怎么防小人
君子言行坦荡，小人说做两样;君子胸怀宽广，小人小肚鸡肠;君子心地善良，小人为己着想;
有的人会问我，晓梅师傅，你说我怎么老是范小人，是不是招小人体质，凡是生活中都可以修真道，你看你从说话做事儿上修了吗？口给人家留余地了吗？ 人家一说话你就怼，做事儿呢？狂的能上天，那你为啥不想想，这些是儿，都能招来是非！
之所以会犯小人，不过就是因为长年累月攒下的旧怨。
很多人都觉得自己是“刀子嘴，豆腐心”，其实不然，伤人话一出口，旁人便不会在乎你是否心善，只会记得你真的嘴贱！
好好说话，才是为自己积福；管好自己的嘴，才能守住自己的福！
简单的话语，却有无穷的果报。学会积口德，心存善意，才能感召好运。！
晓梅师父•正月十八
（本人亲笔，不管哪个平台，禁止改写复制，视频转载同样，发现举报，法律解决，自己行自己道，玄学在生活中）
君子言行坦荡，小人说做两样;君子胸怀宽广，小人小肚鸡肠;君子心地善良，小人为己着想;
有的人会问我，晓梅师傅，你说我怎么老是范小人，是不是招小人体质，凡是生活中都可以修真道，你看你从说话做事儿上修了吗？口给人家留余地了吗？ 人家一说话你就怼，做事儿呢？狂的能上天，那你为啥不想想，这些是儿，都能招来是非！
之所以会犯小人，不过就是因为长年累月攒下的旧怨。
很多人都觉得自己是“刀子嘴，豆腐心”，其实不然，伤人话一出口，旁人便不会在乎你是否心善，只会记得你真的嘴贱！
好好说话，才是为自己积福；管好自己的嘴，才能守住自己的福！
简单的话语，却有无穷的果报。学会积口德，心存善意，才能感召好运。！
晓梅师父•正月十八
（本人亲笔，不管哪个平台，禁止改写复制，视频转载同样，发现举报，法律解决，自己行自己道，玄学在生活中）
#数学趣题#
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
【 薄 · 积 】
苏东坡说：“博观而约取，厚积而薄发。”“薄积厚发”是坦荡的人生规则。知之为知之，可以教人；不知为不知，可以求学。使知无不言，言无不尽，物尽其才，人尽其用。此件作品名为《薄积壶》，作品不是简单的线面累积，而是气度与骨力的一次联袂登场。
壶身和壶盖为不纯粹的圆柱形，给人以厚重、稳妥的感觉；这样的设计将“稳”的理念完全体现了出来。壶把、壶嘴采用了方形，壶钮为桥梁钮，这些部件的设计将整体要体现的厚重感进一步放大，因而，《薄积壶》让人很容易就能体会到它所要表达的思想。
《薄积壶》另外一个亮点是线条，每条线皆如行云流水不拖沓，特别是壶钮，像一江南小桥稳稳地屹立在壶盖上。这些线条起到了关键作用，让壶的整体在体现厚重的前提下不失灵动，也恰到好处地将此作品另外一层含义“薄发”反映了出来。
古有“壶随字贵，字随壶传”之说，作品壶铭气势豪强，一笔笔铁画银钩，一刀刀锋刃遒劲，落刀不染纤毫浊气，在腾空与撇捺之间，铸就清骨之相，金石韵味十足。
（紫泥，260cc，20孔）
#紫砂壶# #茶生活# 详询+薇 26307775
苏东坡说：“博观而约取，厚积而薄发。”“薄积厚发”是坦荡的人生规则。知之为知之，可以教人；不知为不知，可以求学。使知无不言，言无不尽，物尽其才，人尽其用。此件作品名为《薄积壶》，作品不是简单的线面累积，而是气度与骨力的一次联袂登场。
壶身和壶盖为不纯粹的圆柱形，给人以厚重、稳妥的感觉；这样的设计将“稳”的理念完全体现了出来。壶把、壶嘴采用了方形，壶钮为桥梁钮，这些部件的设计将整体要体现的厚重感进一步放大，因而，《薄积壶》让人很容易就能体会到它所要表达的思想。
《薄积壶》另外一个亮点是线条，每条线皆如行云流水不拖沓，特别是壶钮，像一江南小桥稳稳地屹立在壶盖上。这些线条起到了关键作用，让壶的整体在体现厚重的前提下不失灵动，也恰到好处地将此作品另外一层含义“薄发”反映了出来。
古有“壶随字贵，字随壶传”之说，作品壶铭气势豪强，一笔笔铁画银钩，一刀刀锋刃遒劲，落刀不染纤毫浊气，在腾空与撇捺之间，铸就清骨之相，金石韵味十足。
（紫泥，260cc，20孔）
#紫砂壶# #茶生活# 详询+薇 26307775
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