方。若p不是单位元，假设其固定了{1,2 ……n}中的m个元素，它要么含有k循环(k≥3)，要么含有两个2循环的乘积，因为编号无足轻重，不妨设p=(123…k)…或p=(12)(34)…。令q=(321), (321)(123…k)…=(1)(2)(3…k)… (321)(12) (34)…=(1)(234)…，因此qp固定了m+2或m+1个元素。重复这一过程，被固定元素个数步步增长，直至n个元素全都被固定，即可以找到q1,q2,… qk,使得qk…q2q1p=e，也即p=(q1^-1)(q2^-1) …(qk^-1)，因为3循环的逆还是3循环，所以p由3循环生成。
引理2：n≥5时，An中所有3循环组成一个共轭类。
证明：令q=(123)，因为Sn中所有3循环共轭https://t.cn/A6MqSgB5，对于任意3循环q'，总能找到一个置换p，使得pqp^-1=q'。如p是偶置换，则q与q'在An中共轭 。如p是奇置换，取τ=(45)，τqτ^-1=q，pτ是偶置换，(pτ)q(pτ)^-1=q'。
定理的证明：设N是An除{e}外的正规子群，需要证明N=An。这等价于证明N包含一个3循环，这样根据引理2，N包含所有3循环；再根据引理1，N=An。考虑N中除e以外的置换x，设x的阶为lr，l 为某个素数，则x^r的阶为l。重新用x表示x^r，x 的阶为素数l，x的循环分解包含l循环和1循环。对任意g∈An，gxg^-1与x-1都属于N，因此交换子gxg^-1x-1也属于N。分三种情况讨论，以期得到一个3循环（下图）。
8月关注活动 中奖名单公布
<关注微博活动> 8월 이벤트 선정 결과 발표
참여해주신 모든 분들, 진심으로 감사드립니다!
感谢参加活动，抽出了10名幸运儿。
※ 당첨자는 개별 디엠으로 연락 주세요.
通过 DM（直接消息）活动中奖者将被单独联系。
※ 경품 수령 가능 여부를 9월 29일 일요일까지 알려주세요. 29일까지 연락이 없을 경우 당첨이 취소될 수 있음을 알려 드립니다.
请 9 月 29 日星期三之前回复您是否可以领取奖品。如果在 9 月 29 日之前没有回复，奖品可能会被取消。
※ 본 이벤트에 당첨되셨으나 디엠으로 연락을 취하지 못하시는 분께서는 sns@ksif.or.kr 메일로 연락 부탁 드립니다.
如果您中奖了，但我们没有给您联系，请给我们发送电子邮件至“sns@ksif.or.kr”。
Aug Event Winners Announcement
※ The winners must contact individually via DM (direct message).
※ Please respond whether you can receive the prize or not by Wednesday, 29th of September. In case of no response until the 29th, the winnings could be cancelled.
※ If you have won the event cannot contact us via messages, please send us an e-mail to "sns@ksif.or.kr".
※ After your confirm, the prize will be sent through your email you have written on Google Survey Form.
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<关注微博活动> 8월 이벤트 선정 결과 발표
참여해주신 모든 분들, 진심으로 감사드립니다!
感谢参加活动，抽出了10名幸运儿。
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※ 경품 수령 가능 여부를 9월 29일 일요일까지 알려주세요. 29일까지 연락이 없을 경우 당첨이 취소될 수 있음을 알려 드립니다.
请 9 月 29 日星期三之前回复您是否可以领取奖品。如果在 9 月 29 日之前没有回复，奖品可能会被取消。
※ 본 이벤트에 당첨되셨으나 디엠으로 연락을 취하지 못하시는 분께서는 sns@ksif.or.kr 메일로 연락 부탁 드립니다.
如果您中奖了，但我们没有给您联系，请给我们发送电子邮件至“sns@ksif.or.kr”。
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※ Please respond whether you can receive the prize or not by Wednesday, 29th of September. In case of no response until the 29th, the winnings could be cancelled.
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※ After your confirm, the prize will be sent through your email you have written on Google Survey Form.
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