Tipler物理Chp6题目中一个非常离谱的积分工具没用明白的错误。
首先我们说定积分的定义简单说是闭区间上函数的黎曼和在划分范数趋于零的极限。通常因为我们取划分的时候是从小到大的，（x0x1>...>xn-1>xn）从而每个Δxi都是负的了，最后在积分结果上就贡献了一个负号。图二。以上不是严格证明，只是说明来源与合理性。
然后再来说说做功公式。dW=F*dl，这里的F和dl都是向量。所以向量内积得到|F|*|dl|*cosΦ，Φ是夹角，取[0,pi]。然后两边一积分就有了W(s1→s2)=∫s1 to s2 |F|*|dl|*cosΦ。如果你的F可以解析表达成关于l的函数，s1和s2（初态和末态）可以表示成l的取值，那么就比较容易得到结果。
但这里应该注意一件事，如果你的积分上限小于积分下限，也就是说dl是负的，那么从绝对值里取出来的时候需要再贡献一个负号（同样不是严格证明，只是可以这样理解）。而Tipler的答案里显然忽略了这一点，以至于得到了非常荒谬的把每个小区间上的负功加和，总功却是正的，动能增加的结果。

多元函数z=f(x,y)
重极限，连续，偏导数，全微分（都是逐点的概念）
1⃣重极限
（x,y）→(x0,y0)任意方式
◾重极限的计算
初步判断（上下次方比较 0，不存在，∞）
→为0：去绝对值用夹逼准则；无穷小×有界=0；设法消去分母中极限为0的因子
→不存在：取y=kx路径；或者＋y=x²路径
◾连续定义，偏导数连续定义，全微分的极限等价形式都是重极限
，多元函数一点处取极限是取▶重极限

2⃣连续▶重极限
◾定义（点）
类似于一元函数，但this is重极限
◾性质（和一元函数完全相同）
①初等函数在其定义区域内处处连续
②有界闭区域上连续函数
有界性；最值性；介值性
◾一点是否连续？
定义法

3⃣偏导数❕极限
◾定义（点）
本质上是一元函数的导数定义
对x求偏导；对y求偏导
◾几何意义
曲面被截曲线（x=x0或y=y0）上一点的斜率
◾一点偏导数的计算
先代（不变的量）后求
❗z=f(x,y)在一点处可导是指这一点对x对y的偏导都存在

4⃣全微分▶重极限
◾定义（点）
△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)
其中A,B分别是对x，对y在(x0,y0)的偏导数
◾4条等价
ρ=√(△x²+△y²)

▶重极限为0
f(x,y)-f(x0,y0)=A(x-x0)+B(y-y0)+o(ρ)
◾判断一点是否可微
必要条件（用于否定）
A,B即对x，对y在(x0,y0)的偏导数都存在
充分条件（太过严格）
对x，对y在(x0,y0)的偏导数不但存在且连续存在
偏导数连续是▶重极限
一般步骤
①必要条件是否满足
②用可微定义的等价形式（▶重极限是否为0）
存在不为0或者不存在都不可微

5⃣连续，可（偏）导，全微分，偏导数连续的关系
可（偏）导仅跟某一条直线上的点有关
故可（偏）导不能推出连续，不能推出可微，其余和一元微分相同
❗对应的反例要记得

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#电视剧你是我的荣耀# 顾漫编剧水准真好，导演长镜头拍得真好，热巴微表情把握的真好，每个人的演技都好，每个细节都充满意义，收看小荣耀仿佛自己跟着穿越回到了学生时代去体会那些美好和遗憾，看到于途和晶晶他们幸福地在一起，仿佛我的青春也圆满了，真好[暖一下]于途和晶晶在毕业十年后的相遇是偶然，相爱是必然，希望他们在平行世界里永远甜蜜幸福，我会在现实世界里默默回味这个美丽的故事[桃花][给你小心心]
我相信《你是我的荣耀》它不是成年人的童话，而是对现实生活美好期许的具现，是藏在某个地方的真实发生过或者正在发生的故事，啊，好美好棒的故事，睡了，于途晶晶早安[暖一下] https://t.cn/RZVeEA7