#数学和物理究竟是什么关系#
杨振宁：物理与数学
海森伯所有的文章都有一共同特点：朦胧、不清楚、有渣滓，与狄拉克的文章的风格形成一个鲜明的对比。读了海森伯的文章，你会惊叹他的独创力（originality），然而会觉得问题还没有做完，没有做乾净，还要发展下去；而读了狄拉克的文章，你也会惊叹他的独创力，同时却觉得他似乎已把一切都发展到了尽头，没有甚么再可以做下去了。
前面提到狄拉克的文章给人“秋水文章不染尘”的感受。海森伯的文章则完全不同。二者对比清浊分明。我想不到有甚么诗句或成语可以描述海森伯的文章，既能道出他的天才的独创性，又能描述他的思路中不清楚、有渣滓、有时似乎茫然乱摸索的特点。
海森伯和狄拉克的风格为甚么如此不同？主要原因是他们所专注的物理学内涵不同。为了解释此点，请看图1所表示的物理学的三个部门和其中的关系：唯象理论（phenomenological theory）（2）是介乎实验（1）和理论架构（3）之间的研究。（1）和（2）合起来是实验物理，（2）和（3）合起来是理论物理，而理论物理的语言是数学。
物理学的发展通常自实验（1）开始，即自研究现象开始。关于这一发展过程，我们可以举很多大大小小的例子。先举牛顿力学的历史为例。布拉赫（T. Brahe , 1546 - 1601）是实验天文物理学家，活动领域是（1）。他做了关于行星轨道的精密观测。后来开普勒（J. Kepler , 1571 - 1630）仔细分析布拉赫的数据，发现了有名的开普勒三大定律。这是唯象理论（2）。最后牛顿创建了牛顿力学与万有引力理论，其基础就是开普勒的三大定律。这是理论架构（3）。
再举一个例子：通过十八世纪末、十九世纪初的许多电学和磁学的实验（1），安培（A. Amp锇e , 1775 - 1836）和法拉第（M. Faraday , 1791 - 1867）等人发展出了一些唯象理论（2）。最后由麦克斯韦归纳为有名的麦克斯韦方程（即电磁学方程），才步入理论架构（3）的范畴。
另一个例子：十九世纪后半叶许多实验工作（1）引导出普朗克（M. Planck , 1858 - 194 7）1900年的唯象理论（2）。然后经过爱因斯坦（A. Einstein, 1879 - 1955）的文章和上面提到过的玻尔的工作等，又有一些重要发展，但这些都还是唯象理论（2）。最后通过量子力学之产生，才步入理论架构（3）的范畴。
海森伯和狄拉克的工作集中在图1所显示的那一些领域呢？狄拉克最重要的贡献是前面所提到的狄拉克方程。海森伯最重要的贡献是海森伯方程，是量子力学的基础。
这两个方程都是理论架构（3）中之尖端贡献。二者都达到物理学的最高境界。可是写出这两个方程的途径却截然不同：海森伯的灵感来自他对实验结果（1 ）与唯象理论（2）的认识，进而在摸索中达到了方程式（H）。狄拉克的灵感来自他对数学（4）的美的直觉欣赏，进而天才地写出他的方程（D）。他们二人喜好的，注意的方向不同，所以他们的工作的领域也不一样，如图2所示。（此图也标明玻尔、薛定谔和爱因斯坦的研究领域。爱因斯坦兴趣广泛，在许多领域中，自（2）至（3）至（4），都曾做出划时代的贡献。）
海森伯从实验（1）与唯象理论（2）出发：实验与唯象理论是五光十色、错综复杂的，所以他要摸索，要犹豫，要尝试了再尝试，因此他的文章也就给读者不清楚、有渣滓的感觉。狄拉克则从他对数学的灵感出发：数学的最高境界是结构美，是简洁的逻辑美，因此他的文章也就给读者“秋水文章不染尘”的感受。
让我补充一点关于数学和物理的关系。我曾经把二者的关系表示为两片在茎处重叠的叶片。重叠的地方同时是二者之根，二者之源。譬如微分方程、偏微分方程、希 尔伯特空间、黎曼几何和纤维丛等，今天都是二者共用的基本观念。这是惊人的事实，因为首先达到这些观念的物理学家与数学家曾遵循完全不同的路径，完全不同的传统。
必须注意的是在重叠的地方，共用的基本观念虽然如此惊人地相同，但是重叠的地方并不多，只占二者各自的极少部分。譬如实验（1）与唯象理论（2）都不在重叠区，而绝大部分的数学工作也在重叠区之外。另外值得注意的是即使在重叠区，虽然基本观念物理与数学共用，但是二者的价值观与传统截然不同，而二者发展的生命力也各自遵循不同的茎脉流通，如图3所示。
年青人面对选择前途方向时，要对自己的喜好与判断能力有正确的自我估价。
杨振宁：物理与数学
海森伯所有的文章都有一共同特点：朦胧、不清楚、有渣滓，与狄拉克的文章的风格形成一个鲜明的对比。读了海森伯的文章，你会惊叹他的独创力（originality），然而会觉得问题还没有做完，没有做乾净，还要发展下去；而读了狄拉克的文章，你也会惊叹他的独创力，同时却觉得他似乎已把一切都发展到了尽头，没有甚么再可以做下去了。
前面提到狄拉克的文章给人“秋水文章不染尘”的感受。海森伯的文章则完全不同。二者对比清浊分明。我想不到有甚么诗句或成语可以描述海森伯的文章，既能道出他的天才的独创性，又能描述他的思路中不清楚、有渣滓、有时似乎茫然乱摸索的特点。
海森伯和狄拉克的风格为甚么如此不同？主要原因是他们所专注的物理学内涵不同。为了解释此点，请看图1所表示的物理学的三个部门和其中的关系：唯象理论（phenomenological theory）（2）是介乎实验（1）和理论架构（3）之间的研究。（1）和（2）合起来是实验物理，（2）和（3）合起来是理论物理，而理论物理的语言是数学。
物理学的发展通常自实验（1）开始，即自研究现象开始。关于这一发展过程，我们可以举很多大大小小的例子。先举牛顿力学的历史为例。布拉赫（T. Brahe , 1546 - 1601）是实验天文物理学家，活动领域是（1）。他做了关于行星轨道的精密观测。后来开普勒（J. Kepler , 1571 - 1630）仔细分析布拉赫的数据，发现了有名的开普勒三大定律。这是唯象理论（2）。最后牛顿创建了牛顿力学与万有引力理论，其基础就是开普勒的三大定律。这是理论架构（3）。
再举一个例子：通过十八世纪末、十九世纪初的许多电学和磁学的实验（1），安培（A. Amp锇e , 1775 - 1836）和法拉第（M. Faraday , 1791 - 1867）等人发展出了一些唯象理论（2）。最后由麦克斯韦归纳为有名的麦克斯韦方程（即电磁学方程），才步入理论架构（3）的范畴。
另一个例子：十九世纪后半叶许多实验工作（1）引导出普朗克（M. Planck , 1858 - 194 7）1900年的唯象理论（2）。然后经过爱因斯坦（A. Einstein, 1879 - 1955）的文章和上面提到过的玻尔的工作等，又有一些重要发展，但这些都还是唯象理论（2）。最后通过量子力学之产生，才步入理论架构（3）的范畴。
海森伯和狄拉克的工作集中在图1所显示的那一些领域呢？狄拉克最重要的贡献是前面所提到的狄拉克方程。海森伯最重要的贡献是海森伯方程，是量子力学的基础。
这两个方程都是理论架构（3）中之尖端贡献。二者都达到物理学的最高境界。可是写出这两个方程的途径却截然不同：海森伯的灵感来自他对实验结果（1 ）与唯象理论（2）的认识，进而在摸索中达到了方程式（H）。狄拉克的灵感来自他对数学（4）的美的直觉欣赏，进而天才地写出他的方程（D）。他们二人喜好的，注意的方向不同，所以他们的工作的领域也不一样，如图2所示。（此图也标明玻尔、薛定谔和爱因斯坦的研究领域。爱因斯坦兴趣广泛，在许多领域中，自（2）至（3）至（4），都曾做出划时代的贡献。）
海森伯从实验（1）与唯象理论（2）出发：实验与唯象理论是五光十色、错综复杂的，所以他要摸索，要犹豫，要尝试了再尝试，因此他的文章也就给读者不清楚、有渣滓的感觉。狄拉克则从他对数学的灵感出发：数学的最高境界是结构美，是简洁的逻辑美，因此他的文章也就给读者“秋水文章不染尘”的感受。
让我补充一点关于数学和物理的关系。我曾经把二者的关系表示为两片在茎处重叠的叶片。重叠的地方同时是二者之根，二者之源。譬如微分方程、偏微分方程、希 尔伯特空间、黎曼几何和纤维丛等，今天都是二者共用的基本观念。这是惊人的事实，因为首先达到这些观念的物理学家与数学家曾遵循完全不同的路径，完全不同的传统。
必须注意的是在重叠的地方，共用的基本观念虽然如此惊人地相同，但是重叠的地方并不多，只占二者各自的极少部分。譬如实验（1）与唯象理论（2）都不在重叠区，而绝大部分的数学工作也在重叠区之外。另外值得注意的是即使在重叠区，虽然基本观念物理与数学共用，但是二者的价值观与传统截然不同，而二者发展的生命力也各自遵循不同的茎脉流通，如图3所示。
年青人面对选择前途方向时，要对自己的喜好与判断能力有正确的自我估价。
“但如果凡我所写，的确都是冷的呢？则它的生命原来就没有，更谈不到中国的病证究竟如何。然而，无情的冷嘲和有情的讽刺相去本不及一张纸，对于周围的感受和反应，又大概是所谓“如鱼饮水冷暖自知”的；我却觉得周围的空气太寒冽了，我自说我的话，所以反而称之曰《热风》。”
———鲁迅真好。常读常新。
———鲁迅真好。常读常新。
喜歡提供安寧服務、特別小朋友和老人家、香港及亞洲人的確比較保守、看著最後時光可以心安離開另展開新一頁十分重要
生命就是如此、珍惜最後的時間、可以達到生死兩相安、更可以知道什麼叫做生命、生命對個人發展有究竟有什麼意義、有人每日努力「用時間」、甚至重症病人、但有人嫌時間太多、失去目標、盼望、未了解清楚生命的本質和任務、的確實在可惜
生命就是如此、珍惜最後的時間、可以達到生死兩相安、更可以知道什麼叫做生命、生命對個人發展有究竟有什麼意義、有人每日努力「用時間」、甚至重症病人、但有人嫌時間太多、失去目標、盼望、未了解清楚生命的本質和任務、的確實在可惜
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