探讨：2021年南京市中考数学压轴题
大罕

【第27题第⑵题第②问】

图1中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．设弧AD的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图2所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并求最短路径的长．

【寻找解法】

设圆锥、圆柱沿着母线OK、KT将侧面展开，如图3，则KH、TG分别是所在圆的直径．连接AB，交矩形的边于点M，交扇形的弧于点N，如图4，其中M与N在侧面展开之前是同一点(若不是同一点，显然路径会变大)．

在扇形OH中，设∠NOC1=φ，则在△NOB中，有

BN=√(b^2+l^2-2bl cosφ)，

再由弧NC1= lφ，可知线段MC= lφ（图4红线所示），

作MP⊥AD于点P，则在△AMP中，有

AM=√(AP^2+MP^2) =√[(a- lφ)^2+h^2]，

∴f(φ)=AM+BN=√[(a- lφ)^2+h^2]+ √(b^2+l^2-2blcosφ),

∴f ′(φ)= 2(a-lφ)l/2AM- (2blsinφ)/2BN=0,
⇒ AP/AM=bsinφ/BN
⇒sinθ=cosφ，⇒ sinθ=sinβ，⇒ θ=β.

这说明θ与β是对顶角，也就是M,N,H三点重合．如图5所示．这样，蚂蚁从点A爬行到点B的路径最短.

【简评】

第一，此题情景是新颖的。理解题意是首要的。在同底的一圆柱和一圆锥的组合体中，圆锥底面上有一动点C，母线OC上有一定点B，满足OB=b；CD是圆柱的母线，在底面圆上有一定点A，满足弧AD=a，在上述情形下，蚂蚁从A点出发，沿着组合体的表面爬到B点，试问最短路径是多少？

第二，求解此题的方法也是新颖的。需要把组合体(圆柱和圆锥)的侧面同时展开，这一点即使是高中数学也是罕见的。

第三，求解此题需要导数知识，仅用初中知识不能胜任。原题只要求“画出示意图，写出求最短路径长的思路”是合情合理的。

华州一家汉堡王门店曝枪击案，母子4人车内取餐时遭枪击！

据NBC报道近日一位母亲和她3个孩子在华盛顿州亚基马一家汉堡王的Drive-Thru通道遭人开枪袭击。

据报道这件事发生在周三凌晨，地点位于诺布山大道和第26大道（Nob Hill Boulevard and 26th Avenue）附近的汉堡王快餐店。

当时这名妇女正在取餐，突然有人向她的车开了数枪。

警方表示女子驾驶的汽车窗户被子弹击中，而当时她的三个孩子都在车内，最小的3岁，最大的16岁。

随后一辆黑色SUV沿着诺布山大道疾驰而去。

受害者受到惊吓，缓慢驶出汽车餐厅。

调查人员表示枪手可能是从远处开枪的，因为其中一发子弹被发现卡在了这名女子的车窗里。

警方仍在搜寻嫌疑人，目前还不清楚是否与帮派有关。

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