群G在集合S上的作用为映射G×S→S，对s∈S，其轨道Os、稳定化子Gs满足计数公式|G|=|Gs||Os|https://t.cn/A6MLPY4u。然后，Artin立即给出了它在几何上的奇妙运用，设G为正十二面体(regular dodecahedron)的旋转对称群（也即G由使得正十二面体不变的旋转变换构成），首先令G作用在所有面的集合F上，对其中某个面f来说，稳定化子Gf含5个旋转变换，它们的旋转轴通过面的中心，旋转角度为2π/5的倍数，轨道为12个面，故|G|=5*12=60。再令G作用在所有顶点的集合V上，对其中某个顶点v来说，稳定化子Gv含3个旋转变换，它们的旋转轴通过顶点，旋转角度为2π/3的倍数，轨道为20个顶点，故60=3*20。最后令G作用在所有边的集合E上，对其中某条边e来说，稳定化子Ge含2个旋转变换，它们的旋转轴通过边的中点，旋转角度为0或π。假如我们预先不知道边的数量，此时不必去数，既已知|G|=60，根据计数公式60=2*30可以算得边数为30。
【国庆 | 特别的日期】
素数，就是除了1和它自身外，没有其他因子的自然数。素数可以称得上是数学里最有趣的问题之一，它是如此简单但又如此复杂。素数已经被应用在电子商务、工业设计、军工等众多领域。
今天是国庆节，日期为20211001，是一个素数。这篇科普短文，将让读者对素数有更多的了解。
就日期而言，20211001是一个素数，而两天前的20210929也是一个素数，也就是说国庆节的今天是个“日期孪生素数”。下一个日期孪生素数是20220119与20220121。
世界上关于日期主要有三种写法，分别是yyyy/mm/dd, mm/dd/yyyy与dd/mm/yyyy。在任何一种写法下，2021年10月1日都是素数。对于一个数论爱好者来说，这样的巧合就如同在生日遇到了流星雨。
让我们把视角拉回到新中国诞生的1949年。当年，Atle Selberg在《数学年刊》上发表了两篇论文，分别给出了素数定理和Dirichlet定理的简单证明。根据Dirichlet定理，有无穷多个年份的国庆节都是素数。
同年，Andre Weil发表了重要的论文Numbers of Solutions of Equations in Finite Fields，在Emil Artin的工作的基础上完全解决了在有限域上曲线的数点问题。基于这篇文章，著名的Weil猜想被自然地引申出来。作为Riemann猜想在有限域时的对应物，这成为了20世纪数学界最为重要的问题之一。最终于上世纪70年代被Deligne利用etale cohomology成功解决。
文字 | 陈泽坤
来源：北京国际数学研究中心BICMR#微博公开课##新中国成立72周年#
素数，就是除了1和它自身外，没有其他因子的自然数。素数可以称得上是数学里最有趣的问题之一，它是如此简单但又如此复杂。素数已经被应用在电子商务、工业设计、军工等众多领域。
今天是国庆节，日期为20211001，是一个素数。这篇科普短文，将让读者对素数有更多的了解。
就日期而言，20211001是一个素数，而两天前的20210929也是一个素数，也就是说国庆节的今天是个“日期孪生素数”。下一个日期孪生素数是20220119与20220121。
世界上关于日期主要有三种写法，分别是yyyy/mm/dd, mm/dd/yyyy与dd/mm/yyyy。在任何一种写法下，2021年10月1日都是素数。对于一个数论爱好者来说，这样的巧合就如同在生日遇到了流星雨。
让我们把视角拉回到新中国诞生的1949年。当年，Atle Selberg在《数学年刊》上发表了两篇论文，分别给出了素数定理和Dirichlet定理的简单证明。根据Dirichlet定理，有无穷多个年份的国庆节都是素数。
同年，Andre Weil发表了重要的论文Numbers of Solutions of Equations in Finite Fields，在Emil Artin的工作的基础上完全解决了在有限域上曲线的数点问题。基于这篇文章，著名的Weil猜想被自然地引申出来。作为Riemann猜想在有限域时的对应物，这成为了20世纪数学界最为重要的问题之一。最终于上世纪70年代被Deligne利用etale cohomology成功解决。
文字 | 陈泽坤
来源：北京国际数学研究中心BICMR#微博公开课##新中国成立72周年#
当n≥5时，交错群(alternating group)An是单群 (simple group)。单群指不是平凡群{e}，且没有{e}与其自身以外的正规子群的群，单群在群中的地位相当于素数在数中的地位。伽罗瓦首先证明了该定理，并由此出发证明五次及以上方程一般无根式解。Artin书中给出的证明如下（本人根据自己的理解补充了些细节）：
引理1：n≥3时，An由3循环生成。
证明：任意p∈An，若p是单位元e，则为任意一个3循环的立方。若p不是单位元，假设其固定了{1,2 ……n}中的m个元素，它要么含有k循环(k≥3)，要么含有两个2循环的乘积，因为编号无足轻重，不妨设p=(123…k)…或p=(12)(34)…。令q=(321), (321)(123…k)…=(1)(2)(3…k)… (321)(12) (34)…=(1)(234)…，因此qp固定了m+2或m+1个元素。重复这一过程，被固定元素个数步步增长，直至n个元素全都被固定，即可以找到q1,q2,… qk,使得qk…q2q1p=e，也即p=(q1^-1)(q2^-1) …(qk^-1)，因为3循环的逆还是3循环，所以p由3循环生成。
引理2：n≥5时，An中所有3循环组成一个共轭类。
证明：令q=(123)，因为Sn中所有3循环共轭https://t.cn/A6MqSgB5，对于任意3循环q'，总能找到一个置换p，使得pqp^-1=q'。如p是偶置换，则q与q'在An中共轭 。如p是奇置换，取τ=(45)，τqτ^-1=q，pτ是偶置换，(pτ)q(pτ)^-1=q'。
定理的证明：设N是An除{e}外的正规子群，需要证明N=An。这等价于证明N包含一个3循环，这样根据引理2，N包含所有3循环；再根据引理1，N=An。考虑N中除e以外的置换x，设x的阶为lr，l 为某个素数，则x^r的阶为l。重新用x表示x^r，x 的阶为素数l，x的循环分解包含l循环和1循环。对任意g∈An，gxg^-1与x-1都属于N，因此交换子gxg^-1x-1也属于N。分三种情况讨论，以期得到一个3循环（下图）。
引理1：n≥3时，An由3循环生成。
证明：任意p∈An，若p是单位元e，则为任意一个3循环的立方。若p不是单位元，假设其固定了{1,2 ……n}中的m个元素，它要么含有k循环(k≥3)，要么含有两个2循环的乘积，因为编号无足轻重，不妨设p=(123…k)…或p=(12)(34)…。令q=(321), (321)(123…k)…=(1)(2)(3…k)… (321)(12) (34)…=(1)(234)…，因此qp固定了m+2或m+1个元素。重复这一过程，被固定元素个数步步增长，直至n个元素全都被固定，即可以找到q1,q2,… qk,使得qk…q2q1p=e，也即p=(q1^-1)(q2^-1) …(qk^-1)，因为3循环的逆还是3循环，所以p由3循环生成。
引理2：n≥5时，An中所有3循环组成一个共轭类。
证明：令q=(123)，因为Sn中所有3循环共轭https://t.cn/A6MqSgB5，对于任意3循环q'，总能找到一个置换p，使得pqp^-1=q'。如p是偶置换，则q与q'在An中共轭 。如p是奇置换，取τ=(45)，τqτ^-1=q，pτ是偶置换，(pτ)q(pτ)^-1=q'。
定理的证明：设N是An除{e}外的正规子群，需要证明N=An。这等价于证明N包含一个3循环，这样根据引理2，N包含所有3循环；再根据引理1，N=An。考虑N中除e以外的置换x，设x的阶为lr，l 为某个素数，则x^r的阶为l。重新用x表示x^r，x 的阶为素数l，x的循环分解包含l循环和1循环。对任意g∈An，gxg^-1与x-1都属于N，因此交换子gxg^-1x-1也属于N。分三种情况讨论，以期得到一个3循环（下图）。
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