我们如何认识空间和数——《高观点下的初等数学》读书笔记之三
人类对空间的不断认识，形成了数学的三大分支之一———几何。 作为个体的人，从一生下来，就通过看、听、摸认识空间。空间，在结合时间，就构成了物理学上常常提到的时空。
对于一个孩童、一个普通人，认识空间的过程是怎样的呢？ 我们每天生活在其中，手机是长方形（长方体），篮球是球形的， 一个成人的身高大约是一米四、五到两米一、二之间。 这些都是我们对空间的直观认识。
最近我在读《高观点下的初等数学》，读得很慢，但这本书给我启发很大。 我最近反复读前四章，每次总有新体会。
昨天晚上又读了一遍第二三两章。 作者从理论数学家和数学教育家的视角，解释了人类空间概念的认知。 他认为空间观念的起源有两个。
一个是对空间的经验性直觉，也就是通过感官直接体会到的空间概念。举例来说，我们会用尺度量长度、面积、体积。又或者我们会天然的把几个物体按照高度、宽度等进行排序。 我们会说，“我比你高（矮）”、“他比我高一个头”、“这堵墙有一人高”、“这个大厅能站得下300人”。
另一个就完全不同，作者说，“是主观理想化的直觉，超越了感官观察的不精确性。” 我认为这个过程是由人类的理性思维和抽象思维主导的。 “主观理想化的直觉”这个短语，我思考了很久，才理解它的含义。 一会儿我会解释。
我认为，这二者是空间认知的两个阶段。我们对数字的认知过程也有类似的两个阶段。
所以我们先举个关于数字的例子。 如果我说请你在脑海中想象“那里有2本书”这画面，你头脑中会形成一个清晰的两本书的画面。这就是你在日常生活的计数实践中建立起来的数的直觉。
但如果我说，请你想象一个画面，“那里有23456本书”，你头脑中没办法形成一个清晰、精确的23456本书的画面。 你头脑中的画面可能是一排一排的书架，上面放满了书，但这个画面中书的数量时没有办法精确的。
也就是说，这时候，23456 两万三千四百五十六，其实已经是一个抽象的概念了。 是我们从小学到大的十进制数的概念， 是我们从1、2、3 …… 10、11、12……99、100、102、…… 999…… 这样的数数中归纳、总结、抽象的十进制数的概念。这个过程就是认知的第二个阶段——超越了直觉的抽象过程。
在这个过程中我们形成了作者说的“主观理想化的直觉”。“主观理想化的直觉”这个短语我思考了很久，才理解它的含义就是我们常说的“数学直觉”。 我们常常听人说某人数学“天赋”好，其实就是这个人建立了较好的“主观理想化的直觉”。
好，现在回到空间观念建立的过程来。
我们经验直觉中的空间，是我前面说到的，我们可以观察、体验的部分。例如2cm长度，你马上就可以量出来，而且你头脑中有非常清晰的2cm的画面。
但是， 现在有两个线段，一个是1cm，另一个是1.0023846cm，我们是判断不出来的。 这是因为人类视觉的精度没那么精细。在心理学上，人类的凭借直觉判断的精度是有上限和下限的，这就是“直觉阈”的概念。 即使人类发明了种种精密的测量仪器，由于仪器的物理特性，仪器测量的精度仍然还是有限度的。
而人类对于数的认识和对于空间的认知是相辅相成的。 对空间的度量，就是对数的认知。
说到数，就不得不提无理数的概念。小学初中高中对于无理数的定义是，无限不循环小数，也可以说无理数不能写成两个整数的比值。
无限不循环，小数点后有无限多位。那么，如果一个人可以精确感知一个无理数，是不是他的感官能辨认的精度就是小数点后无限位？ 也就是他的感知精度无限接近0？ 这不是人，这是先知的神。
所以，作者在书中提到，“无理数的概念当然只是精确数学范围内的概念，因为两点之差是一个无理数的几毫米这种说法，没有任何意义”。
我对这句话的理解是，现实实践中，和一个工程师说，“我需要一个长度恰好为根号2 米的不锈钢棍子”，工程师大概会说，“我不可能造出刚好为根号2 米的不锈钢棍子。另外，即使我造的出，你也量不出。” 所以现实世界中，理解和应用误差、精度的概念是一个合格的工程师的基本素养。
那是不是无理数就没用了呢？ 难道它只是无聊的数学家闭门造车、脱离实际的产物？（我有一个朋友，对一切脱离实际的理论嗤之以鼻，我估计他看到这里要拍案叫绝，看吧！ 不知道你们这些搞数学的人一天天的强调π不等于3.14 15927有什么意思！）
不是的，无理数，在自然界的基本规律中扮演了非常重要的角色。 最简单的例子就是π了。 还有比如自然常数e，在物理学中具有重要意义。
事实上，人类关于空间和数的认知，借助理性和逻辑思维，很早就进入了第二个阶段——超越了感官观察的不精确性，建立主观理想化的直觉的阶段。 只要你想一想，人类历史上发现的第一个无理数根号2，就明白了。
即使到了今天，凭借精密的仪器，也丈量不了根号2 米的长度是多少。但是大约在公元前500年，毕达哥拉斯学派的“叛徒”希帕蒂斯 就利用严密的逻辑推导，发现根号2是无法写成自然数的比值。
我第一次读到关于根号2是无理数的证明，大约是在初二，当时好几天都平静不了，因为就那么几行字，让我领略到反证法的无穷魅力，而更让人叫绝的是，这个证明，是2500年前的人类想出来的！
看到这里，我更加深刻的理解了大数学家、哲学家罗素在《西方哲学史》中写的一段话：
我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的；无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。这就提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实。
最后，本书给出教授中学生无理数的一些建议：
1、无理数的精确理论既未必适合大多数学生的兴趣，也超过他们的接受能力。
2、对于普通程度的学生，只要通过例子讲明白无理数就足够了。 不把无理数过于抽象的完整概念讲给全部学生，是 保护大多数人的兴趣。
3、对于个别有天资的学生，肯定要求更完整的解释，要给予单独的补充解释，满足他们的好奇心。
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人类对空间的不断认识，形成了数学的三大分支之一———几何。 作为个体的人，从一生下来，就通过看、听、摸认识空间。空间，在结合时间，就构成了物理学上常常提到的时空。
对于一个孩童、一个普通人，认识空间的过程是怎样的呢？ 我们每天生活在其中，手机是长方形（长方体），篮球是球形的， 一个成人的身高大约是一米四、五到两米一、二之间。 这些都是我们对空间的直观认识。
最近我在读《高观点下的初等数学》，读得很慢，但这本书给我启发很大。 我最近反复读前四章，每次总有新体会。
昨天晚上又读了一遍第二三两章。 作者从理论数学家和数学教育家的视角，解释了人类空间概念的认知。 他认为空间观念的起源有两个。
一个是对空间的经验性直觉，也就是通过感官直接体会到的空间概念。举例来说，我们会用尺度量长度、面积、体积。又或者我们会天然的把几个物体按照高度、宽度等进行排序。 我们会说，“我比你高（矮）”、“他比我高一个头”、“这堵墙有一人高”、“这个大厅能站得下300人”。
另一个就完全不同，作者说，“是主观理想化的直觉，超越了感官观察的不精确性。” 我认为这个过程是由人类的理性思维和抽象思维主导的。 “主观理想化的直觉”这个短语，我思考了很久，才理解它的含义。 一会儿我会解释。
我认为，这二者是空间认知的两个阶段。我们对数字的认知过程也有类似的两个阶段。
所以我们先举个关于数字的例子。 如果我说请你在脑海中想象“那里有2本书”这画面，你头脑中会形成一个清晰的两本书的画面。这就是你在日常生活的计数实践中建立起来的数的直觉。
但如果我说，请你想象一个画面，“那里有23456本书”，你头脑中没办法形成一个清晰、精确的23456本书的画面。 你头脑中的画面可能是一排一排的书架，上面放满了书，但这个画面中书的数量时没有办法精确的。
也就是说，这时候，23456 两万三千四百五十六，其实已经是一个抽象的概念了。 是我们从小学到大的十进制数的概念， 是我们从1、2、3 …… 10、11、12……99、100、102、…… 999…… 这样的数数中归纳、总结、抽象的十进制数的概念。这个过程就是认知的第二个阶段——超越了直觉的抽象过程。
在这个过程中我们形成了作者说的“主观理想化的直觉”。“主观理想化的直觉”这个短语我思考了很久，才理解它的含义就是我们常说的“数学直觉”。 我们常常听人说某人数学“天赋”好，其实就是这个人建立了较好的“主观理想化的直觉”。
好，现在回到空间观念建立的过程来。
我们经验直觉中的空间，是我前面说到的，我们可以观察、体验的部分。例如2cm长度，你马上就可以量出来，而且你头脑中有非常清晰的2cm的画面。
但是， 现在有两个线段，一个是1cm，另一个是1.0023846cm，我们是判断不出来的。 这是因为人类视觉的精度没那么精细。在心理学上，人类的凭借直觉判断的精度是有上限和下限的，这就是“直觉阈”的概念。 即使人类发明了种种精密的测量仪器，由于仪器的物理特性，仪器测量的精度仍然还是有限度的。
而人类对于数的认识和对于空间的认知是相辅相成的。 对空间的度量，就是对数的认知。
说到数，就不得不提无理数的概念。小学初中高中对于无理数的定义是，无限不循环小数，也可以说无理数不能写成两个整数的比值。
无限不循环，小数点后有无限多位。那么，如果一个人可以精确感知一个无理数，是不是他的感官能辨认的精度就是小数点后无限位？ 也就是他的感知精度无限接近0？ 这不是人，这是先知的神。
所以，作者在书中提到，“无理数的概念当然只是精确数学范围内的概念，因为两点之差是一个无理数的几毫米这种说法，没有任何意义”。
我对这句话的理解是，现实实践中，和一个工程师说，“我需要一个长度恰好为根号2 米的不锈钢棍子”，工程师大概会说，“我不可能造出刚好为根号2 米的不锈钢棍子。另外，即使我造的出，你也量不出。” 所以现实世界中，理解和应用误差、精度的概念是一个合格的工程师的基本素养。
那是不是无理数就没用了呢？ 难道它只是无聊的数学家闭门造车、脱离实际的产物？（我有一个朋友，对一切脱离实际的理论嗤之以鼻，我估计他看到这里要拍案叫绝，看吧！ 不知道你们这些搞数学的人一天天的强调π不等于3.14 15927有什么意思！）
不是的，无理数，在自然界的基本规律中扮演了非常重要的角色。 最简单的例子就是π了。 还有比如自然常数e，在物理学中具有重要意义。
事实上，人类关于空间和数的认知，借助理性和逻辑思维，很早就进入了第二个阶段——超越了感官观察的不精确性，建立主观理想化的直觉的阶段。 只要你想一想，人类历史上发现的第一个无理数根号2，就明白了。
即使到了今天，凭借精密的仪器，也丈量不了根号2 米的长度是多少。但是大约在公元前500年，毕达哥拉斯学派的“叛徒”希帕蒂斯 就利用严密的逻辑推导，发现根号2是无法写成自然数的比值。
我第一次读到关于根号2是无理数的证明，大约是在初二，当时好几天都平静不了，因为就那么几行字，让我领略到反证法的无穷魅力，而更让人叫绝的是，这个证明，是2500年前的人类想出来的！
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生活不是想象的那样温柔，理想与现实也不是一般的遥远。要勇敢的迈出第一步，记住你的价值，它不因你的外观的不雅而贬值，昨天，今天，明天的你，还是会那么好。是金子总有发光的一天！所以，激励你感动你每天努力前进的，不是励志语录，而是身边比你优秀的人比你还努力！而是充满正能量的自己。加油！不远处的那道幸运彩虹一定属于你！
生活不是想象的那样温柔，理想与现实也不是一般的遥远。要勇敢的迈出第一步，记住你的价值，它不因你的外观的不雅而贬值，昨天，今天，明天的你，还是会那么好。是金子总有发光的一天！所以，激励你感动你每天努力前进的，不是励志语录，而是身边比你优秀的人比你还努力！而是充满正能量的自己。加油！不远处的那道幸运彩虹一定属于你！
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