#数学趣题#
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
#石上生活种草官种草专区[超话]#
https://t.cn/A6irwv6k
想到、知道、做到，三之者间存在鸿沟。
一个法想如果放那在里不去践行，随时着间的流逝，它变会得没那有么有引吸力。
相反，如你果有一个想法，虽现然在还不成熟、自的己能力不也够，但就是意愿先做来起再说。今天做一点点、明天做一点点，最日终积月累，结会果比想中象好得多得多！
成的长定义很简单，就想是到以后做到。“人践至则无敌”，没什有么比践更行重要的了。
https://t.cn/A6irwv6k
想到、知道、做到，三之者间存在鸿沟。
一个法想如果放那在里不去践行，随时着间的流逝，它变会得没那有么有引吸力。
相反，如你果有一个想法，虽现然在还不成熟、自的己能力不也够，但就是意愿先做来起再说。今天做一点点、明天做一点点，最日终积月累，结会果比想中象好得多得多！
成的长定义很简单，就想是到以后做到。“人践至则无敌”，没什有么比践更行重要的了。
命是注定的，运是可以改变的，多行善，多积阴德。有缘人看见希望改变命运这里开始一、立命之学
第一篇立命之学主要讲述作者自己的故事。袁了凡自幼丧父，母亲命他学医。后来，他在慈云寺遇到一老者，自称孔先生（根据云南县志，此人是著名易学家杨向春，化名孔先生，曾著《皇极经世心易发微》一书），精通皇极数预测未来，说他有当官的命，孔先生告诉袁了凡他某年应当考第几名，某年当廪生，某年当贡生，贡后某年当选为县长，在任三年半就应该告退回乡，在五十三岁八月十四巳丑时，寿终在家里。把他什么时候考取功名，能考第几名，什么时候当官，什么时候寿尽，有没有孩子等都作了预测。一开始袁了凡不太相信，巧合的是，此后的二十年，袁了凡的人生真的按照这位老者所算定的模式进行着，连考第几名等每一次都十分精确地应验了，这让他笃信了宿命论，认为“荣辱生死，皆有定数”，从此没有了上进之心。直到他遇到云谷禅师，二人“对坐一室”，彻夜而谈，终使了凡醒悟，懂得了“命由我作，福自己求”的道理，知道了如何可以改变命运，他说：“吾于是而知，凡称祸福自己求之者，乃圣贤之言；若谓祸福惟天所命，则世俗之论矣。”也就是说，道德仁义自己可以力求，功名富贵也可以自己求得，要发挥人的主观能动性，相信人的命运掌握在自己的手中，而不是听命于天，听命于他人。从此，袁了凡的人生信念发生了根本改变，从笃信宿命论转到信仰命由我造、福善祸淫的人生观。他以自己的人生经历告诫我们，人的命运是可以改变的，其关键在于多做善事积累福报，在于自身的修为，要多做善事，消除恶念。这就是《立命篇》的主要内容。于是袁了凡开始积极改过向善，积累善业，许愿做三千件善事改命，次年礼部考科举，孔先生预算的应该得第三，忽然考中第一，预测开始不应验。但袁了凡仍觉自己有很多做得不足的地方，经过十余年，这三千善行才算完成。袁了凡一直没有子女，就继续发起求子的愿，也许愿行三千善事，辛巳年就生下了儿子天启。再发求中进士的愿，许行善事一万条。于丙戌年再次遂愿，中了进士，授宝砥县长。原本孔先生所算定的一生，在努力行善改命后，完全改变了，连寿命也延长至七十四岁而终。
许下做一万件善事的时候，袁了凡的妻子见到袁了凡所做的善事不多，就皱着眉头说：“以前我在家里帮助做善事，所以三千之数得以完成。现在许下了一万善，可是衙门里无事可做，到什么时候才能完成呢？”夜间就做了一个梦，梦见一个神人。袁了凡告诉他善事难以完成的缘故。神人说：“只减粮一节，一万善事都已经圆满了。”事情是这样的：原来宝砥的田，每亩应纳粮二分三厘七毫，袁了凡把它减至一分四厘七毫，使上万的人民减轻了负担。虽然神人这样告诉我，但我自己的心里还有此疑惑。恰遇幻余弹师从五台山来，我便把这梦告诉他，并问这个梦可以相信吗？ 禅师说：“只要发心真切，那么，一件事就可以抵得上一万件的善事，何况全县减粮，万民受惠呢？”二、改过之法
第二篇讲改过自己的办法，袁了凡认为改过自己要发三心：即惭愧心、畏惧心、勇猛心。惭愧心、畏惧心可以使自己认识到错误，有充足的动力进行改正。勇猛心是指虽然很多人知道道理，但是得过且过，或严重拖延，没有真正实行，而勇猛心正是改过、改命的关键，只有知道道理后勇猛实干才能真正获得益处。并且讲了改过的道理，有从事上改的，有从理上改的，更有从起心动念处除净的。如果没有从理、从心，只是从事的表面强戒不好的事情，但病根还在，东灭西生。故袁了凡认为改过更应该从理、从心。从事改过只是治标不治本，但是急需治标的时候仍可使用。
三、积善之方
第三篇讲积善的办法，讲述了十余个因为积善而获得好报的故事，有讲述其实善恶并非我们想象的那么简单，善事要分为“端曲、阴阳、是非、偏正、半满、大小、难易”这七个方面，里面有引用几个经典故事。如引用了孔子的故事，子路救人拿了赏赐，孔子说子路做得对；而子贡赎人，没有要赏赐，孔子说做得不对，因为现行虽善，而其流风足以害入，那是似善而实非善。现在所做的虽似不善，而其流风足以济人，则其实却是善的。里面亦列举了十条可以行善的门类并作了相应解释：第一、与人为善。第二、爱敬存心。第三、成人之美。第四、劝人为善；第五、救人危急。第六、兴建大利。第七、舍财作福。第八、护持佛法。第九、敬重师长。第十、爱惜物命。
四、谦德之效
第四篇谦德之效主要讲谦虚这项美德的效用，正所谓“满招损，谦受益”，讲述了“天道亏盈而益谦”的道理。并解释道如果一个人有福气，将要成功，就会自然而然有一股谦和吉祥之气外露，里面讲述了数个故事来证明。最后总结了整本书的内容，说明了改命要立志而行，命自我立，有了志向而努力，自然可以改变命运。书中名句：“有志于功名者，必得功名；有志于富贵者，必得富贵。人之有志，如树之有根，立定此志，须念念谦虚，尘尘方便，自然感动天地，而造福由我。
第一篇立命之学主要讲述作者自己的故事。袁了凡自幼丧父，母亲命他学医。后来，他在慈云寺遇到一老者，自称孔先生（根据云南县志，此人是著名易学家杨向春，化名孔先生，曾著《皇极经世心易发微》一书），精通皇极数预测未来，说他有当官的命，孔先生告诉袁了凡他某年应当考第几名，某年当廪生，某年当贡生，贡后某年当选为县长，在任三年半就应该告退回乡，在五十三岁八月十四巳丑时，寿终在家里。把他什么时候考取功名，能考第几名，什么时候当官，什么时候寿尽，有没有孩子等都作了预测。一开始袁了凡不太相信，巧合的是，此后的二十年，袁了凡的人生真的按照这位老者所算定的模式进行着，连考第几名等每一次都十分精确地应验了，这让他笃信了宿命论，认为“荣辱生死，皆有定数”，从此没有了上进之心。直到他遇到云谷禅师，二人“对坐一室”，彻夜而谈，终使了凡醒悟，懂得了“命由我作，福自己求”的道理，知道了如何可以改变命运，他说：“吾于是而知，凡称祸福自己求之者，乃圣贤之言；若谓祸福惟天所命，则世俗之论矣。”也就是说，道德仁义自己可以力求，功名富贵也可以自己求得，要发挥人的主观能动性，相信人的命运掌握在自己的手中，而不是听命于天，听命于他人。从此，袁了凡的人生信念发生了根本改变，从笃信宿命论转到信仰命由我造、福善祸淫的人生观。他以自己的人生经历告诫我们，人的命运是可以改变的，其关键在于多做善事积累福报，在于自身的修为，要多做善事，消除恶念。这就是《立命篇》的主要内容。于是袁了凡开始积极改过向善，积累善业，许愿做三千件善事改命，次年礼部考科举，孔先生预算的应该得第三，忽然考中第一，预测开始不应验。但袁了凡仍觉自己有很多做得不足的地方，经过十余年，这三千善行才算完成。袁了凡一直没有子女，就继续发起求子的愿，也许愿行三千善事，辛巳年就生下了儿子天启。再发求中进士的愿，许行善事一万条。于丙戌年再次遂愿，中了进士，授宝砥县长。原本孔先生所算定的一生，在努力行善改命后，完全改变了，连寿命也延长至七十四岁而终。
许下做一万件善事的时候，袁了凡的妻子见到袁了凡所做的善事不多，就皱着眉头说：“以前我在家里帮助做善事，所以三千之数得以完成。现在许下了一万善，可是衙门里无事可做，到什么时候才能完成呢？”夜间就做了一个梦，梦见一个神人。袁了凡告诉他善事难以完成的缘故。神人说：“只减粮一节，一万善事都已经圆满了。”事情是这样的：原来宝砥的田，每亩应纳粮二分三厘七毫，袁了凡把它减至一分四厘七毫，使上万的人民减轻了负担。虽然神人这样告诉我，但我自己的心里还有此疑惑。恰遇幻余弹师从五台山来，我便把这梦告诉他，并问这个梦可以相信吗？ 禅师说：“只要发心真切，那么，一件事就可以抵得上一万件的善事，何况全县减粮，万民受惠呢？”二、改过之法
第二篇讲改过自己的办法，袁了凡认为改过自己要发三心：即惭愧心、畏惧心、勇猛心。惭愧心、畏惧心可以使自己认识到错误，有充足的动力进行改正。勇猛心是指虽然很多人知道道理，但是得过且过，或严重拖延，没有真正实行，而勇猛心正是改过、改命的关键，只有知道道理后勇猛实干才能真正获得益处。并且讲了改过的道理，有从事上改的，有从理上改的，更有从起心动念处除净的。如果没有从理、从心，只是从事的表面强戒不好的事情，但病根还在，东灭西生。故袁了凡认为改过更应该从理、从心。从事改过只是治标不治本，但是急需治标的时候仍可使用。
三、积善之方
第三篇讲积善的办法，讲述了十余个因为积善而获得好报的故事，有讲述其实善恶并非我们想象的那么简单，善事要分为“端曲、阴阳、是非、偏正、半满、大小、难易”这七个方面，里面有引用几个经典故事。如引用了孔子的故事，子路救人拿了赏赐，孔子说子路做得对；而子贡赎人，没有要赏赐，孔子说做得不对，因为现行虽善，而其流风足以害入，那是似善而实非善。现在所做的虽似不善，而其流风足以济人，则其实却是善的。里面亦列举了十条可以行善的门类并作了相应解释：第一、与人为善。第二、爱敬存心。第三、成人之美。第四、劝人为善；第五、救人危急。第六、兴建大利。第七、舍财作福。第八、护持佛法。第九、敬重师长。第十、爱惜物命。
四、谦德之效
第四篇谦德之效主要讲谦虚这项美德的效用，正所谓“满招损，谦受益”，讲述了“天道亏盈而益谦”的道理。并解释道如果一个人有福气，将要成功，就会自然而然有一股谦和吉祥之气外露，里面讲述了数个故事来证明。最后总结了整本书的内容，说明了改命要立志而行，命自我立，有了志向而努力，自然可以改变命运。书中名句：“有志于功名者，必得功名；有志于富贵者，必得富贵。人之有志，如树之有根，立定此志，须念念谦虚，尘尘方便，自然感动天地，而造福由我。
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