#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20211114提示：
(1)由矩阵乘法的定义, 我们可以将二次型表示成矩阵乘法形式f=x^TAx, 此时A=A^T, f和实对称矩阵A一一对应, A称作二次型的矩阵, A的秩也称为f的秩。那么对于一般的二次型, 怎么将它改写成这种矩阵形式？

(2)二次型矩阵的对角化, 即化二次型为标准形、规范形的问题。这里我们可以考虑使用“配方法”和“正交变换法”。
①正交变换法的对角化, 注意对角阵、正交变换矩阵与矩阵特征值、特征向量的关系。
②配方法的合同对角化, 注意配方法的规则。注意在求得标准形后, 如何做变换得到规范形, 同时注意变换矩阵的求解。

#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20211113文字稿, 详细内容请见视频讲解
(1)今天继续接着昨天的内容, 我们谈一谈用配方法化二次型为规范形。

(2)①今天的二次型较昨天的二次型而言, 只含有混合项不含平方项, 似乎无法直接使用昨天配方的思路和方法。
②这里采用一个线性变换的技巧, 巧妙利用平方差公式变换出平方项, 同时也保证了线性变换的可逆性。

(3)①注意二次型“标准形”、“规范形”的异同。这道题数字凑的比较好, 标准形和规范形是一致的, 减少了一定的计算量。
②这里经过了两次线性变换, 最终的线性变换应该是这两次线性变换的复合, 最终的变换矩阵相当于是两个变换矩阵依变换顺序的乘积。注意这里其中有一个变换矩阵是初等阵, 可以大大降低矩阵乘法的运算量。

(4)请结合这两天的内容, 从二次型和矩阵角度, 分析“实对称矩阵”具有哪些优秀的性质？
①任意的实二次型, 均可用配方法化为标准形、规范形。
②从矩阵角度出发, 即任意实对称阵均合同于对角阵。

#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20211113提示：
(1)今天继续接着昨天的内容, 我们来讨论用配方法化二次型为规范形。

(2)①今天的二次型较昨天的二次型而言, 只含有混合项不含平方项, 似乎无法直接使用昨天配方的思路和方法。
②这里采用一个线性变换的技巧, 巧妙利用平方差公式变换出平方项, 同时也保证了线性变换的可逆性。
提示：y1=x1+x2, y2=x1-x2, y3=x3

(3)①注意二次型“标准形”、“规范形”的异同。
②注意对可逆线性变换C及其对应矩阵的求解, 特别是需要做多次变换的情形。

(4)请结合这两天的内容, 从二次型和矩阵角度, 分析“实对称矩阵”具有哪些优秀的性质？