【 个案分享：真心感谢空明 】
无意中在知乎上看到了一些讨打miu的声音，很想说两句。
因为已经接触空明好几年了，本身自己在之前也接触了各种修行的人，试过各种方式，相信过各种大神，但是时间长久下来，真的切身体验到空明所给我带来的，胜于我以前所谓修行的很多很多倍。
对于是否骗人，传销等，有很明确的辨认方式：对方（这个组织），是否要求以及反复说服你强硬参加，是否利用恐惧对你控制，是否用"发财"等物质的东西来吸引你等等。以上的行为我全都没有见过。而且miu那边的项目一直都存在几个档位的价格，目的就是让没什么钱的人也能拍到，也会建议没钱的人试试自拍，还有发布到网上免费的文字，文章等。只要看了就能收益！而我的空明老师丹丹更是除了我自愿找她以外根本没主动要求过我什么，并且很愿意私下跟我聊天解答我的疑问，空明老师表现出来的就是很通透的一个存在，很明显她们就是一群去掉了大部分欲望，清静的人。空明的价格，性价比，对比起很多真正骗人的组织几十几百万的价格，实在是太太太划算了。谁得益谁知道，谁好谁知道，我也从来不主动硬性地向身边的人宣扬这个方式，因为清净的我们都知道要尊重每个人的自由意愿。我们是越拍越容易躲起来，但有人问的时候，就很愿意解答，尽自己的能力。所以说是传销组织的人，真的很可笑！
对于我自己，我也有过怀疑的时候。但这几年下来，确确实实感受到空明的发展以及逐渐强大——miu，所有空明老师也在一起进步着。很明白就是，如果人一开始实在太堵的话，就会用很多小我头脑，一些内心的匮乏，去对抗外界，去责怪外界，因为这样我就不用为自己负责了。还有金钱的恐惧觉得花出去的钱会失去，是损失。感情的匮乏，害怕我做了什么就就会失去对方等。种种原因，会让人很容易责怪到空明头上——其实一切都是因为自己太堵！还有人说空明是让想偷懒的人直接到达一个高度——不对！除了金钱能量的交换，空明的期间排解的情绪是你真真切切要经历的，空明后的排解也是你要真真切切应对的！有时候比死更难受，这就你需要付出的。很多人空明过后，就是因为过不了这关，继续困在了死胡同中。这都需要自己的力量，空明只是给你撬开你的壳让你深入看见自己而已。深入之后的确是非常非常害怕的，因为人类心里藏着太多苦了。否则的话，你都根本看不见自己。
我真正经历过不是正道的修行方式：鼓吹神通，要对所有人道歉，光和爱等等。那些才是无用功好吗！就算打坐好几年，能剥落的情绪都是太少太少了。因为过去的对比，使我内心更加相信空明的效果，就算排解难受的时候，也坚持相信。
目前我审视过去的自己，审视我自己的情绪，真的达到了另外一个高度。修行并不是让自己身边所有事情都平息下来，海浪还会不断翻起，但重要的是内心如何达到安在和平静。也体验到当你稳定之后，身边的人事物是真的围绕着你转的。而现在，我自己也能"与神对话"了，高我自然冒出来跟我交谈，这都是心清静了自然出现的效果。身体方面，更别说这几年，荨麻疹好了，鼻炎好了，疼痛没有了，发烧感冒都没有，我根本没看过医生。我都早已不担心身体会有任何疾病，这都只是清净下来的附作用而已。
我也开始看见，自己的价值，我的天赋逐渐的体现，看世间人事物逐渐的清晰。这又如何能向别人清楚的诉说我能体验到的呢。
很明白为什么网上都是讨伐的声音，赞同的声音太少。因为像我们如此平静的，或者清理到一个阶段的人，早已对外界没有 了 负 面 情 绪，头 脑因 为 经 常 放 空太 舒 服，很 容易 忘事 ，开 开心心或者不知道 怎么 时间 就过去 了， 更加没有 欲 望 来 写很 多文字。
能 听闻 佛 法很 难 ， 相信 很 难 ， 走 上修行之 路很难，能坚持的 也 特 别 特 别难，更别 说达到一 定的清 净和 开悟。 m i u 愿 意把 自 己做 成一个 例子 ， 把所有 自身好的坏 的 都抛出 来 给大家看，用犀 利的言 语揪出 对方的情绪 ， 不害 怕 被 攻 击 去 警醒 世 人，我觉得很 了不起。如果是 骗子，她为什么不 装作一切 都 很好呢 ？这 样不 是能让 更 多 匮乏的人相 信？—— 因为匮乏的人 如 果执迷 于物质世界 的 生活 就 会永 远 走不出来 看 不见 自己 了。
m iu 姐 ，空 明的 老师 ，我 们为 此受益的人，都是 地球人类一个发 热的小光源。 尽 我 们所能影响身边的人 ，让更多人清净下来 。
真 心 感 谢 空明。
☁☁☁
无意中在知乎上看到了一些讨打miu的声音，很想说两句。
因为已经接触空明好几年了，本身自己在之前也接触了各种修行的人，试过各种方式，相信过各种大神，但是时间长久下来，真的切身体验到空明所给我带来的，胜于我以前所谓修行的很多很多倍。
对于是否骗人，传销等，有很明确的辨认方式：对方（这个组织），是否要求以及反复说服你强硬参加，是否利用恐惧对你控制，是否用"发财"等物质的东西来吸引你等等。以上的行为我全都没有见过。而且miu那边的项目一直都存在几个档位的价格，目的就是让没什么钱的人也能拍到，也会建议没钱的人试试自拍，还有发布到网上免费的文字，文章等。只要看了就能收益！而我的空明老师丹丹更是除了我自愿找她以外根本没主动要求过我什么，并且很愿意私下跟我聊天解答我的疑问，空明老师表现出来的就是很通透的一个存在，很明显她们就是一群去掉了大部分欲望，清静的人。空明的价格，性价比，对比起很多真正骗人的组织几十几百万的价格，实在是太太太划算了。谁得益谁知道，谁好谁知道，我也从来不主动硬性地向身边的人宣扬这个方式，因为清净的我们都知道要尊重每个人的自由意愿。我们是越拍越容易躲起来，但有人问的时候，就很愿意解答，尽自己的能力。所以说是传销组织的人，真的很可笑！
对于我自己，我也有过怀疑的时候。但这几年下来，确确实实感受到空明的发展以及逐渐强大——miu，所有空明老师也在一起进步着。很明白就是，如果人一开始实在太堵的话，就会用很多小我头脑，一些内心的匮乏，去对抗外界，去责怪外界，因为这样我就不用为自己负责了。还有金钱的恐惧觉得花出去的钱会失去，是损失。感情的匮乏，害怕我做了什么就就会失去对方等。种种原因，会让人很容易责怪到空明头上——其实一切都是因为自己太堵！还有人说空明是让想偷懒的人直接到达一个高度——不对！除了金钱能量的交换，空明的期间排解的情绪是你真真切切要经历的，空明后的排解也是你要真真切切应对的！有时候比死更难受，这就你需要付出的。很多人空明过后，就是因为过不了这关，继续困在了死胡同中。这都需要自己的力量，空明只是给你撬开你的壳让你深入看见自己而已。深入之后的确是非常非常害怕的，因为人类心里藏着太多苦了。否则的话，你都根本看不见自己。
我真正经历过不是正道的修行方式：鼓吹神通，要对所有人道歉，光和爱等等。那些才是无用功好吗！就算打坐好几年，能剥落的情绪都是太少太少了。因为过去的对比，使我内心更加相信空明的效果，就算排解难受的时候，也坚持相信。
目前我审视过去的自己，审视我自己的情绪，真的达到了另外一个高度。修行并不是让自己身边所有事情都平息下来，海浪还会不断翻起，但重要的是内心如何达到安在和平静。也体验到当你稳定之后，身边的人事物是真的围绕着你转的。而现在，我自己也能"与神对话"了，高我自然冒出来跟我交谈，这都是心清静了自然出现的效果。身体方面，更别说这几年，荨麻疹好了，鼻炎好了，疼痛没有了，发烧感冒都没有，我根本没看过医生。我都早已不担心身体会有任何疾病，这都只是清净下来的附作用而已。
我也开始看见，自己的价值，我的天赋逐渐的体现，看世间人事物逐渐的清晰。这又如何能向别人清楚的诉说我能体验到的呢。
很明白为什么网上都是讨伐的声音，赞同的声音太少。因为像我们如此平静的，或者清理到一个阶段的人，早已对外界没有 了 负 面 情 绪，头 脑因 为 经 常 放 空太 舒 服，很 容易 忘事 ，开 开心心或者不知道 怎么 时间 就过去 了， 更加没有 欲 望 来 写很 多文字。
能 听闻 佛 法很 难 ， 相信 很 难 ， 走 上修行之 路很难，能坚持的 也 特 别 特 别难，更别 说达到一 定的清 净和 开悟。 m i u 愿 意把 自 己做 成一个 例子 ， 把所有 自身好的坏 的 都抛出 来 给大家看，用犀 利的言 语揪出 对方的情绪 ， 不害 怕 被 攻 击 去 警醒 世 人，我觉得很 了不起。如果是 骗子，她为什么不 装作一切 都 很好呢 ？这 样不 是能让 更 多 匮乏的人相 信？—— 因为匮乏的人 如 果执迷 于物质世界 的 生活 就 会永 远 走不出来 看 不见 自己 了。
m iu 姐 ，空 明的 老师 ，我 们为 此受益的人，都是 地球人类一个发 热的小光源。 尽 我 们所能影响身边的人 ，让更多人清净下来 。
真 心 感 谢 空明。
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#微读圣经[超话]##上帝告诉我们[超话]#
大海6795骑马游览杭州湾跨海大桥来投稿发表文章：
哥林多前书 2 章
【林前2:1-16】
传扬钉十字架的基督
1弟兄们，从前我到你们那里去，并没有用高言大智对你们宣传 神的奥秘。
2因为我曾定了主意，在你们中间不知道别的，只知道耶稣基督并他钉十字架。
3我在你们那里，又软弱，又惧怕又甚战兢。
4我说的话、讲的道，不是用智慧委婉的言语，乃是用圣灵和大能的明证，
5叫你们的信不在乎人的智慧，只在乎 神的大能。
神借着圣灵启示我们
6然而，在完全的人中，我们也讲智慧。但不是这世上的智慧，也不是这世上有权有位、将要败亡之人的智慧。
7我们讲的，乃是从前所隐藏、 神奥秘的智慧，就是 神在万世以前预定使我们得荣耀的。
8这智慧世上有权有位的人没有一个知道的，他们若知道，就不把荣耀的主钉在十字架上了。
9如经上所记： 神为爱他的人所预备的是眼睛未曾看见，耳朵未曾听见，人心也未曾想到的。
10只有 神借着圣灵向我们显明了，因为圣灵参透万事，就是 神深奥的事也参透了。
11除了在人里头的灵，谁知道人的事？像这样，除了 神的灵，也没有人知道 神的事。
12我们所领受的，并不是世上的灵，乃是从 神来的灵，叫我们能知道 神开恩赐给我们的事。
13并且我们讲说这些事，不是用人智慧所指教的言语，乃是用圣灵所指教的言语，将属灵的话解释属灵的事（或作“将属灵的事讲与属灵的人”）。
14然而，属血气的人不领会 神圣灵的事，反倒以为愚拙，并且不能知道，因为这些事惟有属灵的人才能看透。
15属灵的人能看透万事，却没有一人能看透了他。
16谁曾知道主的心去教导他呢？但我们是有基督的心了。
哥林多前书 3 章
【林前3:1-23】
神的同工
1弟兄们，我从前对你们说话，不能把你们当作属灵的，只得把你们当作属肉体，在基督里为婴孩的。
2我是用奶喂你们，没有用饭喂你们。那时你们不能吃，就是如今还是不能。
3你们仍是属肉体的，因为在你们中间有嫉妒、纷争，这岂不是属乎肉体、照着世人的样子行吗？
4有说：「我是属保罗的」；有说：「我是属亚波罗的。」这岂不是你们和世人一样吗？
5亚波罗算什么？保罗算什么？无非是执事，照主所赐给他们各人的，引导你们相信。
6我栽种了，亚波罗浇灌了，惟有 神叫他生长。
7可见栽种的，算不得什么，浇灌的，也算不得什么；只在那叫他生长的 神。
8栽种的和浇灌的，都是一样，但将来各人要照自己的工夫得自己的赏赐。
9因为我们是与 神同工的；你们是 神所耕种的田地，所建造的房屋。
10我照 神所给我的恩，好像一个聪明的工头，立好了根基，有别人在上面建造；只是各人要谨慎怎样在上面建造。
11因为那已经立好的根基就是耶稣基督，此外没有人能立别的根基。
12若有人用金、银、宝石、草木、禾秸在这根基上建造，
13各人的工程必然显露，因为那日子要将它表明出来，有火发现；这火要试验各人的工程怎样。
14人在那根基上所建造的工程若存得住，他就要得赏赐。
15人的工程若被烧了，他就要受亏损，自己却要得救；虽然得救，乃像从火里经过的一样。
16岂不知你们是 神的殿， 神的灵住在你们里头吗？
17若有人毁坏 神的殿， 神必要毁坏那人；因为 神的殿是圣的，这殿就是你们。
18人不可自欺。你们中间若有人在这世界自以为有智慧，倒不如变作愚拙，好成为有智慧的。
19因这世界的智慧，在 神看是愚拙。如经上记着说：「主叫有智慧的，中了自己的诡计」；
20又说：「主知道智慧人的意念是虚妄的。」
21所以无论谁，都不可拿人夸口，因为万有全是你们的。
22或保罗，或亚波罗，或矶法，或世界，或生，或死，或现今的事，或将来的事，全是你们的；
23并且你们是属基督的，基督又是属 神的。
【大海题】
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哥林多前书 2 章
【林前2:1-16】
传扬钉十字架的基督
1弟兄们，从前我到你们那里去，并没有用高言大智对你们宣传 神的奥秘。
2因为我曾定了主意，在你们中间不知道别的，只知道耶稣基督并他钉十字架。
3我在你们那里，又软弱，又惧怕又甚战兢。
4我说的话、讲的道，不是用智慧委婉的言语，乃是用圣灵和大能的明证，
5叫你们的信不在乎人的智慧，只在乎 神的大能。
神借着圣灵启示我们
6然而，在完全的人中，我们也讲智慧。但不是这世上的智慧，也不是这世上有权有位、将要败亡之人的智慧。
7我们讲的，乃是从前所隐藏、 神奥秘的智慧，就是 神在万世以前预定使我们得荣耀的。
8这智慧世上有权有位的人没有一个知道的，他们若知道，就不把荣耀的主钉在十字架上了。
9如经上所记： 神为爱他的人所预备的是眼睛未曾看见，耳朵未曾听见，人心也未曾想到的。
10只有 神借着圣灵向我们显明了，因为圣灵参透万事，就是 神深奥的事也参透了。
11除了在人里头的灵，谁知道人的事？像这样，除了 神的灵，也没有人知道 神的事。
12我们所领受的，并不是世上的灵，乃是从 神来的灵，叫我们能知道 神开恩赐给我们的事。
13并且我们讲说这些事，不是用人智慧所指教的言语，乃是用圣灵所指教的言语，将属灵的话解释属灵的事（或作“将属灵的事讲与属灵的人”）。
14然而，属血气的人不领会 神圣灵的事，反倒以为愚拙，并且不能知道，因为这些事惟有属灵的人才能看透。
15属灵的人能看透万事，却没有一人能看透了他。
16谁曾知道主的心去教导他呢？但我们是有基督的心了。
哥林多前书 3 章
【林前3:1-23】
神的同工
1弟兄们，我从前对你们说话，不能把你们当作属灵的，只得把你们当作属肉体，在基督里为婴孩的。
2我是用奶喂你们，没有用饭喂你们。那时你们不能吃，就是如今还是不能。
3你们仍是属肉体的，因为在你们中间有嫉妒、纷争，这岂不是属乎肉体、照着世人的样子行吗？
4有说：「我是属保罗的」；有说：「我是属亚波罗的。」这岂不是你们和世人一样吗？
5亚波罗算什么？保罗算什么？无非是执事，照主所赐给他们各人的，引导你们相信。
6我栽种了，亚波罗浇灌了，惟有 神叫他生长。
7可见栽种的，算不得什么，浇灌的，也算不得什么；只在那叫他生长的 神。
8栽种的和浇灌的，都是一样，但将来各人要照自己的工夫得自己的赏赐。
9因为我们是与 神同工的；你们是 神所耕种的田地，所建造的房屋。
10我照 神所给我的恩，好像一个聪明的工头，立好了根基，有别人在上面建造；只是各人要谨慎怎样在上面建造。
11因为那已经立好的根基就是耶稣基督，此外没有人能立别的根基。
12若有人用金、银、宝石、草木、禾秸在这根基上建造，
13各人的工程必然显露，因为那日子要将它表明出来，有火发现；这火要试验各人的工程怎样。
14人在那根基上所建造的工程若存得住，他就要得赏赐。
15人的工程若被烧了，他就要受亏损，自己却要得救；虽然得救，乃像从火里经过的一样。
16岂不知你们是 神的殿， 神的灵住在你们里头吗？
17若有人毁坏 神的殿， 神必要毁坏那人；因为 神的殿是圣的，这殿就是你们。
18人不可自欺。你们中间若有人在这世界自以为有智慧，倒不如变作愚拙，好成为有智慧的。
19因这世界的智慧，在 神看是愚拙。如经上记着说：「主叫有智慧的，中了自己的诡计」；
20又说：「主知道智慧人的意念是虚妄的。」
21所以无论谁，都不可拿人夸口，因为万有全是你们的。
22或保罗，或亚波罗，或矶法，或世界，或生，或死，或现今的事，或将来的事，全是你们的；
23并且你们是属基督的，基督又是属 神的。
【大海题】
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…） (I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…） (II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…） (III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3（其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日 https://t.cn/A6PQ6kIC
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…） (I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…） (II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…） (III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3（其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日 https://t.cn/A6PQ6kIC
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