328.97亿元！四特酒品牌价值再度提升
《华夏酒报》记者 李剑
一款产品成长为品牌并不是偶然，注定是一场充满毅力、智慧、探索的过程。多年一直坚持走差异化之路的四特酒，品牌价值增长至328.97亿元！
9月10日，中国酒类流通协会和中华品牌战略研究院公布了2021年度中国酒类品牌价值200强榜单及报告。其中，四特酒的品牌价值从2020年的280.04亿元增长至328.97亿元，增长48.93亿元。
从这份报告来看，2020年至今虽受疫情影响，全球范围内经济运行受到冲击，但四特酒的品牌价值不减反增，并呈现出诸多亮点。这也是多年来，四特酒始终坚持走差异化特香之路的结果，也意味着市场对四特酒品牌的绝对认可。
文化为品牌赋能
有一种力量，无形但深远，比如文化。说起四特酒的历史，那就不得不提四特酒的原产地——江西省樟树市，该市是中国古法白酒的原生地。自殷商发源，四特酒历经汉、唐、宋、明、清等数朝，形成了诗、文人与酒相依的独特渊源。白酒承载着的是文化，正是数千年来生生不息的中华文化赋予了白酒行业强大的生命力和旺盛的市场需求。四特酒历史悠久，其在一波又一波时代的浪潮中坚守住了它的精髓，以历史文化底蕴为背书，融合新时代文化精神，为四特酒品牌持续赋能。
今年7月，2021年四特十五年“筑梦兰心”公益计划手绘评选大赛颁奖盛典在景德镇陶溪川举行。一件件作品展示了对新时代幸福美好生活的歌颂，对四特酒文化故事、历史底蕴、品牌内涵的描绘，对四特十五年精神内涵、匠心品质的刻画等。透过这些作品，可以看到新时代青年对于四特酒的理解和美的探求，也展示出四特酒在深化文化内涵，打造四特品牌精神内涵的决心。
近年来，越来越多的酒企将文化上升为企业战略，希冀用文化为品牌打造坚实的“金字招牌”，四特酒也不例外。回顾四特酒的发展史，是一部自强不息、厚德载物的成长史。三千多年的四特酒史，汲取了中华文明的精华，印证了中国酒文明发展的每一个脚印。时至今日，四特酒凭借特香型白酒独特的口感和卓越的品质，赢得了众多消费者的信任，是赣鄱大地饮食文化的代表，成为江西人民引以为傲的一张金色文化名片。
源远流长的文化底蕴，是四特酒品牌强大的根本。
四“特”为品牌背书
四特酒以“特”而闻名。具体来说，分为四个“特”，即产区之特、原料之特、工艺之特、香型之特。正是这与生俱来的“特”，让四特酒在消费者心目中形成独特的品牌印象，赢得了当下的白酒市场资源，取得了消费者的一致认可。
第一，产区之特，特在环境。江西樟树一带具有不可复制的地质形态，千百年来形成了独特的水源气候和微生物群，这为四特出产好酒创造绝佳的先决条件；第二，原料之特，特在原粮。白酒酿造多以高粱为主，而四特酒则选用产于赣鄱稻区的纯天然优质稻米为酿造原粮，以整粒大米，不经浸泡，直接放入发酵池和酒醅混在一起固体发酵，这种做法在全国白酒酿造中仅此一例；第三，工艺之特，特在古法。江西宜春人宋应星著有世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作《天工开物》，当时“清江土烧”酿酒工艺资料收录其中。而今，四特人追本溯源，与天工古法一脉相传，九法环环相循，不忘工艺之本，更是创新总结出“12353”特香工艺，做到了传统与现代的完美融合；第四，香型之特，特在风味。自1997年，由国家轻工总会审查推荐、全国标准化委员会审定批准的中国白酒特香型正式得到了认可，四特酒成为特香型的代表企业以来，其幽雅舒适、诸香协调、入口柔和、余味悠长等特点，让四特酒“一口三香，清香醇纯”的口感特征为世人称道。
这些年，四特酒一直执着坚守特香型白酒酿造工艺，专注于不断提升企业的管理力和品牌力，打造核心管理团队，致力于成为中国差异化香型第一品牌。正是因为这个理念，四特酒从来不会去跟风，无论是在浓香型受到追捧的过去，还是在酱香流行的当下，其一直坚持走特香型路线。尤其是最近几年，白酒市场经历了大流通时期和拼品牌、拼终端时期之后，如今走进了拼整合、拼科学管理的新时代，四特酒的定位就更加坚定了。
一脉相承的独特个性，促进了四特酒品牌的跨越式发展。
创新为品牌发声
作为江西省龙头白酒企业、全国知名品牌，四特酒也在不断创新品牌推广机制，线上活动、综艺栏目、交通路牌、广播电视等多个途径同步发声，打通了传统媒体、网络、移动终端三方媒介渠道，四特品牌传播效果显著。
可以看到，即便是在疫情蔓延的2020年，也没有阻滞四特酒的品牌活力。四特酒纷纷利用视频会议、线上直播等形式，创新性开展销售和推广工作。
“致敬最美逆行者”“抗疫防疫站点慰问活动”“最美家常菜评选”等活动快速打开消费端，在扩大品牌影响力的同时也让消费者感受到温暖；在2020年双11活动中，四特酒集体亮相，并针对消费者的个性化需求，推出各种有针对性的特惠活动，足见其在市场服务和消费者培育中的用心；为了进一步拉动市场，四特酒还抓住契机，开启了直播带货模式，直播首秀四特东方韵·弘韵短短几秒便被抢购一空，这不仅展示了四特酒的产品亮点，更是将品牌的历史底蕴一一呈现；四特酒赞助播出的《主厨的荣耀》，彰显了四特酒对中国味道走出中国、走向世界的底气和执着……一系列的创新发展，让四特酒在传统文化赋能背书的基础上，不断焕发新的品牌魅力，品牌声量持续增强。
此外，四特酒还在2019年河北、福建、广东、江苏、湖南、河南招商的基础上继续快速布局重点区域，分产品线有针对地开展招商活动。在经销商管理上，四特酒实行经销商分级管理，根据核心市场、高潜力市场、低潜力市场、开发市场等类型，制定不同的策略，并帮助经销商制定成长计划，精准推动厂商共同发展。
四特酒的品牌价值之所以能够实现跨越式发展，一方面得益于数千年来四特酒承载的深厚历史内涵和得天独厚的四大优势；另一方面，也要归功于新时代下四特人不断进行品牌创新、营销创新，从而为品牌价值带来提升。正是基于品牌发展将传统与创新相结合，四特酒形成了强大的品牌核心竞争力，品牌发展具备无限上升的可能。
在2021年中国酒类品牌价值前200强榜单中，四特酒以328.97亿元位列前30强。面向未来，四特酒方面表示，将继续践行“求真务实，从容久远”的企业哲学，“自强不息，厚德载物”的企业精神，贯彻落实高质量发展要求，着力打造专注专业、创新卓越、基业长青的酒业领军者，为推动中国酒业繁荣发展贡献一分力量。
四特酒的“特”，不是曲高和寡，而是“世界因我而不同”的产品魅力和品牌精神。
《华夏酒报》记者 李剑
一款产品成长为品牌并不是偶然，注定是一场充满毅力、智慧、探索的过程。多年一直坚持走差异化之路的四特酒，品牌价值增长至328.97亿元！
9月10日，中国酒类流通协会和中华品牌战略研究院公布了2021年度中国酒类品牌价值200强榜单及报告。其中，四特酒的品牌价值从2020年的280.04亿元增长至328.97亿元，增长48.93亿元。
从这份报告来看，2020年至今虽受疫情影响，全球范围内经济运行受到冲击，但四特酒的品牌价值不减反增，并呈现出诸多亮点。这也是多年来，四特酒始终坚持走差异化特香之路的结果，也意味着市场对四特酒品牌的绝对认可。
文化为品牌赋能
有一种力量，无形但深远，比如文化。说起四特酒的历史，那就不得不提四特酒的原产地——江西省樟树市，该市是中国古法白酒的原生地。自殷商发源，四特酒历经汉、唐、宋、明、清等数朝，形成了诗、文人与酒相依的独特渊源。白酒承载着的是文化，正是数千年来生生不息的中华文化赋予了白酒行业强大的生命力和旺盛的市场需求。四特酒历史悠久，其在一波又一波时代的浪潮中坚守住了它的精髓，以历史文化底蕴为背书，融合新时代文化精神，为四特酒品牌持续赋能。
今年7月，2021年四特十五年“筑梦兰心”公益计划手绘评选大赛颁奖盛典在景德镇陶溪川举行。一件件作品展示了对新时代幸福美好生活的歌颂，对四特酒文化故事、历史底蕴、品牌内涵的描绘，对四特十五年精神内涵、匠心品质的刻画等。透过这些作品，可以看到新时代青年对于四特酒的理解和美的探求，也展示出四特酒在深化文化内涵，打造四特品牌精神内涵的决心。
近年来，越来越多的酒企将文化上升为企业战略，希冀用文化为品牌打造坚实的“金字招牌”，四特酒也不例外。回顾四特酒的发展史，是一部自强不息、厚德载物的成长史。三千多年的四特酒史，汲取了中华文明的精华，印证了中国酒文明发展的每一个脚印。时至今日，四特酒凭借特香型白酒独特的口感和卓越的品质，赢得了众多消费者的信任，是赣鄱大地饮食文化的代表，成为江西人民引以为傲的一张金色文化名片。
源远流长的文化底蕴，是四特酒品牌强大的根本。
四“特”为品牌背书
四特酒以“特”而闻名。具体来说，分为四个“特”，即产区之特、原料之特、工艺之特、香型之特。正是这与生俱来的“特”，让四特酒在消费者心目中形成独特的品牌印象，赢得了当下的白酒市场资源，取得了消费者的一致认可。
第一，产区之特，特在环境。江西樟树一带具有不可复制的地质形态，千百年来形成了独特的水源气候和微生物群，这为四特出产好酒创造绝佳的先决条件；第二，原料之特，特在原粮。白酒酿造多以高粱为主，而四特酒则选用产于赣鄱稻区的纯天然优质稻米为酿造原粮，以整粒大米，不经浸泡，直接放入发酵池和酒醅混在一起固体发酵，这种做法在全国白酒酿造中仅此一例；第三，工艺之特，特在古法。江西宜春人宋应星著有世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作《天工开物》，当时“清江土烧”酿酒工艺资料收录其中。而今，四特人追本溯源，与天工古法一脉相传，九法环环相循，不忘工艺之本，更是创新总结出“12353”特香工艺，做到了传统与现代的完美融合；第四，香型之特，特在风味。自1997年，由国家轻工总会审查推荐、全国标准化委员会审定批准的中国白酒特香型正式得到了认可，四特酒成为特香型的代表企业以来，其幽雅舒适、诸香协调、入口柔和、余味悠长等特点，让四特酒“一口三香，清香醇纯”的口感特征为世人称道。
这些年，四特酒一直执着坚守特香型白酒酿造工艺，专注于不断提升企业的管理力和品牌力，打造核心管理团队，致力于成为中国差异化香型第一品牌。正是因为这个理念，四特酒从来不会去跟风，无论是在浓香型受到追捧的过去，还是在酱香流行的当下，其一直坚持走特香型路线。尤其是最近几年，白酒市场经历了大流通时期和拼品牌、拼终端时期之后，如今走进了拼整合、拼科学管理的新时代，四特酒的定位就更加坚定了。
一脉相承的独特个性，促进了四特酒品牌的跨越式发展。
创新为品牌发声
作为江西省龙头白酒企业、全国知名品牌，四特酒也在不断创新品牌推广机制，线上活动、综艺栏目、交通路牌、广播电视等多个途径同步发声，打通了传统媒体、网络、移动终端三方媒介渠道，四特品牌传播效果显著。
可以看到，即便是在疫情蔓延的2020年，也没有阻滞四特酒的品牌活力。四特酒纷纷利用视频会议、线上直播等形式，创新性开展销售和推广工作。
“致敬最美逆行者”“抗疫防疫站点慰问活动”“最美家常菜评选”等活动快速打开消费端，在扩大品牌影响力的同时也让消费者感受到温暖；在2020年双11活动中，四特酒集体亮相，并针对消费者的个性化需求，推出各种有针对性的特惠活动，足见其在市场服务和消费者培育中的用心；为了进一步拉动市场，四特酒还抓住契机，开启了直播带货模式，直播首秀四特东方韵·弘韵短短几秒便被抢购一空，这不仅展示了四特酒的产品亮点，更是将品牌的历史底蕴一一呈现；四特酒赞助播出的《主厨的荣耀》，彰显了四特酒对中国味道走出中国、走向世界的底气和执着……一系列的创新发展，让四特酒在传统文化赋能背书的基础上，不断焕发新的品牌魅力，品牌声量持续增强。
此外，四特酒还在2019年河北、福建、广东、江苏、湖南、河南招商的基础上继续快速布局重点区域，分产品线有针对地开展招商活动。在经销商管理上，四特酒实行经销商分级管理，根据核心市场、高潜力市场、低潜力市场、开发市场等类型，制定不同的策略，并帮助经销商制定成长计划，精准推动厂商共同发展。
四特酒的品牌价值之所以能够实现跨越式发展，一方面得益于数千年来四特酒承载的深厚历史内涵和得天独厚的四大优势；另一方面，也要归功于新时代下四特人不断进行品牌创新、营销创新，从而为品牌价值带来提升。正是基于品牌发展将传统与创新相结合，四特酒形成了强大的品牌核心竞争力，品牌发展具备无限上升的可能。
在2021年中国酒类品牌价值前200强榜单中，四特酒以328.97亿元位列前30强。面向未来，四特酒方面表示，将继续践行“求真务实，从容久远”的企业哲学，“自强不息，厚德载物”的企业精神，贯彻落实高质量发展要求，着力打造专注专业、创新卓越、基业长青的酒业领军者，为推动中国酒业繁荣发展贡献一分力量。
四特酒的“特”，不是曲高和寡，而是“世界因我而不同”的产品魅力和品牌精神。
群作用(Group Action）
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
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