#光滑度的力量#

“微积分给予我们的关于宇宙中运动和变化本质的巨大洞见,尽管有可能是近似的,但却证明了光滑度的力量。”

“和所有科学领域一样,在建立数学模型时,我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。

抽象的艺术在于——
知道什么是必不可少的,什么是细枝末节的;
知道什么是信号,什么是噪声;
知道什么是趋势,什么是波动。
这是一门艺术,因为诸如此类的选择总是存在着风险,它们与痴心妄想或学术欺诈只有一线之隔。伽利略和开普勒等伟大的科学家都曾想方设法行走在这样的'悬崖峭壁'之上。”

《微积分的力量》
书摘
人类已经进化出发现规律的能力,与其像我们刚才那样细心地研究数字,不如把它们#形象化#,这样往往能获得更多的信息。图6–11展示了博尔特跑完10米、20米、30米等的用时情况,一直到他在9.69秒时冲过百米终点线。

为便于观察,我把图上的点都用直线连接起来,但要记住只有这些点才是真正的数据。点和它们之间的线段构成了一条多边形曲线。
最左边线段的斜率最小,对应于博尔特起跑后的较慢速度。
越往右的线段越向上弯折,这意味着他在加速。之后的几条线段共同形成了一条近乎笔直的线,表明他在比赛的大部分时间里都保持着飞快且稳定的速度。

我们自然很好奇,#他到底在何时和何处跑得最快#。虽然我们知道他在10米区间内的最快平均速度出现在50米到80米,但我们真正想要的并不是他的平均速度,而是他的最快速度。假设博尔特戴着一个速度计,那么他在哪一刻跑得最快?他的最快速度究竟是多少?

在这里,我们寻找的是一种测量他的瞬时速度的方法。但是,这个概念看起来几乎是自相矛盾的。在任何时刻,博尔特都恰好身处某个地方,就像在快照里一样纹丝不动。既然如此,讨论他在一瞬间的速度又有什么意义呢?#速度只能出现在一个时间间隔内,而非一个瞬间#。

瞬时速度之谜与数学及哲学有着很深的历史渊源,可追溯到公元前450年前后,那时芝诺提出了几个令人敬畏的悖论。回想一下,在阿喀琉斯与乌龟的悖论中,芝诺声称跑得快的人永远追不上跑得慢的人,而这和博尔特那一晚在北京的出色表现完全不同。在飞矢不动悖论中,芝诺认为飞矢永远不会移动。尽管数学家仍然不确定他想用这些悖论来阐述什么观点,但我的猜测是,瞬间速度这个概念内在的微妙之处困扰着芝诺、亚里士多德和其他希腊哲学家。他们的不安或许可以解释,#为什么希腊数学很少谈及运动和变化。跟无穷一样,这些令人讨厌的话题已被从彬彬有礼的交谈中“驱逐”出去了#。

在芝诺提出那些知名悖论的2 000年后,微分学的创立者解开了瞬时速度之谜。他们直观的解决方案是,将瞬时速度定义为一个极限,具体来说,就是#在越来越短的时间间隔内平均速度的极限#。

这类似于我们放大抛物线时所做的事情:先让一段越来越短的光滑曲线逼近直线,然后探究在放大无穷倍的极限情况下会发生什么。#通过研究直线斜率的极限值,我们就可以定义光滑抛物线上某一点的导数#。

在这里,通过类比的方法,我们对某种随时间发生平稳变化的对象进行近似推理,即博尔特在赛道上跑过的距离。我们的想法是,用一条在很短的时间间隔内以恒定的平均速度变化的多边形曲线,去取代他的距离–时间图像。随着时间间隔越来越短,如果每个时间间隔的平均速度趋于一个极限,这个极限值就是我们所说的某一时刻的瞬时速度。正如某一点的斜率那样,瞬间速度也是一个导数。

要想成功实现这一切,我们必须假设博尔特在赛道上跑过的距离是#平稳变化#的,否则我们研究的极限和导数就都不存在了。因为随着时间间隔的缩短,结果不会趋于任何合理的极限值。那么,他跑过的距离是否会随时间平稳地变化呢?我们对此并不确定。我们唯一拥有的数据是,博尔特经过赛道上的每个10米标记处的时间所构成的离散样本。想要估算他的瞬时速度,我们必须跳出这些数据,有根据地推测他在相邻两点之间的某个时间身处的位置。

#这种系统化的推测方法被称为插值法,其目的是在可用数据之间绘制一条光滑曲线#。换句话说,我们并不像之前那样用线段,而是用最合理的光滑曲线来连接这些点,或者至少要非常靠近这些点。
[微风]对于这条曲线,我们设定的限制条件是:它应该是绷紧的,起伏不能太大;它应该尽可能地靠近所有点;它应该展示出博尔特的初始速度为0,因为我们知道他在做预备姿势的时候是静止不动的。有许多不同的曲线都符合这些标准;统计学家想出了很多用光滑曲线去拟合数据的方法,它们也都给出了类似的结果。而且,这些方法都包含些许推测的成分,所以我们不用太在意该选择哪一种。
图6–12展示的就是其中一条能满足上述所有要求的光滑曲线。

[微风]由于曲线被设计成光滑的,我们可以计算出它上面的每一点的导数,最终生成的图像给出了博尔特在北京奥运会的那场创造世界纪录的比赛中每个瞬时速度的估计值,如图6–13所示。

从图6–13中可以看到,博尔特在比赛进行到大约3/4的时候达到了12.3米/秒的最高速度。在此之前,他每时每刻都在加速。而在此之后,他开始减速,以至于当他冲过终点线时速度降到了10.1米/秒。这幅图证实了所有人看到的情况:博尔特在接近终点时速度骤减,特别是在最后的20米,他放松下来并提前庆祝自己的胜利。

在2009年柏林世界田径锦标赛上,博尔特结束了人们对于他能跑多快的猜测。这一次他没有提前拍胸脯庆祝胜利,而是努力跑到终点,并以更加惊人的9.58秒的成绩打破了他在北京奥运会上创造的9.69秒的世界纪录。由于人们对这次比赛怀有巨大的期待,所以生物力学研究人员启用了激光枪(类似于警察用来抓超速驾驶者的雷达枪),这种高科技仪器使得研究人员能以100次/秒的频率测量短跑运动员的位置。在计算了博尔特的瞬时速度后,他们的发现如图6–14所示。

总体趋势上的那些小波动,代表了他在大步奔跑期间不可避免会出现的速度起伏。毕竟,跑步涉及一系列的腾空和落地动作。每当博尔特的一只脚在落地的瞬间“急刹车”,随即再次驱动身体向前和腾空,他的速度就会发生一点儿变化。

虽然这些小波动很有趣,但对数据分析师来说,它们既讨厌又烦人。#我们真正想看到的是趋势,而不是波动#,因此,早期用光滑曲线拟合数据的方法就很不错,甚至可以说更佳。在收集了所有的高分辨率数据并注意到这些波动之后,研究人员无论如何都要把它们清理干净。他们过滤掉这些波动,是为了揭示更有意义的趋势。

⚠️这些波动中蕴含着一个重要的#教训#。我把它视为隐喻或寓言,反映了用微积分为真实现象建模的本质。如果我们设法把测量的分辨率推升得过高,在时空中极其细微地观察任何现象,就会看到#光滑度的崩解#。在博尔特的速度数据中,小波动取代了平稳的趋势,让图像看起来就像管道清洁器一样有许多分叉。如果我们可以在分子尺度上进行测量,那么任何形式的运动都会出现同样的情况。在这个级别上,运动变成了一点儿也不平稳的抖动,所以微积分无法再(至少不能直接)给我们提供什么信息。
[微风]然而,如果我们关心的是总体趋势,消除这些小波动可能就足够了。微积分给予我们的关于宇宙中运动和变化本质的巨大洞见,尽管有可能是近似的,但却证明了#光滑度的力量#。

⚠️除此之外,这里还有一个教训:和所有科学领域一样,在建立数学模型时,我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。
[微风]抽象的艺术在于——
知道什么是必不可少的,什么是细枝末节的;
知道什么是信号,什么是噪声;
知道什么是趋势,什么是波动。
这是一门艺术,因为诸如此类的选择总是存在着风险,#它们与痴心妄想或学术欺诈只有一线之隔#。伽利略和开普勒等伟大的科学家都曾想方设法行走在这样的“悬崖峭壁”之上。

整个匹诺康尼的剧情真好啊... 非常紧凑的主线剧情, 量大管饱还很好吃, 虽然是群像戏但是每个人的刻画都很到位, 2.2收回了前两个版本的大量伏笔看得好过瘾, 一口气打5个小时的主线也不累还想再来5小时! 这就是烧鸡老师的含金量吗!
周天哥的模型感觉是不是又优化了点, 各种表情真的好好看啊...

↓↓剧透别看↓↓
一点2.2让我印象很深刻的地方
加拉赫, 这个从2.0村普→2.1狼→2.2猎犬的形象转变真的我一点都没想到...何物朝向死亡(现在已经是眠眠了x)居然是他养的宠物, 神秘命途的虚构史学家, 虽然被猜出身份就会消失, 为了米哈伊尔的遗愿为了匹诺康尼还是给列车组留下了暗示和指引, 就像他自己说的, 只是一条忠诚的老狗, 之后应该不会有他相关的剧情了, 向你致敬, 也敬不完美的明天

米沙, 米沙这孩子本来在2.0就在猜他就是米哈伊尔也是钟表匠更是匹诺康尼事件的幕后黑手, 结果是米哈伊尔猜对了, 是钟表匠也猜对了, 是匹诺康尼事件的幕后之人也算是猜对了, 以钟表匠的遗产为饵为匹诺康尼搏得一个未来, 虽然自己终其一生也没等到列车, 但是感谢太一之梦米沙已经登上过列车了! 2.2最后黑天鹅让我选破绽那里我是最后才选到米沙的... 我一开始根本没反应过来, 后来黑天鹅解释说米沙不可能出现在现实的时候我才恍然大悟原来从列车组跃迁到匹诺康尼那一刻开始已经受到太一之梦的影响现实和梦境已经混淆了, 过完主线回到列车上看乘客列表果然也显示米沙再也不会(不能)到访列车还是有点伤感的, 但是没关系, 爷已经接过了帽子, 从今往后的开拓之旅米沙也一定一直陪着爷的吧!

波提欧, 波波这角色我一开始只觉得他被强制打码的说话方式真的太搞笑了, 他的剧情不多, 前边无论是在列车上登场还是和丹恒进入匹诺康尼我对他都没有特别的好感, 但是在丹恒第二次和大家说要用结盟玉佩来打破统一意志那里, 他的回应真是... 太! 帅! 了! 感谢黄泉带来的铁尔南的子弹让波波说了这么帅的一段话, 看他说所有巡海游侠看到这个无论何时无论何地都一定会聚集而来划破黑暗身后就是黎明, 真的有种心跳飙升的感觉, 特别是最后打神主日开头的cg波波向天开出那一枪之后的五道流星的光芒然后打到最后能看到天上满是流星的拖尾真的真的很感动啊!

说到结盟玉佩果然还是得带一句丹恒, 在列车上丹恒对波波说要用结盟玉佩的时候说了那句, 他的朋友也是唯一的, 太帅了恒! 虽然你和景元来救爷那段是梦但是还是好感动啊啊啊啊!

黄泉, 黄泉在2.2给我最大的震撼果然还是她和铁尔南的那一段, 她在说出铁尔南身份的那里, 我真是内心疯狂刷弹幕不会吧这个人怎么会真的是他铁尔南啊啊啊啊啊啊!!! 然后先是黄泉提问然后铁尔南回答, 然后是铁尔南提问黄泉回答, 一样的文案, 黄泉身为虚无的令使却一直在帮助不想陷入虚无的人让他们解脱, 虽然我没有玩过崩三, 但是黄泉很郑重的说出了自己的名字的时候真的..哇.....这就是ip游戏的魅力吗!

黑天鹅, 虽然之前都在调侃说她牢鹅, 但是黑天鹅作为忆者在这出大戏里头功劳是真不少, 虽然还不知道她的目的是否像她自己说的是为了各种记忆而来, 好像经常出场但是关于她的信息着实不多, 她为什么要帮助列车也有点耐人寻味, 希望2.3能再给点

花火, 花火前期描述还是挺多的在2.2cos知更鸟然后发了按钮之后就没了..? 最后也是陷入了梦境打完boss她才醒, 希望2.3也给点镜头, 我对她那个超级谜语人同行还是有点子在意的

流萤, 流萤怎么说呢, 戏份很重, 但是我还是有种奇怪的感觉导致我对她的好感度不足, 除去艾利欧的剧本, 她为什么这么亲近爷?? 很在意2.1那边她说尝试了11次想要早点告诉爷但还是得按剧本行事, 2.2居然也没有解释这个但是她一直跟着爷行动搞得我一直怀疑她另有所图, 我真的很在意她的态度的问题, 希望2.3能有答案

列车组这次是5人团建的大活呢! 还得再加上帕姆和列车本车, 最后支援居然是用列车直接创过来真是又好笑又感动, 创得很爽! 下次还创!

小鸟兄妹, 怎么说呢, 伟大, 无需多言, 只凭他说出那句一周七天都是星期日我就不允许任何人忤逆你周天哥(x)
他很爱她, 她很爱他, 周天哥作为半步成神的身份还是选择和列车组公平决斗, 就算再强大也无法拒绝妹妹, 从小时候开始妹妹说啥他都同意, 他这么执着也仅仅因为那是跟妹妹的约定, 他无法停手也无法回头, 但却在妹妹和他走上相反的道路的时候毫不犹豫地说出倘若你们能拯救更多的人那就亲手为我断绝前路... 最后他沉默着掉下去的时候妹妹也跳下去抱住了他, 没有解释什么, 只是闭上了眼... 虽然我觉得比起对星期日的塑造, 知更鸟在剧情里稍微有点不够力希望之后还有补足的剧情, 但是就兄妹来说, 很对味, 也很对胃, 爱吃, 多来, 最后小鸟兄妹的彩蛋又刀到我了, 那张被妥帖收藏了好多年的妹妹亲签珍藏卡, 想必这样的物件还有很多很多吧, 马哈鱼你真的好狠的心...周天哥其实是个很善良的人, 知更鸟在外游历的时候是他扛下了所有的重任, 特别是他日复一日坐在忏悔室里直面人性的各种黑暗面那一段真的很让人心疼, 他会在梦主的影响下走上秩序也是可以理解的, 就算如此他还是想要为所有人编织一个永恒的安宁美梦就算代价是牺牲他一个人, 孤独地永远清醒着地维持这个梦境, 求求你一定要让周天哥入池好吗? 我好想要带他回家和知更鸟团聚... 但是他这个秩序命途到底会作为什么命途的角色成为自机也很想知道啊!

2.3有翡翠那基本就是公司视角的主场了, 砂金不惜毁掉了自己的基石也要送进去的翡翠石, 翡翠说的从石头送进匹诺康尼的那一刻布置已经完成了也很让人在意, 还有波波的复仇, 希望也能给出一个精彩的版本吧!

我应该怎么写这段故事的观后感呢?终于把匹诺康尼的故事过完了。第1个感想是我爱你烧鸡!烧鸡老师真的太强大了吧!到底是怎样的文字功底可以写出这样的故事啊!我感动哭了好几回了。我一开始不太喜欢流萤的设定,结果到后面我真的拜服于这个勇敢的伟大的少女[泪],我一开始只是觉得黄泉老公很帅,结果到后面她是所有角色里我认为最强大的人!不是力量的强大,是信念的强大,一个虚无的令使却把将陷入虚无的人送出虚无和斩杀虚无这种事情当做毕生使命是多么的艰难啊!我真的要哭了[泪]!我一开始觉得花火说话很不礼貌,结果到后面花火是多么热心的好女孩啊匹诺康尼各大势力里唯一一个真心在搞乐子的人多真诚啊[泪]!我一开始觉得砂金咄咄逼人计算太深,结果到后面这小子把心都快掏了[泪]我一开始觉得星期日只是个装纯善的人设,结果小星星是真的,怎么形容他呢,就抛开七休日这个梗,我觉得他是一个很需要被拥抱的人,我其实不觉得他的观点完全是错的,就我只反对他践行的方式,我一开始回答黄泉三个问题的时候其实选了跟结局再问一遍的完全相反的选项,到这一步我才发现,烧鸡想要告诉我一个怎样的故事,我真的不知道该怎么形容我的感觉,还是读书读太少了[泪]烧鸡老师你怎么这么厉害啊[泪][泪][泪][泪],噢还有波提欧,这小子一开始我只拿他当搞笑乐子人,直到他说出召唤巡海游侠的那段!我真的心潮澎湃啊啊啊啊啊!我们巡海游侠!哦不!我们巡猎就是全宇宙最屌的命途!!!然后就是,我还是很伤心,就像之前看崩三愚者的黄昏那段对奥托和卡莲故事的感受,我果然还是不喜欢这种在最初互相扶持陪伴着成长,但在后来逐渐背离彼此渐行渐远直至分离的故事啊[苦涩][苦涩][苦涩][苦涩][苦涩][苦涩][苦涩],今夜又是难眠的一夜[苦涩][苦涩][苦涩][苦涩][苦涩]如果明天不上班该有多好啊[苦涩][苦涩][苦涩][苦涩][苦涩][苦涩]

然后就是,无名客真的是一群值得敬佩的勇敢的普通人呀!我我我!我要玩一辈子的星穹铁道!!


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