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如果一个人记得你的生日，记得你喜欢什么讨厌什么，把你不经意说过的话都放在心上，为你无数次影响情绪却从来不让你看到他脆弱的样子，为你做他不喜欢的事，为你放下面子放下所谓的原则放下他的一切，为你改掉坏脾气为你拒绝所有暧昧为你变得面目全非，真的，你再也不会遇见一个人比他更爱你，所以，你应该为这样的人付出而不是对你不屑一顾的人。
—— 皮亚诺公理
在我们看来，1 + 1 = 2，这是常识，不需要证明。一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。一个人和另一个人在一起，那就是两个人。但是，数学家们并不满足于常识，他们喜欢把数学建立在一个严密的逻辑系统之上。比如像平面几何学，就是建立在欧几里得的五个几何公理之上的。所以数学家们也想要构造出一个公理系统，来证明1 + 1 = 2。关于自然数的加减乘除这四则运算，意大利数学家朱塞佩٠皮亚诺建构的公理系统最为出名。
在数学中，公理系统是任何一组公理，其中一些或所有的公理可以结合使用，以逻辑推导出定理。这样就可以构成一个一致的、相对独立的、在逻辑上“可以自圆其说”的系统。这样的系统通常包含一个公理系统及其所有派生的定理。
我们先说说什么是自然数。自然数是全体非负数整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。自然数通过加和乘得到的依然是自然数，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
1860年代德国数学家赫尔曼٠格拉斯曼指出，算术中的许多事实都可以从有关后继运算和归纳的更基本事实中得出，这让人们意识到对形式化进行正规化的需要。1881年，美国数学家查尔斯٠桑德斯٠皮尔斯提出了自然数算法的公理化处理。1888年，德国数学家理查德٠戴德金提出了自然数算术的另一种公理化方法。1889年，在戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统。皮亚诺的公理系统最为著名。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的叙述如下：0是自然数；每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；对于每个自然数b、c，b = c当且仅当b的后继数 = c的后继数；0不是任何自然数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。
有了皮亚诺的这五条公理，我们就可以定义自然数的加法和乘法运算了。加法运算“+”定义为a + 0 = a；a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后继者。如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0;a × S（b） = a × b + a。
进一步我们还可以证明自然数的有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，… 这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
另外自然数的无限性是说，自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。对于无限集合来说，“元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如：
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。德国大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
进一步，我们可以证明自然数的传递性。设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1 > n2，n2 > n3，那么 n1 > n3。当然，我们还可以证明自然数的三岐性。对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1 > n2，n1 = n2或n1 < n2。
最小数原理说的是，自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。满足公理3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不满足公理5，例如所有形如nm（m > n，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。
满足公理5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然满足公理3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。
这些似乎有点枯燥但不难理解。让我们回到开始谈到的证明1 + 1 = 2的问题。有了皮亚诺公理和对加法的定义，证明就变得十分简单。现在，让我们先来用第一条公理。假设a就是1，那么1 + 1 = 1’。1’只要被称之为2，那么就可以得出1 + 1 = 2了。是不是很简单？
同理，我们还可以证明1 + 2 = 3。考虑第二条公理，假定b就是1，a也是1，那么1’+ 1 =（1 + 1）’。1 + 1是什么东西？它就是2，同时也就是1’。所以，2 + 1 =（2）’=（1’）’。
顺便提一下，2 + 1其实也等于1 + 2。而只要我们把2’，也即是1’’，称之为3。那么我们就可以证明1 + 2 =（2）’=（1’）’= 1’’= 3了。同理，我们还可以证明235 + 234 = 469，只是会很长而已。当然可以编一个小程序，让计算机帮到我们。
现在我们知道了，原来关于自然数和它们的运算居然隐藏着这么多的学问呀。不过，也许有人会说，这不就是一种符号游戏嘛。没错！这的确是一场数学符号化的“游戏”，被称为数学逻辑。它包括研究形式系统的表现力和形式证明系统的演绎力。由于担心数学没有建立在适当的基础上，导致数学基础领域的公理系统的发展，如算术、分析和几何学，探索形式逻辑在数学中的应用。在20世纪初，当时的数学泰斗希尔伯特更是制定了一个雄心勃勃的计划，来证明数学基础理论的一致性。德国数学大师哥得尔、德国数学家格哈德٠根岑等人的研究为该计划提供了部分的解决方案，并澄清了证明一致性所涉及的问题。集合论的研究表明，几乎所有的普通数学都可以在集合论下进行形式化，尽管有一些定理不能在集合论的共公理系统中得到证实。今天，数学基础的研究更侧重于确定数学的哪些部分可以在特定的正式系统中进行形式化，而不是试图找到可以发展所有数学的理论。
当皮亚诺首次提出公理时，英国逻辑大师罗素等人认为这些公理隐含地定义了我们所说的自然数。法国数学家庞加莱则谨慎地称，它们只有在一致时才定义自然数。如果有一个证明仅从这些公理开始，并得出诸如0 = 1之类的矛盾，则该公理是不一致的，并且不做任何定义。1900年，希尔伯特提出了仅使用有限论方法证明其一致性的问题，这是他著名的23个数学问题中的第二个。1931年，哥德尔证明了他的第二个不完全性定理，表明该一致性证明不能在皮亚诺算术本身中形式化。1936年，格哈德٠根岑通过称为ε0的序数的超限归纳法，证明了皮亚诺公理的一致性。根岑解释说：我的目的就“是证明基本数论的一致性，或者是将一致性问题简化为某些基本原理。” 根岑的证明可以说是有限论的。
绝大多数当代数学家都认为，皮亚诺的公理是一致的，它依赖于直觉或接受一致性证明（例如根岑的证明）。少数哲学家和数学家拒绝皮亚诺公理，因为其中一些人主张极致主义，因为接受公理就等于接受了无穷的自然数集合。
在我们看来，1 + 1 = 2，这是常识，不需要证明。一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。一个人和另一个人在一起，那就是两个人。但是，数学家们并不满足于常识，他们喜欢把数学建立在一个严密的逻辑系统之上。比如像平面几何学，就是建立在欧几里得的五个几何公理之上的。所以数学家们也想要构造出一个公理系统，来证明1 + 1 = 2。关于自然数的加减乘除这四则运算，意大利数学家朱塞佩٠皮亚诺建构的公理系统最为出名。
在数学中，公理系统是任何一组公理，其中一些或所有的公理可以结合使用，以逻辑推导出定理。这样就可以构成一个一致的、相对独立的、在逻辑上“可以自圆其说”的系统。这样的系统通常包含一个公理系统及其所有派生的定理。
我们先说说什么是自然数。自然数是全体非负数整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。自然数通过加和乘得到的依然是自然数，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
1860年代德国数学家赫尔曼٠格拉斯曼指出，算术中的许多事实都可以从有关后继运算和归纳的更基本事实中得出，这让人们意识到对形式化进行正规化的需要。1881年，美国数学家查尔斯٠桑德斯٠皮尔斯提出了自然数算法的公理化处理。1888年，德国数学家理查德٠戴德金提出了自然数算术的另一种公理化方法。1889年，在戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统。皮亚诺的公理系统最为著名。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的叙述如下：0是自然数；每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；对于每个自然数b、c，b = c当且仅当b的后继数 = c的后继数；0不是任何自然数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。
有了皮亚诺的这五条公理，我们就可以定义自然数的加法和乘法运算了。加法运算“+”定义为a + 0 = a；a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后继者。如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0;a × S（b） = a × b + a。
进一步我们还可以证明自然数的有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，… 这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
另外自然数的无限性是说，自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。对于无限集合来说，“元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如：
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。德国大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
进一步，我们可以证明自然数的传递性。设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1 > n2，n2 > n3，那么 n1 > n3。当然，我们还可以证明自然数的三岐性。对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1 > n2，n1 = n2或n1 < n2。
最小数原理说的是，自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。满足公理3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不满足公理5，例如所有形如nm（m > n，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。
满足公理5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然满足公理3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。
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同理，我们还可以证明1 + 2 = 3。考虑第二条公理，假定b就是1，a也是1，那么1’+ 1 =（1 + 1）’。1 + 1是什么东西？它就是2，同时也就是1’。所以，2 + 1 =（2）’=（1’）’。
顺便提一下，2 + 1其实也等于1 + 2。而只要我们把2’，也即是1’’，称之为3。那么我们就可以证明1 + 2 =（2）’=（1’）’= 1’’= 3了。同理，我们还可以证明235 + 234 = 469，只是会很长而已。当然可以编一个小程序，让计算机帮到我们。
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当皮亚诺首次提出公理时，英国逻辑大师罗素等人认为这些公理隐含地定义了我们所说的自然数。法国数学家庞加莱则谨慎地称，它们只有在一致时才定义自然数。如果有一个证明仅从这些公理开始，并得出诸如0 = 1之类的矛盾，则该公理是不一致的，并且不做任何定义。1900年，希尔伯特提出了仅使用有限论方法证明其一致性的问题，这是他著名的23个数学问题中的第二个。1931年，哥德尔证明了他的第二个不完全性定理，表明该一致性证明不能在皮亚诺算术本身中形式化。1936年，格哈德٠根岑通过称为ε0的序数的超限归纳法，证明了皮亚诺公理的一致性。根岑解释说：我的目的就“是证明基本数论的一致性，或者是将一致性问题简化为某些基本原理。” 根岑的证明可以说是有限论的。
绝大多数当代数学家都认为，皮亚诺的公理是一致的，它依赖于直觉或接受一致性证明（例如根岑的证明）。少数哲学家和数学家拒绝皮亚诺公理，因为其中一些人主张极致主义，因为接受公理就等于接受了无穷的自然数集合。
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