顶底四区主图（通达信公式 主图 源码 测试图）高中低一目了然
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{以下设置主图显示方式}
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{以下设置提示文字部分}
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{基本面}
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布尔巴基论测度、积分和概率--2017
积分是数学概念中一个可按多种不同的观点探讨的典型例子。为说明这个观点，让我们仅考虑定义在区间[a,b]上并取正实值的函数f，f在此区间上的积分记为∫_{a~b} f(x)dx，它对应由x轴与f的曲线所围成的面积—我们能说f的积分测度这块面积。积分论的目标是给出一种精确的方法，使其尽适用于尽可能广泛的一类函数。
1. 柯西—黎曼积分
最早的是积分是柯西—黎曼方法，它基于以下方法定义积分：把区间[a,6]分为长度为Δx_{1}, Δx_{2},…,Δx_{N}的N个小区间，当N趋于无穷时对下式求和：
S_{N} = f(x_{1})Δx_{1} + f(x_{1})Δx_{2} + ... + fx_{N} Δx_{N}；
其中每个x为区间Ax中的一点，即所讨论的面积用N个矩形区域的面积近似(逼近)计算，当N趋向于无穷时，能由这些矩形的面积和计算(见86页表7)。
2. 勒贝格积分
现代方法由勒贝格借助于测度论而创立，用简单两又不太严格的语言表述，定义在实数集R上的测度是一个函数m，它把的R的每个子集A对应到一个非负数m(A)，使得当子集A1和A2无交时(即无公共元时)，有m(A1 U A2) = m(A1) + m(A2)。这种非负性与可加性使测度与直观的长度、面积和体积的概念对应起来，可见在R上存在唯一的一个测度m，对任意a、b满足m([a,b])=b-a。换言之，任一区间的测度是它的长度，这种测度称为勒贝格测度。
那么我们如何用勒贝格测度定义区间[a,b]上的实值函数f的积分呢? 我们不像黎曼积分中那样对x轴上(定义域)的区间[a,b]进行划分，而是对函数f的值域[y_{min}, y_{max}划分，这样得到N个相邻的区间：
I_{1} = [y_{min}, y), I_{2} = [y_{1}, y_{2}), ..., I_{N} = [y_{N-1}, y_{max});
对其中任一区间I_{p}，设A_{p}为使得f(x) ∈ I_{p}的集合(如A2为使得f(2)位于y_{1}和y_{2}之间的x的集合)，通常A_{p}不是一个简单的空间，而是不相交区间的并集，甚至更为复杂，对于每个p，考虑乘积Z_{p}m(A_{p})，其中m为勒贝格测度而Z_{p}为I_{p}中的一点，此时合式S_{N} = Z_{1}m(A_{1}) + Z_{2}m(A_{2}) + ... + Z_{N}m(A_{N})近似为表示f的曲线和x轴围成的区域的面积，其中区间[y_{min}, y_{max}]被划分为越来越细的区间，令N趋向于无穷时，则上述之和(sum)通常趋向于某个数。由定义得知，这个和就是函数f在区间 [a,b]上的勒贝格积分。
为了展示勤贝格积分与黎曼积分相比有众多优点，有必要深入细致地研究赖贝格积分的定义及定理。然而更重要的是，勒贝格积分更普遍适用。因为每一个黎曼可积的函数也是勒贝格可积的(两积分值相等)，但有些勒贝格可积的函数并非黎曼可积的，如函数g定义为：当x为有理数时g(x)=1、x为无理数时, g(x)=0就不是黎曼可积的，但勒贝格可积且其积分值为0(因为有理数的测度为0)。
基于测度建立的勒贝格方法可泛化至比[y_{min}, y_{max}]复杂得多的集合，在概率论中也有应用。确实，计算一个事件的概率包含测量与此集合对应的基本可能事件。因此一个概率测度仅仅是上述定义测度的特例：更具体地讲，一个概率测度一个测度p，满足p(Ω)=1,其中Ω是全体(population)基本可能事件集(因为总有一个可能性事件必然发生，故事件Ω的概率必为1)。
三、布尔巴基积分
但是布尔巴基并没有选择勒贝格方法而是决定发展一种不同的方法。在此，我们简洁地解释一下，布尔巴基引进了一种基于定义在连续函数空间上的线性型的积分。因此，一个线性型是一个函数L，它把每一个连续函数f对应一个数 L(f)，对于任意连续函数f_{1}和f_{2}以及数a、b满足L(af_{1} + bf_{2}) = aL(f_{1}) + bL(f_{2})。这个性质称为线性性质，是积分的重要性质之一)。 这种方法备受批评，巴黎南大学的数学家让·卡昂解释说：因为它用到拓扑学中的概念---如连续性，尽管积分并不需要拓扑学。他还说：布尔巴基第一批成员中最年长的一位成员的老师阿尔诺·当若瓦(Arnaud Denjoy)发明一个原创但相当复杂的积分理论。在布尔巴基处理此主题时却嫌弃这一理论。然而，老实说，我们应该强调布尔巴基方法的确带来一些有用的结果，这点非常重要。比如，它帮助洛朗·施瓦兹创立广义函数理论、泛化函数概念并涉及定义在比连续函数更狭窄一类函数上定义线性型。
4. 总结：
积分概念在数学和其它科学中应用广泛。在初级教材中，积分是以不定积分的形式出现的。
对于给定函数f，如果对于任意x，导数F‘(x)等于f(x)，我们就说F是f的不定积分。那么，f在区间[a,b] 的积分就由公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)定义。
然而，在历史上，积分源于面积与体积的计算。定义如下，积分∫_{a~b}f(x)dx是位于xy坐标系中、由代表函数f的曲线、x轴、垂线x=a、x=b围成的区域的面积。另一个更准确简单的定义是：把区间[a,b]分为N个长度为Δx= [a,b]/N的小区间，积分∫_{a~b}f(x)dx是和式f(x_{1})Δx + f(x_{2})Δx + f(x_{N})Δx当N趋于无穷时的极限，这里的x_{i}是第i个区间上的一点。这等同于通过计算越来越窄的矩形的面积粗略估算区域面积(见图)。
利用这一方法，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)成为一个定理—尽管只在某种特定的假设下有效-而不是一个定义。积分的概念能泛化到更一般的函数上(如多元函数)，并且能替换区间[a,6]，积分的定义域可以是一个平面、一个三维空间或n维空间的子集，甚至是一个更抽象集合的子集。
备注：
0. 参考2017年出版的法语版著作Bourbaki Une société secrète de mathématiciens。
1. 必须强调的是，布尔巴基观点具有一些令人欣喜的结果，因为它促使洛朗·施瓦兹(Laurent Schwartz)创立分布理论，它是定义在一类函数上的线性形式这类函数，比连续函数更受限制，分布理论泛化了函数的概念。
2. 积分的概念：积分
积分的概念在数学和其它科学中有许多应用。在基本介绍中，通常是从原始介绍中提出的。给定一个数值函数f，如果对于所有x，其导数F'(x)等于f(x)，那么我们说函数F是f的原函数。然后，可通过以下公式定义间隔[a,b]中f的积分：∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)。
然而，从历史上看，积分源自面积和体积的计算。根据定义，积分∫_{a~b}f(x)dx确切地说是在位于x-y坐标中由代表函数f的曲线、x轴和两个垂线x=a和x=b围成的区域面积。从柯西和黎曼给出的意义上讲，更精确一点但无论如何简化了，上面的积分是N趋于总和的无穷大时的极限：
f(x_{1})Δx+ f(x_{2})Δx + ... + f(x_{N})Δx;
或消除花括号化简得到：
f(x1)Δx + f(x2)Δx+ ... + f(xN)Δx;
通过把间隔[a,b]细分为长度为Δx=(b-a)/ N的N个小间隔而获得(xi是第i个间隔的任意点)。这等同于通过越来越多的越来越细的矩形接近该区域来计算该区域(请参见附件1)。在该方案中，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)是一个定理-仅在某些条件下有效，而不是定义。
积分的概念能扩展到更一般的函数(如多元函数)，积分的范围不一定是一个区间[a,b]，而可能是平面的一个区域，即一个区域具有3个或N个维度的空间、甚至是更抽象的集合。总而言之，把函数f集成到某个域上是该域所有点P的函数值f(P)的总和。然而，要获得有限且有意义的结果，我们必须把每个f(P)乘以无限小的值(这是上面Δx的作用)，因为在一个域中作为平面的间隔或区域存在无限多个点P 。积分理论的目标是严格并尽可能地广泛地做到这一点，以便使属性和定理适用于竟可能大的不同类型的函数。从这个角度来看，亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在1900年代根据埃米尔·博雷尔(Émile Borel)的测度论阐述的积分理论是一个里程碑(另请参见法语版第196-198页的方框)。
积分是数学概念中一个可按多种不同的观点探讨的典型例子。为说明这个观点，让我们仅考虑定义在区间[a,b]上并取正实值的函数f，f在此区间上的积分记为∫_{a~b} f(x)dx，它对应由x轴与f的曲线所围成的面积—我们能说f的积分测度这块面积。积分论的目标是给出一种精确的方法，使其尽适用于尽可能广泛的一类函数。
1. 柯西—黎曼积分
最早的是积分是柯西—黎曼方法，它基于以下方法定义积分：把区间[a,6]分为长度为Δx_{1}, Δx_{2},…,Δx_{N}的N个小区间，当N趋于无穷时对下式求和：
S_{N} = f(x_{1})Δx_{1} + f(x_{1})Δx_{2} + ... + fx_{N} Δx_{N}；
其中每个x为区间Ax中的一点，即所讨论的面积用N个矩形区域的面积近似(逼近)计算，当N趋向于无穷时，能由这些矩形的面积和计算(见86页表7)。
2. 勒贝格积分
现代方法由勒贝格借助于测度论而创立，用简单两又不太严格的语言表述，定义在实数集R上的测度是一个函数m，它把的R的每个子集A对应到一个非负数m(A)，使得当子集A1和A2无交时(即无公共元时)，有m(A1 U A2) = m(A1) + m(A2)。这种非负性与可加性使测度与直观的长度、面积和体积的概念对应起来，可见在R上存在唯一的一个测度m，对任意a、b满足m([a,b])=b-a。换言之，任一区间的测度是它的长度，这种测度称为勒贝格测度。
那么我们如何用勒贝格测度定义区间[a,b]上的实值函数f的积分呢? 我们不像黎曼积分中那样对x轴上(定义域)的区间[a,b]进行划分，而是对函数f的值域[y_{min}, y_{max}划分，这样得到N个相邻的区间：
I_{1} = [y_{min}, y), I_{2} = [y_{1}, y_{2}), ..., I_{N} = [y_{N-1}, y_{max});
对其中任一区间I_{p}，设A_{p}为使得f(x) ∈ I_{p}的集合(如A2为使得f(2)位于y_{1}和y_{2}之间的x的集合)，通常A_{p}不是一个简单的空间，而是不相交区间的并集，甚至更为复杂，对于每个p，考虑乘积Z_{p}m(A_{p})，其中m为勒贝格测度而Z_{p}为I_{p}中的一点，此时合式S_{N} = Z_{1}m(A_{1}) + Z_{2}m(A_{2}) + ... + Z_{N}m(A_{N})近似为表示f的曲线和x轴围成的区域的面积，其中区间[y_{min}, y_{max}]被划分为越来越细的区间，令N趋向于无穷时，则上述之和(sum)通常趋向于某个数。由定义得知，这个和就是函数f在区间 [a,b]上的勒贝格积分。
为了展示勤贝格积分与黎曼积分相比有众多优点，有必要深入细致地研究赖贝格积分的定义及定理。然而更重要的是，勒贝格积分更普遍适用。因为每一个黎曼可积的函数也是勒贝格可积的(两积分值相等)，但有些勒贝格可积的函数并非黎曼可积的，如函数g定义为：当x为有理数时g(x)=1、x为无理数时, g(x)=0就不是黎曼可积的，但勒贝格可积且其积分值为0(因为有理数的测度为0)。
基于测度建立的勒贝格方法可泛化至比[y_{min}, y_{max}]复杂得多的集合，在概率论中也有应用。确实，计算一个事件的概率包含测量与此集合对应的基本可能事件。因此一个概率测度仅仅是上述定义测度的特例：更具体地讲，一个概率测度一个测度p，满足p(Ω)=1,其中Ω是全体(population)基本可能事件集(因为总有一个可能性事件必然发生，故事件Ω的概率必为1)。
三、布尔巴基积分
但是布尔巴基并没有选择勒贝格方法而是决定发展一种不同的方法。在此，我们简洁地解释一下，布尔巴基引进了一种基于定义在连续函数空间上的线性型的积分。因此，一个线性型是一个函数L，它把每一个连续函数f对应一个数 L(f)，对于任意连续函数f_{1}和f_{2}以及数a、b满足L(af_{1} + bf_{2}) = aL(f_{1}) + bL(f_{2})。这个性质称为线性性质，是积分的重要性质之一)。 这种方法备受批评，巴黎南大学的数学家让·卡昂解释说：因为它用到拓扑学中的概念---如连续性，尽管积分并不需要拓扑学。他还说：布尔巴基第一批成员中最年长的一位成员的老师阿尔诺·当若瓦(Arnaud Denjoy)发明一个原创但相当复杂的积分理论。在布尔巴基处理此主题时却嫌弃这一理论。然而，老实说，我们应该强调布尔巴基方法的确带来一些有用的结果，这点非常重要。比如，它帮助洛朗·施瓦兹创立广义函数理论、泛化函数概念并涉及定义在比连续函数更狭窄一类函数上定义线性型。
4. 总结：
积分概念在数学和其它科学中应用广泛。在初级教材中，积分是以不定积分的形式出现的。
对于给定函数f，如果对于任意x，导数F‘(x)等于f(x)，我们就说F是f的不定积分。那么，f在区间[a,b] 的积分就由公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)定义。
然而，在历史上，积分源于面积与体积的计算。定义如下，积分∫_{a~b}f(x)dx是位于xy坐标系中、由代表函数f的曲线、x轴、垂线x=a、x=b围成的区域的面积。另一个更准确简单的定义是：把区间[a,b]分为N个长度为Δx= [a,b]/N的小区间，积分∫_{a~b}f(x)dx是和式f(x_{1})Δx + f(x_{2})Δx + f(x_{N})Δx当N趋于无穷时的极限，这里的x_{i}是第i个区间上的一点。这等同于通过计算越来越窄的矩形的面积粗略估算区域面积(见图)。
利用这一方法，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)成为一个定理—尽管只在某种特定的假设下有效-而不是一个定义。积分的概念能泛化到更一般的函数上(如多元函数)，并且能替换区间[a,6]，积分的定义域可以是一个平面、一个三维空间或n维空间的子集，甚至是一个更抽象集合的子集。
备注：
0. 参考2017年出版的法语版著作Bourbaki Une société secrète de mathématiciens。
1. 必须强调的是，布尔巴基观点具有一些令人欣喜的结果，因为它促使洛朗·施瓦兹(Laurent Schwartz)创立分布理论，它是定义在一类函数上的线性形式这类函数，比连续函数更受限制，分布理论泛化了函数的概念。
2. 积分的概念：积分
积分的概念在数学和其它科学中有许多应用。在基本介绍中，通常是从原始介绍中提出的。给定一个数值函数f，如果对于所有x，其导数F'(x)等于f(x)，那么我们说函数F是f的原函数。然后，可通过以下公式定义间隔[a,b]中f的积分：∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)。
然而，从历史上看，积分源自面积和体积的计算。根据定义，积分∫_{a~b}f(x)dx确切地说是在位于x-y坐标中由代表函数f的曲线、x轴和两个垂线x=a和x=b围成的区域面积。从柯西和黎曼给出的意义上讲，更精确一点但无论如何简化了，上面的积分是N趋于总和的无穷大时的极限：
f(x_{1})Δx+ f(x_{2})Δx + ... + f(x_{N})Δx;
或消除花括号化简得到：
f(x1)Δx + f(x2)Δx+ ... + f(xN)Δx;
通过把间隔[a,b]细分为长度为Δx=(b-a)/ N的N个小间隔而获得(xi是第i个间隔的任意点)。这等同于通过越来越多的越来越细的矩形接近该区域来计算该区域(请参见附件1)。在该方案中，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)是一个定理-仅在某些条件下有效，而不是定义。
积分的概念能扩展到更一般的函数(如多元函数)，积分的范围不一定是一个区间[a,b]，而可能是平面的一个区域，即一个区域具有3个或N个维度的空间、甚至是更抽象的集合。总而言之，把函数f集成到某个域上是该域所有点P的函数值f(P)的总和。然而，要获得有限且有意义的结果，我们必须把每个f(P)乘以无限小的值(这是上面Δx的作用)，因为在一个域中作为平面的间隔或区域存在无限多个点P 。积分理论的目标是严格并尽可能地广泛地做到这一点，以便使属性和定理适用于竟可能大的不同类型的函数。从这个角度来看，亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在1900年代根据埃米尔·博雷尔(Émile Borel)的测度论阐述的积分理论是一个里程碑(另请参见法语版第196-198页的方框)。
2层钢结构
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