粒子的SU(3)群
8维空间、厄米特复矩阵、矩阵群同构、纤维丛
阶为n的特殊幺正群表示为SU(n)，它是行列式值为1的n × n幺正矩阵的李群。更一般的幺正矩阵或许具有绝对值为1的复行列式，但在特殊情况下可能不是实数。群运算是不能交换的矩阵乘法。SU(n)群是幺正群U(n)的子群。作为紧致的古典群，U(n)是把标准内积保留在Cⁿ上的群。它本身是一般线性群的子群。SU(n)群在粒子物理学的标准模型中得到广泛的应用，尤其是SU(2)在电弱相互作。
1. 概况
1961年，通过盖尔曼和纽曼的论文，SU(3)第一次进入粒子物理世界。纽曼把它应用于强子(hadron)的味(flavor)，粒子涉及的粲夸克、顶夸克或底夸克在那时是未知的。在现代科学语言中，这些强子是由三种不同味的夸克组成，它们被称为上夸克、下夸克和奇夸克。SU(3)对这些夸克的作用完全相同就像同位旋作用于p和n一样，(u, d,s) → U(u,d,s)实际上是一样的同位旋。
行列式值为1的幺正3 × 3矩阵对于强相互作用是拉格朗日或哈密顿量的近似对称。保持第三个分量不变的幺正U矩阵的子集就是同位旋群SU(2)。然而，即使对于强相互作用而言，这种对称显然不是一种精确对称，因为包含奇异夸克的粒子要比其它粒子重得多。
在发现另外3种夸克味之后，人们对SU(3)作为一种味对称的兴趣基本上已经消退。这些夸克味的行为与前三种夸克味道非常不同以至于对称似乎是一种不恰当的近似。与此同时，要求夸克有三种颜色和三种味道的量子力学理论已成为理解强相互作用的标准方法，它是基于一种完全的色对称，实际上是一种规范对称。因此我们有充分的理由详细研究SU(3)，这既是为它本身，又是作为更精细群的一个示例。其生成源明显为3 × 3的厄米特无迹矩阵。这是一个八维空间，因为9个实值有一个无迹的限制，其标准基是盖尔曼最初的基。
1. 定义
SU(3)是3 × 3矩阵且行列式值为1的幺正矩阵组成的8维单李群。SU(3)的克莱布施–戈登系数是一个8维单李群。由于SU(3)是粒子物理增加的李群结构，在数学上并没有详细的定义，其定义一般依赖表示的公式和矩阵，请参见各种对SU(3)的定义，具体参见加州理工的链接。
在数学物理学中，克莱布施–戈登系数是在不耦合张量积基础上的总角动量本征态的膨胀系数。它们指定将两个不可约表示的张量积分解为不可约表示的直和，其中这些不可约表示的类型和多重性是抽象已知的。这个名字来自德国数学家克莱布施和戈登，其中戈登被称为不变量之王，他们在不变性理论上遇到同样的问题。
把克莱布施–戈登系数的SU(3)泛化是有用的，因为它们用于描述强子衰变，其中存在一种味道SU(3)对称性(八重态)，把三个轻夸克连接起来：上夸克、下夸克和奇夸克；此后又发展三个夸克粲夸克、顶夸克、底夸克。
2. SU(3)群
SU(3)是行列式(的值)等于1的群。该集合在矩阵乘法下封闭。以特殊幺正群为特征的所有转换都使规范保持不变。SU(3)的对称性出现在量子色动力学中，并且正如在夸克味对称性中所指出的那样，被称为八重态。夸克具有颜色量子数并构成SU(3)群的基本三重态表示。
SU(3)群是U(3)的子群，U(3)是所有3 × 3矩阵群。均匀性条件对3 × 3复矩阵的总计18个自由度施加9个约束关系。因此U(3)群的维数为9。此外，把U乘以一个相位e^(iφ)使范数不变。因此U(3)能分解为直积U(1) × SU(3) / Z3。由于此附加约束，SU(3)的维数为8。
3. SU(3)群的表示形式
SU(3)的不可约表示在包括赫尔的群伦在内的许多著作进行分析。由于SU(3)群是单连通的，表示与其李代数SU(3)或其李代数的复SL(3,C)一一对应。
这些表示标记为D(p,q)，其中p和q是非负整数，从物理上讲，p是夸克的数量，q是反夸克的数量。从数学上讲，我们通过把标准3维表示形式的p个副本和标准表示形式的对偶的q个副本张紧在一起，接着提取不可约不变子空间构造表示形式D(p,q)。p是一组单框列的夸克，q是一组双框列的反夸克。考虑参数p和q的另一种方法是对角矩阵的最大特征值。
4. 拓扑结构
SU(3)是一个单连通紧李群。通过注意到SU(3)在C³ = R⁶的单位球S^5上传递性地起作用，就能理解它的拓扑结构。球体内任意点的稳定子与SU(2)同构，SU(2)在拓扑上是S³。然后得出结论: SU(3)是在基S⁵上带S³纤维的纤维丛。由于纤维和基之间的连接简单，因此SU(3)的单连通是通过标准拓扑结果得出的-纤维丛的同构群的长而正合群里额，S⁵上的SU(2)纤维丛通过π₄(S³)= Z₂分类，因为我们能通过查看两个半球Sɴ⁵上的平凡丛构造任何此类纤维丛S₅⁵并查看它们的交点上的等价于S⁴的转移函数。
备注：
1. 矩阵李群: 用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都能用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括赫尔以及罗斯曼等人，这样能简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例—以上列举的群均为经典群。
1). 定义在实数域R和复数域C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
2). 幺正群U(n)和特殊幺正群SU(n)包含满足U* = U⁻¹；对于特殊幺正群而言，还需满足det(U) = 1的n × n复矩阵。
3). 正交群O(n)和特殊正交群SO(n)包含满足Rᵀ =R⁻¹；对于特殊正交群而言，还需满足det(R) = 1的n × n实矩阵。
2. 纤维丛：代数丛是一种纤维丛，其纤维为代数，局部平凡化遵循代数结构。因此转移函数是代数同构。由于代数是向量空间，因此每个代数丛都是向量丛。实例包括与给定向量束关联的张量—代数丛、外部丛和对称丛以及与任何黎曼向量束关联的克利福德丛。在拓扑上，纤维丛在数学上是一个局部看来像直积空间，但整体可能有不同的结构；每个纤维丛对应一个连续满射π: E→B。E和乘积空间B × F的局部类似性能用映射说明，即在每个E的局部空间U都存在一个相同的F纤维，使得π限制在 U上时与直积空间P：B × F ↦ B, P(b,f)的投影相似。一般用满射π: E→B表示一个纤维丛而忽略F，莫比乌斯环是圆上的非平凡纤维丛。
caltech: /~xcchen/img/Ph129b2020/lecture/lecture0305.pdf
rutgers: https://t.cn/A6oOxpxM
ckoerber: https://t.cn/A6oOx35K
8维空间、厄米特复矩阵、矩阵群同构、纤维丛
阶为n的特殊幺正群表示为SU(n)，它是行列式值为1的n × n幺正矩阵的李群。更一般的幺正矩阵或许具有绝对值为1的复行列式，但在特殊情况下可能不是实数。群运算是不能交换的矩阵乘法。SU(n)群是幺正群U(n)的子群。作为紧致的古典群，U(n)是把标准内积保留在Cⁿ上的群。它本身是一般线性群的子群。SU(n)群在粒子物理学的标准模型中得到广泛的应用，尤其是SU(2)在电弱相互作。
1. 概况
1961年，通过盖尔曼和纽曼的论文，SU(3)第一次进入粒子物理世界。纽曼把它应用于强子(hadron)的味(flavor)，粒子涉及的粲夸克、顶夸克或底夸克在那时是未知的。在现代科学语言中，这些强子是由三种不同味的夸克组成，它们被称为上夸克、下夸克和奇夸克。SU(3)对这些夸克的作用完全相同就像同位旋作用于p和n一样，(u, d,s) → U(u,d,s)实际上是一样的同位旋。
行列式值为1的幺正3 × 3矩阵对于强相互作用是拉格朗日或哈密顿量的近似对称。保持第三个分量不变的幺正U矩阵的子集就是同位旋群SU(2)。然而，即使对于强相互作用而言，这种对称显然不是一种精确对称，因为包含奇异夸克的粒子要比其它粒子重得多。
在发现另外3种夸克味之后，人们对SU(3)作为一种味对称的兴趣基本上已经消退。这些夸克味的行为与前三种夸克味道非常不同以至于对称似乎是一种不恰当的近似。与此同时，要求夸克有三种颜色和三种味道的量子力学理论已成为理解强相互作用的标准方法，它是基于一种完全的色对称，实际上是一种规范对称。因此我们有充分的理由详细研究SU(3)，这既是为它本身，又是作为更精细群的一个示例。其生成源明显为3 × 3的厄米特无迹矩阵。这是一个八维空间，因为9个实值有一个无迹的限制，其标准基是盖尔曼最初的基。
1. 定义
SU(3)是3 × 3矩阵且行列式值为1的幺正矩阵组成的8维单李群。SU(3)的克莱布施–戈登系数是一个8维单李群。由于SU(3)是粒子物理增加的李群结构，在数学上并没有详细的定义，其定义一般依赖表示的公式和矩阵，请参见各种对SU(3)的定义，具体参见加州理工的链接。
在数学物理学中，克莱布施–戈登系数是在不耦合张量积基础上的总角动量本征态的膨胀系数。它们指定将两个不可约表示的张量积分解为不可约表示的直和，其中这些不可约表示的类型和多重性是抽象已知的。这个名字来自德国数学家克莱布施和戈登，其中戈登被称为不变量之王，他们在不变性理论上遇到同样的问题。
把克莱布施–戈登系数的SU(3)泛化是有用的，因为它们用于描述强子衰变，其中存在一种味道SU(3)对称性(八重态)，把三个轻夸克连接起来：上夸克、下夸克和奇夸克；此后又发展三个夸克粲夸克、顶夸克、底夸克。
2. SU(3)群
SU(3)是行列式(的值)等于1的群。该集合在矩阵乘法下封闭。以特殊幺正群为特征的所有转换都使规范保持不变。SU(3)的对称性出现在量子色动力学中，并且正如在夸克味对称性中所指出的那样，被称为八重态。夸克具有颜色量子数并构成SU(3)群的基本三重态表示。
SU(3)群是U(3)的子群，U(3)是所有3 × 3矩阵群。均匀性条件对3 × 3复矩阵的总计18个自由度施加9个约束关系。因此U(3)群的维数为9。此外，把U乘以一个相位e^(iφ)使范数不变。因此U(3)能分解为直积U(1) × SU(3) / Z3。由于此附加约束，SU(3)的维数为8。
3. SU(3)群的表示形式
SU(3)的不可约表示在包括赫尔的群伦在内的许多著作进行分析。由于SU(3)群是单连通的，表示与其李代数SU(3)或其李代数的复SL(3,C)一一对应。
这些表示标记为D(p,q)，其中p和q是非负整数，从物理上讲，p是夸克的数量，q是反夸克的数量。从数学上讲，我们通过把标准3维表示形式的p个副本和标准表示形式的对偶的q个副本张紧在一起，接着提取不可约不变子空间构造表示形式D(p,q)。p是一组单框列的夸克，q是一组双框列的反夸克。考虑参数p和q的另一种方法是对角矩阵的最大特征值。
4. 拓扑结构
SU(3)是一个单连通紧李群。通过注意到SU(3)在C³ = R⁶的单位球S^5上传递性地起作用，就能理解它的拓扑结构。球体内任意点的稳定子与SU(2)同构，SU(2)在拓扑上是S³。然后得出结论: SU(3)是在基S⁵上带S³纤维的纤维丛。由于纤维和基之间的连接简单，因此SU(3)的单连通是通过标准拓扑结果得出的-纤维丛的同构群的长而正合群里额，S⁵上的SU(2)纤维丛通过π₄(S³)= Z₂分类，因为我们能通过查看两个半球Sɴ⁵上的平凡丛构造任何此类纤维丛S₅⁵并查看它们的交点上的等价于S⁴的转移函数。
备注：
1. 矩阵李群: 用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都能用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括赫尔以及罗斯曼等人，这样能简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例—以上列举的群均为经典群。
1). 定义在实数域R和复数域C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
2). 幺正群U(n)和特殊幺正群SU(n)包含满足U* = U⁻¹；对于特殊幺正群而言，还需满足det(U) = 1的n × n复矩阵。
3). 正交群O(n)和特殊正交群SO(n)包含满足Rᵀ =R⁻¹；对于特殊正交群而言，还需满足det(R) = 1的n × n实矩阵。
2. 纤维丛：代数丛是一种纤维丛，其纤维为代数，局部平凡化遵循代数结构。因此转移函数是代数同构。由于代数是向量空间，因此每个代数丛都是向量丛。实例包括与给定向量束关联的张量—代数丛、外部丛和对称丛以及与任何黎曼向量束关联的克利福德丛。在拓扑上，纤维丛在数学上是一个局部看来像直积空间，但整体可能有不同的结构；每个纤维丛对应一个连续满射π: E→B。E和乘积空间B × F的局部类似性能用映射说明，即在每个E的局部空间U都存在一个相同的F纤维，使得π限制在 U上时与直积空间P：B × F ↦ B, P(b,f)的投影相似。一般用满射π: E→B表示一个纤维丛而忽略F，莫比乌斯环是圆上的非平凡纤维丛。
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丁酉日是哪一天 丁酉日生人命运解析
丁酉日是哪一天？丁酉日五行属什么？丁酉日出生的人命运会如何？出生时辰在我们的命理学中还会按照金木水火土五行的属性来进行区分。不同出生时辰五行都是不一样的。那么丁酉日是哪一天？丁酉日出生的人的五行属什么？
丁酉日是哪一天
丁酉日为干支纪日，满60天为一甲子偱环，由于农历的大月小月、闰月等规律性不强，因此一般靠查历书来获得哪天是丁酉日。
丁酉日为玉女乘凤日。坐长生，临偏财。朱雀乘凤显英豪，金车玉凤福寿高。贵人龙马东方起，太阳升时漫徒劳。丁酉日生于亥月，贵人捧印，丁酉日生于酉戌月，犯刑，骨肉无情，因财分张。丁酉日生于子月，杀旺，喜行土运，丁酉日生于午月，干强，财旺，丁酉日生于未月，衣禄平常，丁酉日生于申月，财多身弱，富室贫人，丁酉日生于戌月，技术生涯。
日纳音是山下火命，为人喜好春风，多情重恩，外柔内刚，报复心强；喜欢交际以及交易，外向明朗，物资运强；早年劳碌，中年身闲心苦，晚年名利两丰；男命兴家，女命旺财，有贵人扶助。
丁酉日出生的人，无论男女，都具备高明智慧的一面，个性温顺，一如挂在秋夜苍穹的明星。既给人秋夜丰收的喜悦，也给人秋虫唧唧、浅吟低唱的浪漫。极富同情心。由于秋夜浪漫的琴弦，拨弹着敏感的神经，所以丁酉日出生的人，又常常会给人神经过敏的印象。在感性上容易自讨苦吃，其五行原理也在这里。
丁酉日的人，和人之间都会缺乏了活力，做人做事情都会悲观的人，一生起伏很大，从来都会没有智慧的人生命从来都是属于到性格不好，不过吧都会有敏感的神经，都会有同情心的。
丁酉日的人配偶都会有得到帮助自己的能力，都会很好的和谐，若是可以改善下大家的缺点，夫妻关系都会很和谐的，一生命理都会很平凡的人生来的。
丁酉日是哪一天？丁酉日五行属什么？丁酉日出生的人命运会如何？出生时辰在我们的命理学中还会按照金木水火土五行的属性来进行区分。不同出生时辰五行都是不一样的。那么丁酉日是哪一天？丁酉日出生的人的五行属什么？
丁酉日是哪一天
丁酉日为干支纪日，满60天为一甲子偱环，由于农历的大月小月、闰月等规律性不强，因此一般靠查历书来获得哪天是丁酉日。
丁酉日为玉女乘凤日。坐长生，临偏财。朱雀乘凤显英豪，金车玉凤福寿高。贵人龙马东方起，太阳升时漫徒劳。丁酉日生于亥月，贵人捧印，丁酉日生于酉戌月，犯刑，骨肉无情，因财分张。丁酉日生于子月，杀旺，喜行土运，丁酉日生于午月，干强，财旺，丁酉日生于未月，衣禄平常，丁酉日生于申月，财多身弱，富室贫人，丁酉日生于戌月，技术生涯。
日纳音是山下火命，为人喜好春风，多情重恩，外柔内刚，报复心强；喜欢交际以及交易，外向明朗，物资运强；早年劳碌，中年身闲心苦，晚年名利两丰；男命兴家，女命旺财，有贵人扶助。
丁酉日出生的人，无论男女，都具备高明智慧的一面，个性温顺，一如挂在秋夜苍穹的明星。既给人秋夜丰收的喜悦，也给人秋虫唧唧、浅吟低唱的浪漫。极富同情心。由于秋夜浪漫的琴弦，拨弹着敏感的神经，所以丁酉日出生的人，又常常会给人神经过敏的印象。在感性上容易自讨苦吃，其五行原理也在这里。
丁酉日的人，和人之间都会缺乏了活力，做人做事情都会悲观的人，一生起伏很大，从来都会没有智慧的人生命从来都是属于到性格不好，不过吧都会有敏感的神经，都会有同情心的。
丁酉日的人配偶都会有得到帮助自己的能力，都会很好的和谐，若是可以改善下大家的缺点，夫妻关系都会很和谐的，一生命理都会很平凡的人生来的。
2022年10月28日，原本该是平凡又普通的一天，但今天是我好朋友@阿湫成熟稳重机智聪慧一夜暴富 的生日，他在24年前的今天出生在这个世界上，20多年后又和我相遇，我们成为了很好很好的朋友，于是今天变得不再普通。
重要的日子从来不是因为数字，而是因为人，所以我总想着，在今天，要写点什么给我的朋友。
提笔却又不知该从何写起，思绪一下子飘回今年夏天，我们居住的城市同往年一样沉闷燥热，四十度的天气，和快要燃烧的柏油马路，而我们两个人只是漫无目的的走在马路上，却仿佛已从压的喘不过气的日子里逃离了。
这个夏天以及夏天往前发生了很多事，可细细想起来，又好像也没有什么大事，只是度过了一小段难熬的日子，我们同样迷茫又焦虑着，搁着手机屏幕从深夜聊到天亮，以从彼此身上找到一丝慰藉。
再然后是真正的夏天，那时候我每天都感觉快要活不下去了，恨不得第二天世界就毁灭，但是现在再回忆起来，竟只剩下我俩精打细算着钱在网吧包夜通宵，凌晨溜出去吃东西，拎着两罐啤酒坐在马路牙子上聊天，夜晚没有白天那样热，有夜风吹过，那些藏在心里的阴郁也好像一下子全被吹散了。
还有那晚在后海边上，十五块钱的串和那几罐啤酒，拼凑成了七月我最快乐的记忆，事实上那天见面之前我大哭了很久，也早就忘记为什么而哭了，只记得我们在长椅上拉开易拉罐环，举起手碰杯，啤酒苦涩的从嘴巴里流到胃里，接着脸上开始发烫，然后开一些无伤大雅的玩笑。
后半夜说累了，安静的躺在长椅上，我听着涨起的河水拍打着岸边，眼睛里看着苍茫的夜空，闪闪烁烁着几颗几乎看不见的星星，可那已是我今年看过最漂亮的星空了。
时至今日，我俩的生活都在慢慢变好，曾经以为过不去的坎也已经变成了无关紧要的小事，但我仍然记得那段日子，也感谢他的陪伴。
不管是过去打湿枕巾的眼泪，还是刀子划过皮肉留下的伤口，都会被岁月慢慢掩盖，我们只要向前走就好。
人生不过短短几行诗，我希望我们都过得好，也希望我们都变成更好的大人。
你说你许愿希望我快乐，那我也祝你快乐，明天比今天更快乐。
最后，郑重的祝你，所有一切都，得偿所愿@阿湫成熟稳重机智聪慧一夜暴富
重要的日子从来不是因为数字，而是因为人，所以我总想着，在今天，要写点什么给我的朋友。
提笔却又不知该从何写起，思绪一下子飘回今年夏天，我们居住的城市同往年一样沉闷燥热，四十度的天气，和快要燃烧的柏油马路，而我们两个人只是漫无目的的走在马路上，却仿佛已从压的喘不过气的日子里逃离了。
这个夏天以及夏天往前发生了很多事，可细细想起来，又好像也没有什么大事，只是度过了一小段难熬的日子，我们同样迷茫又焦虑着，搁着手机屏幕从深夜聊到天亮，以从彼此身上找到一丝慰藉。
再然后是真正的夏天，那时候我每天都感觉快要活不下去了，恨不得第二天世界就毁灭，但是现在再回忆起来，竟只剩下我俩精打细算着钱在网吧包夜通宵，凌晨溜出去吃东西，拎着两罐啤酒坐在马路牙子上聊天，夜晚没有白天那样热，有夜风吹过，那些藏在心里的阴郁也好像一下子全被吹散了。
还有那晚在后海边上，十五块钱的串和那几罐啤酒，拼凑成了七月我最快乐的记忆，事实上那天见面之前我大哭了很久，也早就忘记为什么而哭了，只记得我们在长椅上拉开易拉罐环，举起手碰杯，啤酒苦涩的从嘴巴里流到胃里，接着脸上开始发烫，然后开一些无伤大雅的玩笑。
后半夜说累了，安静的躺在长椅上，我听着涨起的河水拍打着岸边，眼睛里看着苍茫的夜空，闪闪烁烁着几颗几乎看不见的星星，可那已是我今年看过最漂亮的星空了。
时至今日，我俩的生活都在慢慢变好，曾经以为过不去的坎也已经变成了无关紧要的小事，但我仍然记得那段日子，也感谢他的陪伴。
不管是过去打湿枕巾的眼泪，还是刀子划过皮肉留下的伤口，都会被岁月慢慢掩盖，我们只要向前走就好。
人生不过短短几行诗，我希望我们都过得好，也希望我们都变成更好的大人。
你说你许愿希望我快乐，那我也祝你快乐，明天比今天更快乐。
最后，郑重的祝你，所有一切都，得偿所愿@阿湫成熟稳重机智聪慧一夜暴富
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