中国的算术与西方的“数学”二三事（六）
3、十进位值制：十进制+位值制
根据前面所知，中国的数字起源于“结绳记事”，而其他地方的数字究竟是如何出现的，没有存世的历史记载。
《史良簋》铭文：“佳十又二月，”“获百人，”
如果取掉“又”字则是十二月，便是复数，从一、二到百，说明是遵循十进制的这种记数法，含有明显的位值制意义。证明当时人们已掌握了初步运算技能。
中国很早就使用十进位值制的数字了，虽然，古埃及、古希腊、古罗马等地的数字也称为“十进制”，但没有“位值制”，究竟什么是“十进制”呢？
“十进制”：逢十进一，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……。
“古埃及数字”：1、10、100、1000、10000、100000......都是用不同符号表示的。
“古罗马数字”：1（I）、5（V）、10（X）、50（L）、100（C）、500（D）、 1000（M）。
“古希腊数字”：10（I）、20（i）、30（Dd）、40（Mm）、50（Nn）、60（Xx）、70（Oo）、80（Pp）、90（Qq）、
100（Rr）、200（Ss）、300（Tt）、400（Uu）、500（Fj）、600（Cc）、700（Yy）、800（Ww）、900（Шш）
中国数字：汉字：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三...二十 二十一 二十二 ...三十 三十一 .... 【符合“十进制”】
图 “古埃及数字写法”图片
“古埃及数字”：（我们假设汉字“千”就是古埃及表示一千的字符，汉字“百”就是古埃及表示一百的字母，以此类推。）
例如，数字3665，用“古埃及数字”表示就是“千千千百百百百百百百十十十十十五”。读的话，还是读作“三千六百六十五”。
但在数学上表示三千，不能光写一个“3”或是别的什么，必须把一千写三遍，或者另造一个字符表示三千。这样的话，三百、四百、四千、五千......都需要另造，这太不实际了。
【实际上不符合“十进制”。】
罗马数字表示，
比如，数码235，那就是CCXXXⅡⅢ，（C表示100，X表示10，ⅡⅢ表示5），后来用V表示ⅡⅢ，这样，实际上235就写作：CCXXXV。
【古希腊数字和罗马数字一样的问题，因此，也不符合“十进制”。】
如上所示，古埃及、古希腊、古罗马等十以上的单位较高的数字都是新的符号来表示，并不是满十进一个单位。
所以，古埃及、古希腊、古罗马等数字，严格的说，并不应该称之为“十进制”才对。并不是1-10的数字用不同的符号表示“十进制”，而是要满足满十进一单位。
而中国的“十进制”，应该称为十进位制，又称十进位值制，来自于算筹计数的应用。并且，在计数、运算当中都都有所体现，而西方各国的数数也不完全遵循十进位值制，而是有累加法的痕迹。
“位值制”：指较高单位不需要设置新的符号，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。比如同样是“2”，在个位上表示2，在十位上就表示20，在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的萌芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。
根据“位值制”的定义，只有中国数字符合条件，因此中国的数字才能叫“十进位值制”。
那么，古埃及、古希腊、古罗马等数字，它们都是用不同的符号来表示10、20、30、40、50......等数值较大的数字，这些数字的1-9个位数字在十位、百位、千位的位置时不能表示相应位值，所以它们也不是“位值制”的数字，计算时使用的是累次迭加法，这一点在西方数数上面也有所体现。
这一点有多重要，在后面讲到的运算过程中会有所体现，这一点非常重要，要时刻记住，我们拥有“十进位值制”的数字多么难得，多么重要！
3、十进位值制：十进制+位值制
根据前面所知，中国的数字起源于“结绳记事”，而其他地方的数字究竟是如何出现的，没有存世的历史记载。
《史良簋》铭文：“佳十又二月，”“获百人，”
如果取掉“又”字则是十二月，便是复数，从一、二到百，说明是遵循十进制的这种记数法，含有明显的位值制意义。证明当时人们已掌握了初步运算技能。
中国很早就使用十进位值制的数字了，虽然，古埃及、古希腊、古罗马等地的数字也称为“十进制”，但没有“位值制”，究竟什么是“十进制”呢？
“十进制”：逢十进一，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……。
“古埃及数字”：1、10、100、1000、10000、100000......都是用不同符号表示的。
“古罗马数字”：1（I）、5（V）、10（X）、50（L）、100（C）、500（D）、 1000（M）。
“古希腊数字”：10（I）、20（i）、30（Dd）、40（Mm）、50（Nn）、60（Xx）、70（Oo）、80（Pp）、90（Qq）、
100（Rr）、200（Ss）、300（Tt）、400（Uu）、500（Fj）、600（Cc）、700（Yy）、800（Ww）、900（Шш）
中国数字：汉字：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三...二十 二十一 二十二 ...三十 三十一 .... 【符合“十进制”】
图 “古埃及数字写法”图片
“古埃及数字”：（我们假设汉字“千”就是古埃及表示一千的字符，汉字“百”就是古埃及表示一百的字母，以此类推。）
例如，数字3665，用“古埃及数字”表示就是“千千千百百百百百百百十十十十十五”。读的话，还是读作“三千六百六十五”。
但在数学上表示三千，不能光写一个“3”或是别的什么，必须把一千写三遍，或者另造一个字符表示三千。这样的话，三百、四百、四千、五千......都需要另造，这太不实际了。
【实际上不符合“十进制”。】
罗马数字表示，
比如，数码235，那就是CCXXXⅡⅢ，（C表示100，X表示10，ⅡⅢ表示5），后来用V表示ⅡⅢ，这样，实际上235就写作：CCXXXV。
【古希腊数字和罗马数字一样的问题，因此，也不符合“十进制”。】
如上所示，古埃及、古希腊、古罗马等十以上的单位较高的数字都是新的符号来表示，并不是满十进一个单位。
所以，古埃及、古希腊、古罗马等数字，严格的说，并不应该称之为“十进制”才对。并不是1-10的数字用不同的符号表示“十进制”，而是要满足满十进一单位。
而中国的“十进制”，应该称为十进位制，又称十进位值制，来自于算筹计数的应用。并且，在计数、运算当中都都有所体现，而西方各国的数数也不完全遵循十进位值制，而是有累加法的痕迹。
“位值制”：指较高单位不需要设置新的符号，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。比如同样是“2”，在个位上表示2，在十位上就表示20，在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的萌芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。
根据“位值制”的定义，只有中国数字符合条件，因此中国的数字才能叫“十进位值制”。
那么，古埃及、古希腊、古罗马等数字，它们都是用不同的符号来表示10、20、30、40、50......等数值较大的数字，这些数字的1-9个位数字在十位、百位、千位的位置时不能表示相应位值，所以它们也不是“位值制”的数字，计算时使用的是累次迭加法，这一点在西方数数上面也有所体现。
这一点有多重要，在后面讲到的运算过程中会有所体现，这一点非常重要，要时刻记住，我们拥有“十进位值制”的数字多么难得，多么重要！
中国的算术与西方的“数学”二三事（三）
下面了解一下有关中国数字的演变：
图 结绳记事数字
图 甲骨文计数
图 算筹计数
商码：〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十
汉字：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
大写：壹 贰 叁 肆 伍 陆 柒 捌 玖 拾
图 算筹、商码部分演变、阿拉伯数字
图 算筹码子 数字符号
古时候人们计数的方法：
在中国，古时候人们计数的方法有（结绳）记数，（筹码）记数和（算盘）记数 。
实物计数，结绳计数，刻道计数等：原始社会的计数方法，说明当时如何用 小石子检查放牧归来的羊的只数；用结绳的方法统计猎物的个数；用在木头上刻 道的方法记录捕鱼的数量等等。
（结绳）记数，（筹码）记数和（算盘）记数的产生的数字，也根据结绳、甲骨文、筹码记数的写法而有所差异，因此也遗留在商码、汉字的数字异体字中。而其他地方的数字都是直接出现的，然后就一直使用，也没有什么变化，不会随着应用而有不同的表达方式。
例如：
数码1：结绳记事：〡 ；甲骨文：一【一、〡】；筹算：〡【一、〡】；商码：〡【一、〡】；汉字：一 ；
数码2：结绳记事：〢 ；甲骨文：二【二、〢】；筹算：〢【二、〢】；商码：〢【二、〢】；汉字：二 ；
数码3：结绳记事：〣 ；甲骨文：三【三、〣】；筹算：〣【三、〣】；商码：〣【三、〣】；汉字：三 ；
数字1、2、3：〡 〢 〣 【偃师二里头陶文〡 〢 〣、郑州南关陶文〢、殷墟小屯出土的陶文'〡','〣'、山东城子崖陶文〡,〢、】
一 二 三【甘肃马厂陶文“一”、江西清江吴城出土的陶文一期“二”,二期“二”、陕西周原陶文“三”、】
数码4：结绳记事：〢〢 ；
甲骨文：〢〢【〢〢、亖】；
筹算：〢〢【〢〢、亖】；
商码：〤 ；
汉字：四【四、“亖”】
【殷墟小屯出土的陶文〢〢、江西清江吴城出土的陶文二期“亖”、陕西周原陶文“亖”】
数码5：结绳记事：【上一横的×】【姜寨遗址所出陶文、殷墟小屯出土的陶文、江西清江吴城出土的陶文、】 ；
甲骨文：【上下各一横的×】【上海马桥陶文、】：
筹算：〢〣 【竖〢〣、横放〢〣】；商码：〥 ；
汉字：五【×，上下各一横的X，类似五铢钱的“五”。也写作“乄”、“×”。】
【×：柳湾遗址陶文、甘肃辛店陶文、偃师二里头陶文、郑州南关陶文、山东赵村龙山文化陶文、甘肃马厂陶文、山东城子崖陶文、浙江良渚陶文、】
数码6：结绳记事：【结绳记事图】
甲骨文：类似“∧”、“∩”【柳湾遗址陶文、李家沟出土陶文、马厂出土陶文、良渚龙山文化陶文等。】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〦；
汉字：六【上海马桥陶文、】
数码7：结绳记事：【结绳记事图】
甲骨文：类似“十”【姜寨遗址所出陶文、柳湾遗址陶文、甘肃辛店陶文、郑州二里冈陶文、上海马桥陶文、郑州南关陶文、甘肃马厂陶文、等等。】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〧；
汉字：七
数码8：结绳记事：【结绳记事图】
甲骨文：类似“八”【偃师二里头陶文、上海马桥陶文、柳湾遗址陶文等。】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〨 ；
汉字：八
数码9：结绳记事：【结绳记事图】；
甲骨文：【甲骨文图】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〩【写成“久”的草体】；
汉字：九
数码10：结绳记事：【结绳记事图】；
甲骨文：类似“丨”；
商码：十；
汉字：十；
数码20：结绳记事：【结绳记事图】；
甲骨文：类似“∪”；
汉字：二十【廿、卄】
数码30：结绳记事：【结绳记事图】；
汉字：三十【卅，河南郑州二里冈 1953年出土陶文、浙江良渚 1955年出土《中国语文》1978年第3期 龙山文化 出土陶文】
数码40：结绳记事：【结绳记事图】；
汉字：四十【卌】
........
古时候，人们用小木棍进行计算，这些小木棍叫“算筹”，用算筹作为工具进行的计算叫“筹算”。
这些中国数字在算筹中筹算时，还分为纵式和横式【记为商码时也是如此】，这是为了防止混淆，而出现的表示不同的数字的方法。
有些数字打不出，只能暂时如此了，可以看图。所以，中国的数字是由“结绳记事”、“甲骨文”、“筹算”等的实际应用而产生演变而来的。
另外，可以看出这些数字在“结绳记事”、“甲骨文”时，不少数字的样子和现在不一样，甲骨文：数字1类似“一”的样子；数字7记为类似“十”的形态，数字10在记为类似“丨”，再根据算筹、商码在表示同一数字，表现形态有2、3种，有些也变成同一数字的汉字的不同写法。猜测，由于开始的记数1和10的形态有些相似，会导致混淆，所以，数字1、10和7的写法发生改变，逐渐演变为现在的汉字写法。
因此，根据“结绳记事”、“甲骨文”、“算筹”、“商码”和“汉字”的数字的演变所知，可以看到二里头出土的几个符号，能够对应的上这些数字符号。
图 二里头刻画符号
发现有“〡”、“〢”、“〣”【结绳记事、甲骨文、算筹、商码】，还有4“〢〢”【甲骨文、算筹】，还有5“×”【结绳记事、甲骨文、算筹】等等。
下面了解一下有关中国数字的演变：
图 结绳记事数字
图 甲骨文计数
图 算筹计数
商码：〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十
汉字：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
大写：壹 贰 叁 肆 伍 陆 柒 捌 玖 拾
图 算筹、商码部分演变、阿拉伯数字
图 算筹码子 数字符号
古时候人们计数的方法：
在中国，古时候人们计数的方法有（结绳）记数，（筹码）记数和（算盘）记数 。
实物计数，结绳计数，刻道计数等：原始社会的计数方法，说明当时如何用 小石子检查放牧归来的羊的只数；用结绳的方法统计猎物的个数；用在木头上刻 道的方法记录捕鱼的数量等等。
（结绳）记数，（筹码）记数和（算盘）记数的产生的数字，也根据结绳、甲骨文、筹码记数的写法而有所差异，因此也遗留在商码、汉字的数字异体字中。而其他地方的数字都是直接出现的，然后就一直使用，也没有什么变化，不会随着应用而有不同的表达方式。
例如：
数码1：结绳记事：〡 ；甲骨文：一【一、〡】；筹算：〡【一、〡】；商码：〡【一、〡】；汉字：一 ；
数码2：结绳记事：〢 ；甲骨文：二【二、〢】；筹算：〢【二、〢】；商码：〢【二、〢】；汉字：二 ；
数码3：结绳记事：〣 ；甲骨文：三【三、〣】；筹算：〣【三、〣】；商码：〣【三、〣】；汉字：三 ；
数字1、2、3：〡 〢 〣 【偃师二里头陶文〡 〢 〣、郑州南关陶文〢、殷墟小屯出土的陶文'〡','〣'、山东城子崖陶文〡,〢、】
一 二 三【甘肃马厂陶文“一”、江西清江吴城出土的陶文一期“二”,二期“二”、陕西周原陶文“三”、】
数码4：结绳记事：〢〢 ；
甲骨文：〢〢【〢〢、亖】；
筹算：〢〢【〢〢、亖】；
商码：〤 ；
汉字：四【四、“亖”】
【殷墟小屯出土的陶文〢〢、江西清江吴城出土的陶文二期“亖”、陕西周原陶文“亖”】
数码5：结绳记事：【上一横的×】【姜寨遗址所出陶文、殷墟小屯出土的陶文、江西清江吴城出土的陶文、】 ；
甲骨文：【上下各一横的×】【上海马桥陶文、】：
筹算：〢〣 【竖〢〣、横放〢〣】；商码：〥 ；
汉字：五【×，上下各一横的X，类似五铢钱的“五”。也写作“乄”、“×”。】
【×：柳湾遗址陶文、甘肃辛店陶文、偃师二里头陶文、郑州南关陶文、山东赵村龙山文化陶文、甘肃马厂陶文、山东城子崖陶文、浙江良渚陶文、】
数码6：结绳记事：【结绳记事图】
甲骨文：类似“∧”、“∩”【柳湾遗址陶文、李家沟出土陶文、马厂出土陶文、良渚龙山文化陶文等。】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〦；
汉字：六【上海马桥陶文、】
数码7：结绳记事：【结绳记事图】
甲骨文：类似“十”【姜寨遗址所出陶文、柳湾遗址陶文、甘肃辛店陶文、郑州二里冈陶文、上海马桥陶文、郑州南关陶文、甘肃马厂陶文、等等。】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〧；
汉字：七
数码8：结绳记事：【结绳记事图】
甲骨文：类似“八”【偃师二里头陶文、上海马桥陶文、柳湾遗址陶文等。】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〨 ；
汉字：八
数码9：结绳记事：【结绳记事图】；
甲骨文：【甲骨文图】；
筹算：【看筹算图】；
商码：〩【写成“久”的草体】；
汉字：九
数码10：结绳记事：【结绳记事图】；
甲骨文：类似“丨”；
商码：十；
汉字：十；
数码20：结绳记事：【结绳记事图】；
甲骨文：类似“∪”；
汉字：二十【廿、卄】
数码30：结绳记事：【结绳记事图】；
汉字：三十【卅，河南郑州二里冈 1953年出土陶文、浙江良渚 1955年出土《中国语文》1978年第3期 龙山文化 出土陶文】
数码40：结绳记事：【结绳记事图】；
汉字：四十【卌】
........
古时候，人们用小木棍进行计算，这些小木棍叫“算筹”，用算筹作为工具进行的计算叫“筹算”。
这些中国数字在算筹中筹算时，还分为纵式和横式【记为商码时也是如此】，这是为了防止混淆，而出现的表示不同的数字的方法。
有些数字打不出，只能暂时如此了，可以看图。所以，中国的数字是由“结绳记事”、“甲骨文”、“筹算”等的实际应用而产生演变而来的。
另外，可以看出这些数字在“结绳记事”、“甲骨文”时，不少数字的样子和现在不一样，甲骨文：数字1类似“一”的样子；数字7记为类似“十”的形态，数字10在记为类似“丨”，再根据算筹、商码在表示同一数字，表现形态有2、3种，有些也变成同一数字的汉字的不同写法。猜测，由于开始的记数1和10的形态有些相似，会导致混淆，所以，数字1、10和7的写法发生改变，逐渐演变为现在的汉字写法。
因此，根据“结绳记事”、“甲骨文”、“算筹”、“商码”和“汉字”的数字的演变所知，可以看到二里头出土的几个符号，能够对应的上这些数字符号。
图 二里头刻画符号
发现有“〡”、“〢”、“〣”【结绳记事、甲骨文、算筹、商码】，还有4“〢〢”【甲骨文、算筹】，还有5“×”【结绳记事、甲骨文、算筹】等等。
#老马二三事#自打我记事儿起，老马每年都会带我去南山抓蝈蝈，蝈蝈虽不值钱，可他给蝈蝈做的笼子是个顶个的精巧别致，喂食的菜叶也要新鲜多汁。老马说蝈蝈要是养好了，能活到过年，正月里太阳一晒，蝈蝈叫的欢，那才喜庆的最应景儿。下河摸鱼、漫山摘栗子、地间挖野菜都是老马嵌着金边儿的童年回忆，而随着环境变迁，慢慢的也只剩抓蝈蝈还可以慰藉老马顽皮的心。我妈说老马工作连轴转了一个月，今天终于得空开心的去抓蝈蝈了，辅之一张老马专心蹲点儿的照片，人有一颗不老之心真好，能自得其乐一以贯之更好～
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