在诺特的论文中的伽罗华预解式和初等对称多项式-续
伽罗华和拉格朗日预解式(resolvent)、判别式、稳定子群、轨道
在诺特1915年的论文有限群不变量的有限性定理(Der Endlichkeitssatz Der invariantten endlicher Gruppen)中，我们注意到伽罗华预解式的概念。
1. 一般概念
在伽罗华理论中，置换群G的预解式是一个多项式，其系数多项式依赖于给定多项式p的系数；不仅如此，粗略地说，当且仅当多项式p的伽罗华群包含在群G中。更确切地说，若群G中包含伽罗华群，则预解式具有有理根；若有理根是单根(simple root)，则反之亦然。预解式由拉格朗日提出并由伽罗华系统地使用。预解式仍然是计算伽罗华群的基本工具。最简单的预解式实例简述如下:
1. X² — Δ： 这里的Δ是判别式，它是交替群A的预解式；在三次方程的情况下，这种分解有时称为二次分解；它的根(roots)明确出现在三次方程的根公式中。
2. 四次方程的三次求解，它是8个元素的二面体群的求解。
3. 凯莱预解式是对5次最大可解的伽罗华群的分解，它是一个6次多项式。
这三个预解式具有总是可分(separable)的性质，这意味着: 若它们有多个根，则多项式p不是不可约的。不知道对于每个由置换构成的群(every group of permutations)是否有一个总是可分的预解式。
对于每个方程，根(roots)都能用根(radicals)和可解群的预解式的根(roots)表示，因为由这个根(root)生成的域上方程的伽罗华群是可解的。请注意这里的roots、radicals和root.
二. 定义
设n是一个正整数，这是我们要考虑的方程的次数以及 (X₁, ..., Xₙ) 一个不确定的有序列表。这定义n次一般多项式。
F(X) = Xⁿ + Σ_{i=1~n} (-1)ⁱ·Eᵢ·Xⁿ⁻ⁱ = ∏_{i=1~n} (X - Xᵢ);
其中Eᵢ是第i个初等对称多项式。
对称群Sₙ通过置换作用域Xᵢ，这导致对Xᵢ中多项式的作用。在此作用下给定多项式的稳定子群(stabilizer)一般是平凡的，但某些多项式具有较大的稳定子群。例如，一个初等对称多项式的稳定子群是整个群Sₙ。若稳定子群是非平凡的，则多项式由某个非平凡的子群G固定，称为G的不变量。与此相反，给定Sₙ的子群G，若G的不变量不是Sₙ的任何更大子群的不变量，则G的不变量是G的预解式不变量。
为Sₙ的给定子群G找到不变量相对容易；人们能在对称群Sₙ的作用下对单项式(monomia)的轨道(orbit)求和。然而，结式多项式对于较大的群可能是不变量。例如，考虑4阶对称群S₄的子群G的情况，由(12)(34), (13)(24), (14)(23)和恒等元组成(符号见置换群) 。单项式X₁X₂给出不变量2(X₁X₂ + X₃X₄)。它不是群G的预解式不变量，因为由(12)不变量，它实际上是二面体子群 ⟨(12), (1324)⟩的预解式不变量，用于定义4次方程的预解式3次方程。
若P是指标为m的群G的预解式不变量，则它在Sₙ下的轨道的阶为m。设P₁, ..., Pₘ为该轨道的元素。那么多项式
Rɢ = ∏_{i=1~m} (Y - Pᵢ)
上式在对称群Sₙ作用下不变。因此，当它展开时，其系数是在对称群作用下不变的Xᵢ中的多项式，因此它能表示为初等对称多项式中的多项式。换言之，Rɢ是Y中的不可约多项式，Y的系数是F系数中的多项式。以预解式不变量为根，称为预解式，有时称为预解式方程。现在考虑一个不可约多项式
f(X) = Xⁿ + Σ_{i=1~n}aᵢ·Xⁿ⁻ⁱ = ∏_{i=1~n} (X - Xᵢ);
上式具有给定域K(通常是有理数域)中的系数和代数闭域扩张中的根xᵢ。如果把X替换Xᵢ并用函数f的系数替换函数F的系数，那么就得到一个多项式Rɢᶠ(Y)，在有歧义的情况下，它被称为预解式或专门化的预解式。若函数f的伽罗华群包含在群G中，则预解式不变量的专门化对群G是不变的。因此预解式Rɢᶠ(Y)的一个根(root)属于域K(它是K上的有理数)。与此相反，若预解式Rɢᶠ(Y)有一个有理根而不是一个多重根，则函数f的伽罗瓦群包含在群G中。
三. 术语
术语中有一些变量。根据作者或上下文，预解式可能指的是预解式不变量而不是预解式(多项式)方程。伽罗华预解式是这样一种预解式—其预解式不变量在根上是线性的。拉格朗日预解式可以指下述的线性多项式。
Σ_{i=1~n-1}Xᵢ · ωⁱ
其中ω是单位的本原n次方根。它是恒等群的伽罗华预解式的预解式不变量。
一个相对预解式的定义与预解式的定义类似，但仅考虑Sₙ的给定子群H(请注意H一般是正规子群)的元素的作用，具有以下性质，如果H的子群G的相对预解式具有有理单根(simple root)和f的伽罗华群包含在子群H中，则f的伽罗华群包含在G中。在这种情况下，一般预解式称为绝对预解式。
四. 预解式方法
n次多项式的伽罗华群是Sₙ或它的真子群。若一个多项式是可分的且不可约的，则对应的伽罗华群是可迁(或传递)子群。
Sₙ的可迁子群形成一个有向图：一个群可以是几个群的一个子群。一个预解式能一个判断多项式的伽罗华群是否是给定群的(不一定是真)子群。预解式方法只是一种系统的方法，它逐个检查群直到只有一个群是可能的。这并不意味着必须检查每个群：每个预解式都能取消一些可能的群。例如，对于5次多项式，永远不需要D₅的求解：A₅和 M₂₀的求解给出所需的信息。一种方法是从最大可迁(或传递)子群开始，直到找到正确的子群，然后继续使用该最大子群。
备注：
1. 二面体子群表示为形如 ⟨(12), (1324)⟩。
2. 循环子群表示为⟨(12)⟩的形式，外面是尖括号⟨⟩，里面是圆括号()。
/Resolvent_%28Galois_theory%29
伽罗华和拉格朗日预解式(resolvent)、判别式、稳定子群、轨道
在诺特1915年的论文有限群不变量的有限性定理(Der Endlichkeitssatz Der invariantten endlicher Gruppen)中，我们注意到伽罗华预解式的概念。
1. 一般概念
在伽罗华理论中，置换群G的预解式是一个多项式，其系数多项式依赖于给定多项式p的系数；不仅如此，粗略地说，当且仅当多项式p的伽罗华群包含在群G中。更确切地说，若群G中包含伽罗华群，则预解式具有有理根；若有理根是单根(simple root)，则反之亦然。预解式由拉格朗日提出并由伽罗华系统地使用。预解式仍然是计算伽罗华群的基本工具。最简单的预解式实例简述如下:
1. X² — Δ： 这里的Δ是判别式，它是交替群A的预解式；在三次方程的情况下，这种分解有时称为二次分解；它的根(roots)明确出现在三次方程的根公式中。
2. 四次方程的三次求解，它是8个元素的二面体群的求解。
3. 凯莱预解式是对5次最大可解的伽罗华群的分解，它是一个6次多项式。
这三个预解式具有总是可分(separable)的性质，这意味着: 若它们有多个根，则多项式p不是不可约的。不知道对于每个由置换构成的群(every group of permutations)是否有一个总是可分的预解式。
对于每个方程，根(roots)都能用根(radicals)和可解群的预解式的根(roots)表示，因为由这个根(root)生成的域上方程的伽罗华群是可解的。请注意这里的roots、radicals和root.
二. 定义
设n是一个正整数，这是我们要考虑的方程的次数以及 (X₁, ..., Xₙ) 一个不确定的有序列表。这定义n次一般多项式。
F(X) = Xⁿ + Σ_{i=1~n} (-1)ⁱ·Eᵢ·Xⁿ⁻ⁱ = ∏_{i=1~n} (X - Xᵢ);
其中Eᵢ是第i个初等对称多项式。
对称群Sₙ通过置换作用域Xᵢ，这导致对Xᵢ中多项式的作用。在此作用下给定多项式的稳定子群(stabilizer)一般是平凡的，但某些多项式具有较大的稳定子群。例如，一个初等对称多项式的稳定子群是整个群Sₙ。若稳定子群是非平凡的，则多项式由某个非平凡的子群G固定，称为G的不变量。与此相反，给定Sₙ的子群G，若G的不变量不是Sₙ的任何更大子群的不变量，则G的不变量是G的预解式不变量。
为Sₙ的给定子群G找到不变量相对容易；人们能在对称群Sₙ的作用下对单项式(monomia)的轨道(orbit)求和。然而，结式多项式对于较大的群可能是不变量。例如，考虑4阶对称群S₄的子群G的情况，由(12)(34), (13)(24), (14)(23)和恒等元组成(符号见置换群) 。单项式X₁X₂给出不变量2(X₁X₂ + X₃X₄)。它不是群G的预解式不变量，因为由(12)不变量，它实际上是二面体子群 ⟨(12), (1324)⟩的预解式不变量，用于定义4次方程的预解式3次方程。
若P是指标为m的群G的预解式不变量，则它在Sₙ下的轨道的阶为m。设P₁, ..., Pₘ为该轨道的元素。那么多项式
Rɢ = ∏_{i=1~m} (Y - Pᵢ)
上式在对称群Sₙ作用下不变。因此，当它展开时，其系数是在对称群作用下不变的Xᵢ中的多项式，因此它能表示为初等对称多项式中的多项式。换言之，Rɢ是Y中的不可约多项式，Y的系数是F系数中的多项式。以预解式不变量为根，称为预解式，有时称为预解式方程。现在考虑一个不可约多项式
f(X) = Xⁿ + Σ_{i=1~n}aᵢ·Xⁿ⁻ⁱ = ∏_{i=1~n} (X - Xᵢ);
上式具有给定域K(通常是有理数域)中的系数和代数闭域扩张中的根xᵢ。如果把X替换Xᵢ并用函数f的系数替换函数F的系数，那么就得到一个多项式Rɢᶠ(Y)，在有歧义的情况下，它被称为预解式或专门化的预解式。若函数f的伽罗华群包含在群G中，则预解式不变量的专门化对群G是不变的。因此预解式Rɢᶠ(Y)的一个根(root)属于域K(它是K上的有理数)。与此相反，若预解式Rɢᶠ(Y)有一个有理根而不是一个多重根，则函数f的伽罗瓦群包含在群G中。
三. 术语
术语中有一些变量。根据作者或上下文，预解式可能指的是预解式不变量而不是预解式(多项式)方程。伽罗华预解式是这样一种预解式—其预解式不变量在根上是线性的。拉格朗日预解式可以指下述的线性多项式。
Σ_{i=1~n-1}Xᵢ · ωⁱ
其中ω是单位的本原n次方根。它是恒等群的伽罗华预解式的预解式不变量。
一个相对预解式的定义与预解式的定义类似，但仅考虑Sₙ的给定子群H(请注意H一般是正规子群)的元素的作用，具有以下性质，如果H的子群G的相对预解式具有有理单根(simple root)和f的伽罗华群包含在子群H中，则f的伽罗华群包含在G中。在这种情况下，一般预解式称为绝对预解式。
四. 预解式方法
n次多项式的伽罗华群是Sₙ或它的真子群。若一个多项式是可分的且不可约的，则对应的伽罗华群是可迁(或传递)子群。
Sₙ的可迁子群形成一个有向图：一个群可以是几个群的一个子群。一个预解式能一个判断多项式的伽罗华群是否是给定群的(不一定是真)子群。预解式方法只是一种系统的方法，它逐个检查群直到只有一个群是可能的。这并不意味着必须检查每个群：每个预解式都能取消一些可能的群。例如，对于5次多项式，永远不需要D₅的求解：A₅和 M₂₀的求解给出所需的信息。一种方法是从最大可迁(或传递)子群开始，直到找到正确的子群，然后继续使用该最大子群。
备注：
1. 二面体子群表示为形如 ⟨(12), (1324)⟩。
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这是个有点无聊的符号帖（不知道哪里摸的了，方便自己用在这存个档）
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一些花里胡哨的～
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其他一些～
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来段街舞 ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ
再来一段ዽ ጿ ኈ ቼ
一直倒立 ቼ ቼ ቼ ቼ ቼ ቼ ቼ
来个单手翻 ኈ
ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ……
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（这个小骨头巨可爱好吗！用起来～）
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₍ᐢ •⌄• ᐢ₎ （可爱爆炸！瞧瞧这乖巧的耳朵）
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=͟͟͞͞(꒪ᗜ꒪ ‧̣̥̇) （惊慌失措哈哈哈）
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ᵕ̈ ɴɪᴄᴇ ᵕ̈
✐.…ʜᴀ͟ᴘ͟ᴘ͟ʏ ᴇᴠᴇʀʏᴅᴀʏ̆̈ ♥
ℋᵅᵖᵖᵞ♡ᵕ̈*
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░▒▓█ happy everyday █▓▒░
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º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ （上排数字）
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ （下排数字）
ᵃ ᵇ ᶜ ᵈ ᵉ ᶠ ᵍ ʰ ⁱ ʲ ᵏ ˡ ᵐ ⁿ ᵒ ᵖ ʳ ˢ ᵗ ᵘ ᵛ ʷ ˣ ʸ（小写字母）
ᴬ ᴮ ᒼ ᴰ ᴱ ᴳ ᴴ ᴵ ᴶ ᴷ ᴸ ᴹ ᴺ ᴼ ᴾ ᴼ̴ ᴿ ˢ ᵀ ᵁ ᵂ ˣ ᵞ ᙆ （大写字母）
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ᵔ.ᵔ
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ᑫᗯᗴᖇTYᑌIOᑭᗩᔕᗪᖴᘜᕼᒍKᒪᘔ᙭ᑕᐯᗷᑎᗰ（花哨英语字母）
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nice~(◍˃̶ᗜ˂̶◍)✩
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ʜᵃᵖᵖᵞ ʙⁱʳᵗʰᵈᵃᵞ
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ℂℍℕℙℚℝℤ
㋛ ⁼³₌₃
ʚɞ
ღღ
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ଲ
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ʕ•͓͡•ʔ-̫͡-
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(⑉꒦ິ^꒦ິ⑉) （这个好可爱呀）
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ଉ କ
ฅ՞•ﻌ•՞ต
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ಥ_ಥ ᖗ
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ℋᵅᵖᵖᵞ♡ᵕ̈* ᙚᵐⁱᒻᵉ¨̮♡
ꀿªᵖᵖᵞ☺︎ꔛ♡
ｏo ᶫᵒᵛᵉ♡ ℒℴѵℯ❤
B̆̈ĕ̈ h̆̈ă̈p̆̈p̆̈y̆̈ ♡
ᵕ̈ʜᵅᵖᵖᵞʙⁱʳᵗᑋᵈᵃᵞ
ᴵ ᴸᴼᵛᴱ ᵞᴼᵁ ᴹᴼᴿᴱ.
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ʚ ྀིɞ 。 ྀི ིྀ ¨̮
ᴴᴬᵛᴱ ᴬ ᴳᴼᴼᴰ ᵀᴵᴹᴱ☻
◡ ᑋᵉᑊᑊᵒ ᵕ̈ ᑋᵉᑊᑊᵒ
ᙏ：ʜɪ.
ᵕ̈ ✐ ᴹᴼᴿᴺᴵᴺᴳ ᵕ̈
ᵕ̈ ᵗᵒᵈᵃʸ ᶦˢ ᵃ ʰᵃᵖᵖʸ ᵈᵃʸ˙˘˙
♡◡ᶜᵘᵗᵉ
ᴄʜᴇᴇʀ ᴜᴘ
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☁️☁️ ¨̮ ᴴᴬᵛᴱ ᴬ ᴳᴼᴼᴰ ᵀᴵᴹᴱ દ ᵕ̈ ૩ ☁️
દ ᵕ̈ ૩
੭ ᐕ)੭*⁾⁾ ᐝ
σண♡
Ｇｏｏｄ Ｍｏｒｎ i̤̮ ｎｇ
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一些花里胡哨的～
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其他一些～
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藏文～
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୧⍤⃝
୧⍤⃝ ⍤⃝
⍥⃝ ⍨⃝
୧⍤⃝ ጿ
୧⍤⃝ኈ
୧⍤⃝ቼ
୧⍤⃝ዽ
୧⍤⃝ଘ
୧⍤⃝ଓ
୧⍤⃝ε=
୧⍤⃝❅
୧⍤⃝〰
来段街舞 ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ
再来一段ዽ ጿ ኈ ቼ
一直倒立 ቼ ቼ ቼ ቼ ቼ ቼ ቼ
来个单手翻 ኈ
ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ ጿ ኈ ቼ ዽ ጿ ኈቼ ዽ ጿ ኈ……
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˃̣̣̥᷄⌓˂̣̣̥᷅ （哭唧唧～超级适合撒娇）
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（这个小骨头巨可爱好吗！用起来～）
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ઇଓ
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˶⍤⃝˶꒳ᵒ꒳ᵎᵎᵎ
⁽˙⁸˙⁾ʹ˜˜ （mua mua mua～）
₍ᐢ •⌄• ᐢ₎ （可爱爆炸！瞧瞧这乖巧的耳朵）
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|｡･㉨･)っ♡
=͟͟͞͞(꒪ᗜ꒪ ‧̣̥̇) （惊慌失措哈哈哈）
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ᵕ̈ ɴɪᴄᴇ ᵕ̈
✐.…ʜᴀ͟ᴘ͟ᴘ͟ʏ ᴇᴠᴇʀʏᴅᴀʏ̆̈ ♥
ℋᵅᵖᵖᵞ♡ᵕ̈*
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╭─━─╯ happy birthday╰─━─╮
░▒▓█ happy everyday █▓▒░
2꙼̈0꙼̈2꙼̈0꙼̈ ʕ•̀ o •́ʔ
(￣ ii ￣;) 吸溜(￣＂￣;)
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ᵃ ᵇ ᶜ ᵈ ᵉ ᶠ ᵍ ʰ ⁱ ʲ ᵏ ˡ ᵐ ⁿ ᵒ ᵖ ʳ ˢ ᵗ ᵘ ᵛ ʷ ˣ ʸ（小写字母）
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ᑫᗯᗴᖇTYᑌIOᑭᗩᔕᗪᖴᘜᕼᒍKᒪᘔ᙭ᑕᐯᗷᑎᗰ（花哨英语字母）
ⓆⓌⒺⓇⓉⓎⓊⒾⓄⓅⒶⓈⒹⒻⒼⒽⒿⓀⓁⓏⓍⒸⓋⒷⓃⓂ︎
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