从正多边形的作图到费尔马素数
大罕
你会用尺规作出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十边形吗？
正方形的两条对角线，把正方形分为四个全等的等腰直角三角形．只要在圆内作两条互相垂直的直径，顺次连接两条直径的四个端点，就能得到一个正方形．
正六边形的边长等于外接圆半径．只要在圆周上用半径的长截取六个等分点，就能得到圆内接正六边形．连接圆的六等分点中隔着一个点的三个点就能得到正三角形．
正五边形可以通过正十边形的作图可以得到．
设正十边形A1A2…A10的外接圆为圆O，半径为1，则∠A1OA2=36°，
则A1A2=2 sin18°，
计算sin18°的值：
∵cos54°=sin36°，
∴4(cos18°)^3-3cos18°=2sin18°cos18°,
⇒4(cos18°)^2-3=2sin18°,
⇒4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,
解得sin18°＝(√5-1)/4，
因此，正十边形的边长为A1A2=2sin18°＝(√5-1)/2.
据此，可以这样求作完成正十边形的边长：
第一步，在半径为1的圆O中，作互相垂直的直径MN和 A1A6，如图2；
第二步，取半径OM的中点K；
第三步，以OM为直径作圆K，连接A1K交圆K于点H，则A1H即为正十边形的边长.
其证明相当简单：
在Rt△A1OK中，A1K=√[1+(1/2)^2]=√5/2，
∴A1H= A1K-KH=(√5-1)/2，
连接圆的十等分点中隔着一个点的五个点就能得到正五边形．
不过，人们更喜欢直接用尺规作图得到正五边形。作法如下：
第一步，在半径为1的圆O中，作互相垂直的直径MN和 AP；
第二步，取半径ON的中点K；
第三步，以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长；
第四步，以AH为弦长，在圆周上截得B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形ABCDE，如图3．
下面我们予以证明。回顾作图过程，有
在Rt△AOK中，AK=√[1+(1/2)^2]=√5/2，
∴OH=(√5-1)/2，
在Rt△AOH中，
AH^2=1+[(√5-1)/2]^2=(10-2√5)/4，
∴AH=[√(10-2√5)]/2.
下面我们推算半径为1的圆内接正五边形的边长．
如图4，正五边形ABCDE内接于圆O，延长BO交DE于点Q，
在Rt△BQE中，BQ＝1+cos36°，QE＝sin36°，BE＝2sin72°，
∴(1+cos36°)^2+(sin36°)^2=(2sin72°)^2，
化简，得
1+cos36°＝2(sin72°)^2，
⇒1+cos36°＝8[1-(cos36°)^2](cos36°)^2，
令x=cos36°，就有
1+x=8x^2(1+x)(1-x)，⇒8x^3-8x^2+1=0，
⇒(2x-1)(4x^2-2x-1)=0，⇒x=cos36°=(√5+1)/4，
⇒sin36°=[√(10-2√5)]/4，
∴圆内接正五边形ABCDE的边长DE=2sin36°
=[√(10-2√5)]/2．
用尺规作正n边形，是欧氏几何的一个重要内容，历史上曾占有重要的地位．与此相关的数学问题，例如费尔马素数问题，至今仍然没有解决．
说到费尔马素数，必然把它与两位著名数学家——费尔马和高斯联系起来．
欧几里得在《几何原本》里，除了介绍正三角形、正方形、正五边形和正六边形的作法外，还介绍了正十五边形的作法．
由于圆内接正三角形和正五边形可以作图，而2/5-1/3=1/15，只要把圆三等分于A,B,C，再将圆五等分于A,P,Q,R,S，就可以可出正十五边形来．
进一步，通过连续平分角或弧，就可以作出3×2^k、4×2^k、5×2^k、15×2^k(k=0,1,2,…)个边的正多边形．二千多年以来，一直没有人能用直尺和圆规作出新的正多边形来．(未完待续) https://t.cn/R2V0eeO
大罕
你会用尺规作出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十边形吗？
正方形的两条对角线，把正方形分为四个全等的等腰直角三角形．只要在圆内作两条互相垂直的直径，顺次连接两条直径的四个端点，就能得到一个正方形．
正六边形的边长等于外接圆半径．只要在圆周上用半径的长截取六个等分点，就能得到圆内接正六边形．连接圆的六等分点中隔着一个点的三个点就能得到正三角形．
正五边形可以通过正十边形的作图可以得到．
设正十边形A1A2…A10的外接圆为圆O，半径为1，则∠A1OA2=36°，
则A1A2=2 sin18°，
计算sin18°的值：
∵cos54°=sin36°，
∴4(cos18°)^3-3cos18°=2sin18°cos18°,
⇒4(cos18°)^2-3=2sin18°,
⇒4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,
解得sin18°＝(√5-1)/4，
因此，正十边形的边长为A1A2=2sin18°＝(√5-1)/2.
据此，可以这样求作完成正十边形的边长：
第一步，在半径为1的圆O中，作互相垂直的直径MN和 A1A6，如图2；
第二步，取半径OM的中点K；
第三步，以OM为直径作圆K，连接A1K交圆K于点H，则A1H即为正十边形的边长.
其证明相当简单：
在Rt△A1OK中，A1K=√[1+(1/2)^2]=√5/2，
∴A1H= A1K-KH=(√5-1)/2，
连接圆的十等分点中隔着一个点的五个点就能得到正五边形．
不过，人们更喜欢直接用尺规作图得到正五边形。作法如下：
第一步，在半径为1的圆O中，作互相垂直的直径MN和 AP；
第二步，取半径ON的中点K；
第三步，以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长；
第四步，以AH为弦长，在圆周上截得B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形ABCDE，如图3．
下面我们予以证明。回顾作图过程，有
在Rt△AOK中，AK=√[1+(1/2)^2]=√5/2，
∴OH=(√5-1)/2，
在Rt△AOH中，
AH^2=1+[(√5-1)/2]^2=(10-2√5)/4，
∴AH=[√(10-2√5)]/2.
下面我们推算半径为1的圆内接正五边形的边长．
如图4，正五边形ABCDE内接于圆O，延长BO交DE于点Q，
在Rt△BQE中，BQ＝1+cos36°，QE＝sin36°，BE＝2sin72°，
∴(1+cos36°)^2+(sin36°)^2=(2sin72°)^2，
化简，得
1+cos36°＝2(sin72°)^2，
⇒1+cos36°＝8[1-(cos36°)^2](cos36°)^2，
令x=cos36°，就有
1+x=8x^2(1+x)(1-x)，⇒8x^3-8x^2+1=0，
⇒(2x-1)(4x^2-2x-1)=0，⇒x=cos36°=(√5+1)/4，
⇒sin36°=[√(10-2√5)]/4，
∴圆内接正五边形ABCDE的边长DE=2sin36°
=[√(10-2√5)]/2．
用尺规作正n边形，是欧氏几何的一个重要内容，历史上曾占有重要的地位．与此相关的数学问题，例如费尔马素数问题，至今仍然没有解决．
说到费尔马素数，必然把它与两位著名数学家——费尔马和高斯联系起来．
欧几里得在《几何原本》里，除了介绍正三角形、正方形、正五边形和正六边形的作法外，还介绍了正十五边形的作法．
由于圆内接正三角形和正五边形可以作图，而2/5-1/3=1/15，只要把圆三等分于A,B,C，再将圆五等分于A,P,Q,R,S，就可以可出正十五边形来．
进一步，通过连续平分角或弧，就可以作出3×2^k、4×2^k、5×2^k、15×2^k(k=0,1,2,…)个边的正多边形．二千多年以来，一直没有人能用直尺和圆规作出新的正多边形来．(未完待续) https://t.cn/R2V0eeO
当你一直努力做个好人却无法让所有人满意时，你会悲痛地用'问心无愧'和'假以时日'安慰自己。可你会发现仍不解决心中的怨气，这时你会做个决定，人心复杂，干脆就只为自己不管他人，做个坏人吧，省得自己吃力不讨好，越想越气。可最终你依旧还是要做好人，因为成为好人是对一个好人最大的回报。[蜡烛]#刚毕业爸妈就让我寄钱回家#
记：
二零二一年五月二十一日
收到了第一束红玫瑰，他人送的。
突然想起木心先生的一首诗，想起了消失的你。
你并未向我道别，仅只是突然失去了音讯，我一直以为你会回来，等了许久。
我以为你会回来，可我已记不清你同我说话的样子。
是二十三个星期，是五个月零九天，也是一百六十天。
后来“另一些人/扮演你入我梦中/哪有你，你这样好/哪有你这样你。” https://t.cn/RczTWJ5
二零二一年五月二十一日
收到了第一束红玫瑰，他人送的。
突然想起木心先生的一首诗，想起了消失的你。
你并未向我道别，仅只是突然失去了音讯，我一直以为你会回来，等了许久。
我以为你会回来，可我已记不清你同我说话的样子。
是二十三个星期，是五个月零九天，也是一百六十天。
后来“另一些人/扮演你入我梦中/哪有你，你这样好/哪有你这样你。” https://t.cn/RczTWJ5
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