#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20210502文字稿, 详细内容请见视频讲解
(1)泰勒中值定理的证明题, 关键问题就在于展开点和被展开点的选取。那么仅针对今天的问题, 大家有什么思路呢?
①x0的选取: (i)含导数信息较多的点, 这里包含一些隐藏的导数信息, 如极值与最值点; (ii)区间的中点。
②x的选取: (i)含函数信息(非导数)信息较多的点; (ii)区间的端点; (iii)任意点。

(2)在写出泰勒展开式, 代入具体的x与x0之后, 如何根据题目的信息恒等变形构造我们需要的条件, 是解决这类问题的关键。

(3)(i)第一问不等式证明, 可以考虑分类讨论或者反证法。这里其实是平均值相关的不等式性质。
(ii)第二问等式证明, 可以利用连续函数的相关性质。
注意这里导函数连续的条件其实可以去掉, 使用导函数的介值性同样可以证明。

(4)今天这道题的两问, 其实是平均值相关的等式和不等式性质, 这是一个重要考点, 请大家注意归纳小结。

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