【隨便瞎寫】E8與雜化弦理論，3D超引力，穩定格點模型，玻色可逆拓撲序和伊辛模型
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
隨後是玻色spt的分類。這個是我比較熟悉的結果，簡單來說就是2d的無對稱性玻色spt由E8的場論模型刻畫，即你用Chern-Simons理論寫出其拉氏量，前面的耦合常數換成所謂的K矩陣，這個K矩陣就是E8的cartan matrix。這也是玻色可逆拓撲序中唯一非平凡的情況。其分類空間是K(Z,4)*Z，這裡K(G,n)是Eilenberg–MacLane space，任何一個熟悉代數拓撲的人應該都久聞大名。
隨後是穩定格點構型。這個結果非常有意思，我剛知道不久。簡單來說，就是E8的格點的構型極其穩定，在8維和24維歐式空間中，如果有大量粒子，且勢能是U(r1, r2) = f(|r1-r2|)形式的相互作用，且f是單調函數，那麼能量最低的構型就是E8 lattice。這個結果看起來很有意思，表面上是物理但實際上是來源還是數學問題。一開始是眾所周知的密堆積問題，後來發展出了kissing number，再然後給出了leech lattice Λ24。其實此時已經和物理有關係了，R^24/Λ24和玻色弦的頂點算子代數（VOA）有關，這自然聯繫到了二維共形場論，我們先按下不表。
然後是Ising model。這個則是十年前較為有名的結果，即2010年science上一篇文章說實驗上用CoNb2O6“驗證了”自然界存在E8對稱性。這是怎麼回事呢？簡單來說CoNb2O6這個材料可以用1+1維z方向上有磁場微擾的量子伊辛模型刻畫，其哈密頓量如图4。在無微擾（即gz=0）的情況，這個1+1維的量子模型在gx=1時候，零溫時有相變，這是任何一個凝聚態物理學家都熟知的結果。此時相變點有標度不變性自然給出了一個共性場論，對應於中心荷c=1/2的極小模型，可以用Virasoro代數的表示序列構造。這個表示序列由兩個參數刻畫，一個是中心荷c，另一個是h，這裡2/(h+2)是物理量的conformal dimension。而這些表示的構造過程可以通過限制仿射李代數的表示實現，這裡仿射李代數就是一個緊李代數g的無窮維loop algebra的中心擴張，這被稱為coset constraction。而對於c=1/2的極小模型，我們有兩種g的選擇，一種是g=su(2)，另一種就是g=e8。此時如果我們加上gz的磁場微擾，此時這個極小模型CFT可以用所謂的仿射盛和場論（Affine Toda Field Theory, ATFT）描述。其拉適量如图5給出，這裡2維實標量場phi從李代數g的嘉當子代數h中取值，(,)是李代數的Killing form，β是耦合常數，E是一個g*C中與其共軛交換的半單元素。此時，我們的李群有兩種選擇，一個是g=su(2)，此時對應的h=2，那麼算符的conformal dimension是1/2，任何一個學過共形場論的人都能立刻想到這對應了能量。此時，微擾就對應了零溫下溫度的微擾，這可以用最經典的Ising model的理論描繪。而g=e8的情況下，h=30，此時conformal dimension為1/16，這就是磁場，對應了加磁場的微擾論。而CoNb2O6自然對應了這樣一個體系。另外，這個體系形成的准粒子也對應於E8格點的同心圓（图3），也就是8種不同的准粒子。
到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
j^{1/3}=q^{-1/3}(1 + 248 q + 4124 q^2 + 34752 q^3 + ... )
這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
不過其實我一直隱隱約約知道弦論和魔群月光的關係，只是卻不知道他們和統計也是一體的。為我的愚鈍，不學無術和不思進取懺悔。
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
隨後是玻色spt的分類。這個是我比較熟悉的結果，簡單來說就是2d的無對稱性玻色spt由E8的場論模型刻畫，即你用Chern-Simons理論寫出其拉氏量，前面的耦合常數換成所謂的K矩陣，這個K矩陣就是E8的cartan matrix。這也是玻色可逆拓撲序中唯一非平凡的情況。其分類空間是K(Z,4)*Z，這裡K(G,n)是Eilenberg–MacLane space，任何一個熟悉代數拓撲的人應該都久聞大名。
隨後是穩定格點構型。這個結果非常有意思，我剛知道不久。簡單來說，就是E8的格點的構型極其穩定，在8維和24維歐式空間中，如果有大量粒子，且勢能是U(r1, r2) = f(|r1-r2|)形式的相互作用，且f是單調函數，那麼能量最低的構型就是E8 lattice。這個結果看起來很有意思，表面上是物理但實際上是來源還是數學問題。一開始是眾所周知的密堆積問題，後來發展出了kissing number，再然後給出了leech lattice Λ24。其實此時已經和物理有關係了，R^24/Λ24和玻色弦的頂點算子代數（VOA）有關，這自然聯繫到了二維共形場論，我們先按下不表。
然後是Ising model。這個則是十年前較為有名的結果，即2010年science上一篇文章說實驗上用CoNb2O6“驗證了”自然界存在E8對稱性。這是怎麼回事呢？簡單來說CoNb2O6這個材料可以用1+1維z方向上有磁場微擾的量子伊辛模型刻畫，其哈密頓量如图4。在無微擾（即gz=0）的情況，這個1+1維的量子模型在gx=1時候，零溫時有相變，這是任何一個凝聚態物理學家都熟知的結果。此時相變點有標度不變性自然給出了一個共性場論，對應於中心荷c=1/2的極小模型，可以用Virasoro代數的表示序列構造。這個表示序列由兩個參數刻畫，一個是中心荷c，另一個是h，這裡2/(h+2)是物理量的conformal dimension。而這些表示的構造過程可以通過限制仿射李代數的表示實現，這裡仿射李代數就是一個緊李代數g的無窮維loop algebra的中心擴張，這被稱為coset constraction。而對於c=1/2的極小模型，我們有兩種g的選擇，一種是g=su(2)，另一種就是g=e8。此時如果我們加上gz的磁場微擾，此時這個極小模型CFT可以用所謂的仿射盛和場論（Affine Toda Field Theory, ATFT）描述。其拉適量如图5給出，這裡2維實標量場phi從李代數g的嘉當子代數h中取值，(,)是李代數的Killing form，β是耦合常數，E是一個g*C中與其共軛交換的半單元素。此時，我們的李群有兩種選擇，一個是g=su(2)，此時對應的h=2，那麼算符的conformal dimension是1/2，任何一個學過共形場論的人都能立刻想到這對應了能量。此時，微擾就對應了零溫下溫度的微擾，這可以用最經典的Ising model的理論描繪。而g=e8的情況下，h=30，此時conformal dimension為1/16，這就是磁場，對應了加磁場的微擾論。而CoNb2O6自然對應了這樣一個體系。另外，這個體系形成的准粒子也對應於E8格點的同心圓（图3），也就是8種不同的准粒子。
到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
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這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
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本月GA：
《机动战士高达MSV-R SEASON2 /U.C.0079-0091》第3回。
本期封绘的《爱上HG的两人》
水星的魔女小说版第3卷封绘&本月插图。
明贵美加老师MS少女。
F90FF月刊MM本月回扎古Ⅲ高机动型。
0083 REBELLION机设解说本月回斗狼改。
海盗高达 LOVE＆PIECE新一章开幕
狼人杀新登场新吉恩妹子，这豹变[二哈]
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#星辰sungchen[超话]#羊铁 疼锟 马东markchan
22划/恋综/ooc预警/微量牌 甜
嘉宾9人固定 其余划人reaction固定/飞行
《虽然尴尬但是可以谈恋爱》
恋综预告·To Next Lover
K/U/N
“我会试着勇敢一点”
H/A/E/C/H/A/N
“我不会放弃爱你”
Y/A/N/G/Y/A/N/G
“我们会一起走好久好久”
J/I/S/U/N/G
“将我毫无保留地交付与你”
M/A/R/K
“会一直很热烈”
T/A/E/Y/O/N/G
“认定了就是永远”
X/I/A/O/J/U/N
“一起去看海吧！”
T/E/N
“你可以永远相信我”
C/H/E/N/L/E
“等我来到你身边”
——·即将开启恋爱冒险·敬请期待·——
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