再见啦 小的2021
2021
喜欢上了赵让这个宝藏男孩。
他超乎年龄的通透让人心疼。听着他嘴里一句又一句的大道理，我甚至感觉自己真的比他大吗？
最近很强烈的感受就是小孩长大了，我也经常披着妈粉的皮秒变女友粉。
风暴险关学闯道，冰山绝顶要开花。
2021
卜凡和前公司的官司终于结束，我们都在等待最后的结果。原来时间真的过的那么快。我满脑子都是卜凡解约后第一次接受新浪的独家采访，整个人快瘦脱相了。
发了新歌，他一张嘴就知道是卜凡没错了。
卜凡KATTO的账号要回来啦，连简介都改成了工作室的微博。
守得云开见月明，天终于亮了，卜丝真的好幸福。
期待2022全新的卜凡吧。
2021
认识了很多同担姐妹。网络真的很神奇，素未谋面却可以相谈甚欢。
我的圈子不算大，一直在聊天的也就那么几个人。很珍惜这样的缘分能让我们相识，不知不觉早已从聊赵让渗透到了生活的点点滴滴。
三斤是在偶然发现我俩一个城市，再一聊发现我俩只有几个路口的距离。暑假去了好几次她家打发无聊时间，现在已经是闭着眼都能找到她家的程度了。
暴发户是最初开始赚奶粉金的时候认识的，我俩共同负责管理一个小群。就这么一句两句聊起来了。她比我早入坑，可以称她为我的补课老师，哈哈哈。我俩日常的交流模式就是怼来怼去互相伤害。
还有我的限定一日室友，猪宝，醉奶，螺蛳粉。
六月真的很幸福啊，我们约定好了一起去接赵让回家。我和三斤坐在火车上唠嗑，早上六七点拖着行李箱辗转在北京的地铁站。为了占个好位置，我们八点就到了演出场馆外面，等其他人的到来。中午太困了，我和三斤回到民宿，休息+等暴发户的到来。终于和暴发户会师啦，她很幸运，进到了内场看直播。而我和三斤在场外的下午又是不停的领应援。晚上我们又担心去晚了占不到好位置，大家真的是在停车场的出口围坐着看了一整个直播，看我们让让都成了小哭包。陆陆续续停车场门口人开始多了起来。我们人手一个凳子开始占位置，拉灯牌。一辆又一辆车出来了，不清楚赵让在哪辆车，我们是见一辆出来就开始喊。螺蛳粉还有一个小鼓，一边敲一边喊。那天我们的场面真的很排面，因为我们去的早，停车场的一边全都是浪漫的紫色应援。灯牌一开，一整个就是压倒对面的气势。赵让的车出来啦，他跟我们打招呼。呜呜呜，大家都激动了。那是我第一次看到赵让，他真的好可爱。
西兰花是我入坑后最早聊天+认识的人。现在还记得我给她发了好长的私信，讲了我对当下的看法。没多久她就回了我，也是很长的话，把我的疑惑一一解释清楚，也表达了她的想法，很真诚。（当时确实是有点意外的，但是现在想想这确实是她的做事风格。）后面她就提出来了赚奶粉金的想法，大家都很支持，和积极的配合。所以有了薅羊毛，有了奶卡，有了后面各种日常任务。
奶卡真的是一个不得不提的大事。
大家都是零经验，一句那就先试试吧，就这样开始了。（我的第一个代号居然是“和马负责人”哈哈哈）
慢慢学会了做教程，分别发了教程贴和经验贴。我们那会真的是谁有时间谁上，我去吃饭了，就让别人帮我盯会群这样。
每天必须200人，划名单已经成了必不可少的流程。12点能做完算正常，偶尔10点多就做完，躺在床上玩手机真是一身轻松。那段时间，非熬夜选手也经常两三点还没睡觉。中间经常出现大大小小各种问题，卡包有废卡，卡包被拿错了等等，还好都能及时解决掉。群里每个人态度都很友好，积极配合。于是我们很快的完成了一个目标，第二个目标……很多个目标。最后的结果大家也有目共睹，非常成功。每一步的成功都离不开这个过程中互相配合的人。现在回想也会觉得很不可思议。（做奶卡加了很多好友，每次赵让发新歌朋友圈都会被刷屏，这种感觉太棒了！）
2021
还有424的二十岁生日应援
大三的课不算特别多，我就果断加入进来啦。整个过程可以说是进行的比较顺利，配合默契。我还记得我们几个啥也不知道，就去探店找店家谈了。真的有过一次经历才知道，东西一定要提前准备。
相识是为了更好的相遇。三斤，小琪，棠棠，舍南。20220424也要一起庆祝呀
2021
薅羊毛➡️奶卡➡️日常赚奶粉金
我也变得从只会做任务➡️负责一部分➡️开始学着和数据商沟通和对接➡️已经可以完全一个人负责啦✌
凭心而论，这个真不是什么难事，只是要跳出自己的舒适圈，开发新的技能。印象很深的是一开始面对数据商，经常把西兰花的话复制过去。她经常会提醒我，不要怕说错，大胆的说。出现过说错话的情况，这个时候西兰花就会出来帮我解释。特别感谢她。毕竟凡事都要有迈出第一步的勇气。
我也没想到自己能坚持下来，且依然在这条路上。
仔细想想，2021真的做了好多事情哇。
2021
429终于迎来了团建，集体请个小假去洛阳玩了几天，牛肉汤真的太爱了，难怪我的洛阳朋友一直在安利！住的民宿很干净，装修各方面都不错，一整个爱住。
这趟洛阳旅行可以打99分！
大学不听课的下场就是学会了自学。计量经济学前面玩得多嗨，临近期末就有多惨。只能自己去b站找网课听。
为了刷绩点重修了毛概，每周爬起来坐第一排听课。一边上课，一边打哈欠，我也很心虚啊。毛概老师真好，我期末分数好高，一学期没白早起。
暑假在我妈严厉监管下成功减重，不过现在又吃回来了，不知道过两天回家我妈看到我是什么表情。
干了一件大事，跟我姐合作，完全diy申学校，省了一大笔钱。
跨年啦，和老朋友一起。
2021又是很快过去的一年，身边朋友的一些事情，好像让我更爱爸爸妈妈了。
2021
好多遗憾啊
最大的遗憾就是730没去成。河南下暴雨，我和三斤的票陷入了“改签又被退票”的死循环。最后一刻我俩还是妥协了，真的去不成了。买到票有多激动，那会就有多失望。
长沙的音乐节又来啦，又是买好车票，订好房间，准备好了一场闺蜜旅行+看音乐节的赵让。然后，长沙疫情又严重了……
我是水逆吗，整个人都崩溃了。
2021没有和西兰花见面，2022希望快点补上这个遗憾。
又是被疫情包围的一年，没办法出去旅游好难过。
2021
某一天，我发现这些事情变成了生活日记，它完整地记录了我的2021。
2021
喜欢上了赵让这个宝藏男孩。
他超乎年龄的通透让人心疼。听着他嘴里一句又一句的大道理，我甚至感觉自己真的比他大吗？
最近很强烈的感受就是小孩长大了，我也经常披着妈粉的皮秒变女友粉。
风暴险关学闯道，冰山绝顶要开花。
2021
卜凡和前公司的官司终于结束，我们都在等待最后的结果。原来时间真的过的那么快。我满脑子都是卜凡解约后第一次接受新浪的独家采访，整个人快瘦脱相了。
发了新歌，他一张嘴就知道是卜凡没错了。
卜凡KATTO的账号要回来啦，连简介都改成了工作室的微博。
守得云开见月明，天终于亮了，卜丝真的好幸福。
期待2022全新的卜凡吧。
2021
认识了很多同担姐妹。网络真的很神奇，素未谋面却可以相谈甚欢。
我的圈子不算大，一直在聊天的也就那么几个人。很珍惜这样的缘分能让我们相识，不知不觉早已从聊赵让渗透到了生活的点点滴滴。
三斤是在偶然发现我俩一个城市，再一聊发现我俩只有几个路口的距离。暑假去了好几次她家打发无聊时间，现在已经是闭着眼都能找到她家的程度了。
暴发户是最初开始赚奶粉金的时候认识的，我俩共同负责管理一个小群。就这么一句两句聊起来了。她比我早入坑，可以称她为我的补课老师，哈哈哈。我俩日常的交流模式就是怼来怼去互相伤害。
还有我的限定一日室友，猪宝，醉奶，螺蛳粉。
六月真的很幸福啊，我们约定好了一起去接赵让回家。我和三斤坐在火车上唠嗑，早上六七点拖着行李箱辗转在北京的地铁站。为了占个好位置，我们八点就到了演出场馆外面，等其他人的到来。中午太困了，我和三斤回到民宿，休息+等暴发户的到来。终于和暴发户会师啦，她很幸运，进到了内场看直播。而我和三斤在场外的下午又是不停的领应援。晚上我们又担心去晚了占不到好位置，大家真的是在停车场的出口围坐着看了一整个直播，看我们让让都成了小哭包。陆陆续续停车场门口人开始多了起来。我们人手一个凳子开始占位置，拉灯牌。一辆又一辆车出来了，不清楚赵让在哪辆车，我们是见一辆出来就开始喊。螺蛳粉还有一个小鼓，一边敲一边喊。那天我们的场面真的很排面，因为我们去的早，停车场的一边全都是浪漫的紫色应援。灯牌一开，一整个就是压倒对面的气势。赵让的车出来啦，他跟我们打招呼。呜呜呜，大家都激动了。那是我第一次看到赵让，他真的好可爱。
西兰花是我入坑后最早聊天+认识的人。现在还记得我给她发了好长的私信，讲了我对当下的看法。没多久她就回了我，也是很长的话，把我的疑惑一一解释清楚，也表达了她的想法，很真诚。（当时确实是有点意外的，但是现在想想这确实是她的做事风格。）后面她就提出来了赚奶粉金的想法，大家都很支持，和积极的配合。所以有了薅羊毛，有了奶卡，有了后面各种日常任务。
奶卡真的是一个不得不提的大事。
大家都是零经验，一句那就先试试吧，就这样开始了。（我的第一个代号居然是“和马负责人”哈哈哈）
慢慢学会了做教程，分别发了教程贴和经验贴。我们那会真的是谁有时间谁上，我去吃饭了，就让别人帮我盯会群这样。
每天必须200人，划名单已经成了必不可少的流程。12点能做完算正常，偶尔10点多就做完，躺在床上玩手机真是一身轻松。那段时间，非熬夜选手也经常两三点还没睡觉。中间经常出现大大小小各种问题，卡包有废卡，卡包被拿错了等等，还好都能及时解决掉。群里每个人态度都很友好，积极配合。于是我们很快的完成了一个目标，第二个目标……很多个目标。最后的结果大家也有目共睹，非常成功。每一步的成功都离不开这个过程中互相配合的人。现在回想也会觉得很不可思议。（做奶卡加了很多好友，每次赵让发新歌朋友圈都会被刷屏，这种感觉太棒了！）
2021
还有424的二十岁生日应援
大三的课不算特别多，我就果断加入进来啦。整个过程可以说是进行的比较顺利，配合默契。我还记得我们几个啥也不知道，就去探店找店家谈了。真的有过一次经历才知道，东西一定要提前准备。
相识是为了更好的相遇。三斤，小琪，棠棠，舍南。20220424也要一起庆祝呀
2021
薅羊毛➡️奶卡➡️日常赚奶粉金
我也变得从只会做任务➡️负责一部分➡️开始学着和数据商沟通和对接➡️已经可以完全一个人负责啦✌
凭心而论，这个真不是什么难事，只是要跳出自己的舒适圈，开发新的技能。印象很深的是一开始面对数据商，经常把西兰花的话复制过去。她经常会提醒我，不要怕说错，大胆的说。出现过说错话的情况，这个时候西兰花就会出来帮我解释。特别感谢她。毕竟凡事都要有迈出第一步的勇气。
我也没想到自己能坚持下来，且依然在这条路上。
仔细想想，2021真的做了好多事情哇。
2021
429终于迎来了团建，集体请个小假去洛阳玩了几天，牛肉汤真的太爱了，难怪我的洛阳朋友一直在安利！住的民宿很干净，装修各方面都不错，一整个爱住。
这趟洛阳旅行可以打99分！
大学不听课的下场就是学会了自学。计量经济学前面玩得多嗨，临近期末就有多惨。只能自己去b站找网课听。
为了刷绩点重修了毛概，每周爬起来坐第一排听课。一边上课，一边打哈欠，我也很心虚啊。毛概老师真好，我期末分数好高，一学期没白早起。
暑假在我妈严厉监管下成功减重，不过现在又吃回来了，不知道过两天回家我妈看到我是什么表情。
干了一件大事，跟我姐合作，完全diy申学校，省了一大笔钱。
跨年啦，和老朋友一起。
2021又是很快过去的一年，身边朋友的一些事情，好像让我更爱爸爸妈妈了。
2021
好多遗憾啊
最大的遗憾就是730没去成。河南下暴雨，我和三斤的票陷入了“改签又被退票”的死循环。最后一刻我俩还是妥协了，真的去不成了。买到票有多激动，那会就有多失望。
长沙的音乐节又来啦，又是买好车票，订好房间，准备好了一场闺蜜旅行+看音乐节的赵让。然后，长沙疫情又严重了……
我是水逆吗，整个人都崩溃了。
2021没有和西兰花见面，2022希望快点补上这个遗憾。
又是被疫情包围的一年，没办法出去旅游好难过。
2021
某一天，我发现这些事情变成了生活日记，它完整地记录了我的2021。
又到了半年一度期末劝学阶段了[可爱][可爱]
不要靠近金融真的不要靠近，你不仅要学会计还要学财管还要学管理还要学西经还要学逻辑还要学计量还要学高数线代概率论还要学统计还要学商务谈判等等等等
前有报菜名，后有我报课表。总之就是别来，不要来
这是一个每天每月每年都想让我喊：rnm！退学！的专业
别的专业一年六门课：烦死了怎么这么多？！
我专业一年六门课：我靠！这也太少了吧[太开心][太开心]
看看前两年的课表，就知道今年只有六门课的我多开心
不要靠近金融真的不要靠近，你不仅要学会计还要学财管还要学管理还要学西经还要学逻辑还要学计量还要学高数线代概率论还要学统计还要学商务谈判等等等等
前有报菜名，后有我报课表。总之就是别来，不要来
这是一个每天每月每年都想让我喊：rnm！退学！的专业
别的专业一年六门课：烦死了怎么这么多？！
我专业一年六门课：我靠！这也太少了吧[太开心][太开心]
看看前两年的课表，就知道今年只有六门课的我多开心
随机矩阵(Stochastic Matrix)或转移矩阵(Transition Matrix)
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
✋热门推荐