#高等数学#
★用极限法计算函数曲线下的面积
第三步 推导lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx＝A（A为函数f（x）曲线下面积）
根据陶氏△A－△Ar定理，即公式：
lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1；以及
lim(Δx→0) (△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)＝1
我们可以推导出公式lim(n→∞)［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋(n－1)Δx）Δx］＝A（A为函数f（x）曲线下面积）．
让我们在函数y＝f（x）曲线下设立一个大的区间［a，b］．让我们将区间［a，b］分割成n个小区间（n代表一个很大的正整数）．小区间的宽度均为Δx，那么Δx＝(b－a)/n．让我们在这n个小区间上设立n个曲边梯形，这样我们就有n个△A，如图5-6中的左图所示．再让我们在n个小区间上设立n个矩形，这样我们就有n个△Ar，如图5-6中的右图所示．
让△A₁、△A₂、…、△Aₙ分别代表在区间［a，b］上的第1个至第n个曲边梯形的△A，如图5-6中左图所示．让我们将区间［a，b］上的所有△A相加．我们知道所有△A之和总是等于函数f（x）曲线下、区间［a，b］上的面积，与n的大小及Δx的大小无关．让A代表在区间［a，b］上、函数f（x）的曲线下和x轴上的面积．我们有
A＝（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）＝lim(n→∞)(Δx→0)（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）．这里Δx＝(b－a)/n
让△Ar₁、△Ar₂、…、△Arₙ分别代表在区间［a，b］上的第1个至第n个矩形的△Ar，如图5-6中右图所示．让我们将区间［a，b］上的所有△Ar相加．我们知道所有△Ar之和不等于所有△A之和．我们有
（△Ar₁＋△Ar₁＋…＋△Arₙ）≠（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）
或（△Ar₁＋△Ar₁＋…＋△Arₙ）/（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）≠ 1
但是根据公式lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₙ)＝1，如果Δx无限趋向于0，(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₙ)将无限趋向于1．在这里，因为Δx＝(b－a)/n，当n趋向于∞，Δx将无限趋向于0．因此如果我们让n趋向于∞，Δx将无限趋向于0，那么将趋向于1．我们有lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₙ)＝1，这里Δx＝(b－a)/n，
我们知道A＝（△A₁＋△A₂＋…＋△Aₙ）．将其代入，得lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/A＝1，这里Δx＝(b－a)/n，由于A的值是个定值，我们有A＝lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)，这里Δx＝(b－a)/n．
我们知道△Ar＝f（x）Δx．如果我们把小区间的起始点的x坐标值代入这个公式，那么△Ar₁、△Ar₂、…、△Arₙ可表达如下：
△Ar₁＝f（a）Δx，△Ar₂＝f（a＋Δx）Δx，…，△Arₙ＝f（a＋(n-1)Δx）Δx．
将这些表达式代入公式A＝lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)，得
A＝lim(n→∞)(Δx→0)（f(a)Δx+f(a＋Δx)Δx+…+f(a＋(n-1)Δx)Δx)，这里Δx＝(b－a)/n，因为Δx＝(b－a)/n，lim(n→∞)(Δx→0)也可以被简单地写为lim(n→∞)，那么我们有
A＝lim(n→∞)（f(a)Δx+f(a＋Δx)Δx+…+f(a＋(n-1)Δx)Δx），这里Δx＝(b－a)/n．
多项式f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx称为黎曼之和．
黎曼之和可以用∑符号表达式∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx表示．符号表达式中的xᵢ代表第i个小区间起始点的x坐标值．这样上述公式可以重写为
A＝lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx．
我们还可用符号表达式 ∫ₐᵇf(x)dx 来表示极限lim(n→∞)［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx］和极限lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx．我们有
∫ₐᵇf(x)dx＝lim(n→∞)［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx］
和 ∫ₐᵇf(x)dx＝lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx．这样就有
A＝ ∫ₐᵇf(x)dx
符号表达式 ∫ₐᵇf(x)dx 被称为定积分．
注意，上述公式是根据△A与△Ar的关系推导出来的．曲边梯形和矩形均与切线无关，也就是说与导数无关．因此，只要函数是连续函数，它就可以有△A和△Ar．当一个函数有△A和△Ar，公式A＝ ∫ₐᵇf(x)dx 就适用于这个函数．因此公式A＝ ∫ₐᵇf(x)dx 适用于连续函数．
通常我们用 ∫ₐᵇf(x)dx 代表在区间［a，b］上、函数曲线下和x轴上的面积．
因为表达式［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx］和它的符号表达式∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx称为黎曼之和，所以lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx称为黎曼之和的极限．
★用极限法计算函数曲线下的面积
第三步 推导lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx＝A（A为函数f（x）曲线下面积）
根据陶氏△A－△Ar定理，即公式：
lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1；以及
lim(Δx→0) (△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)＝1
我们可以推导出公式lim(n→∞)［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋(n－1)Δx）Δx］＝A（A为函数f（x）曲线下面积）．
让我们在函数y＝f（x）曲线下设立一个大的区间［a，b］．让我们将区间［a，b］分割成n个小区间（n代表一个很大的正整数）．小区间的宽度均为Δx，那么Δx＝(b－a)/n．让我们在这n个小区间上设立n个曲边梯形，这样我们就有n个△A，如图5-6中的左图所示．再让我们在n个小区间上设立n个矩形，这样我们就有n个△Ar，如图5-6中的右图所示．
让△A₁、△A₂、…、△Aₙ分别代表在区间［a，b］上的第1个至第n个曲边梯形的△A，如图5-6中左图所示．让我们将区间［a，b］上的所有△A相加．我们知道所有△A之和总是等于函数f（x）曲线下、区间［a，b］上的面积，与n的大小及Δx的大小无关．让A代表在区间［a，b］上、函数f（x）的曲线下和x轴上的面积．我们有
A＝（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）＝lim(n→∞)(Δx→0)（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）．这里Δx＝(b－a)/n
让△Ar₁、△Ar₂、…、△Arₙ分别代表在区间［a，b］上的第1个至第n个矩形的△Ar，如图5-6中右图所示．让我们将区间［a，b］上的所有△Ar相加．我们知道所有△Ar之和不等于所有△A之和．我们有
（△Ar₁＋△Ar₁＋…＋△Arₙ）≠（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）
或（△Ar₁＋△Ar₁＋…＋△Arₙ）/（△A₁+△A₂+…+△Aₙ）≠ 1
但是根据公式lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₙ)＝1，如果Δx无限趋向于0，(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₙ)将无限趋向于1．在这里，因为Δx＝(b－a)/n，当n趋向于∞，Δx将无限趋向于0．因此如果我们让n趋向于∞，Δx将无限趋向于0，那么将趋向于1．我们有lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₙ)＝1，这里Δx＝(b－a)/n，
我们知道A＝（△A₁＋△A₂＋…＋△Aₙ）．将其代入，得lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)/A＝1，这里Δx＝(b－a)/n，由于A的值是个定值，我们有A＝lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)，这里Δx＝(b－a)/n．
我们知道△Ar＝f（x）Δx．如果我们把小区间的起始点的x坐标值代入这个公式，那么△Ar₁、△Ar₂、…、△Arₙ可表达如下：
△Ar₁＝f（a）Δx，△Ar₂＝f（a＋Δx）Δx，…，△Arₙ＝f（a＋(n-1)Δx）Δx．
将这些表达式代入公式A＝lim(n→∞)(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₙ)，得
A＝lim(n→∞)(Δx→0)（f(a)Δx+f(a＋Δx)Δx+…+f(a＋(n-1)Δx)Δx)，这里Δx＝(b－a)/n，因为Δx＝(b－a)/n，lim(n→∞)(Δx→0)也可以被简单地写为lim(n→∞)，那么我们有
A＝lim(n→∞)（f(a)Δx+f(a＋Δx)Δx+…+f(a＋(n-1)Δx)Δx），这里Δx＝(b－a)/n．
多项式f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx称为黎曼之和．
黎曼之和可以用∑符号表达式∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx表示．符号表达式中的xᵢ代表第i个小区间起始点的x坐标值．这样上述公式可以重写为
A＝lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx．
我们还可用符号表达式 ∫ₐᵇf(x)dx 来表示极限lim(n→∞)［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx］和极限lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx．我们有
∫ₐᵇf(x)dx＝lim(n→∞)［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx］
和 ∫ₐᵇf(x)dx＝lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx．这样就有
A＝ ∫ₐᵇf(x)dx
符号表达式 ∫ₐᵇf(x)dx 被称为定积分．
注意，上述公式是根据△A与△Ar的关系推导出来的．曲边梯形和矩形均与切线无关，也就是说与导数无关．因此，只要函数是连续函数，它就可以有△A和△Ar．当一个函数有△A和△Ar，公式A＝ ∫ₐᵇf(x)dx 就适用于这个函数．因此公式A＝ ∫ₐᵇf(x)dx 适用于连续函数．
通常我们用 ∫ₐᵇf(x)dx 代表在区间［a，b］上、函数曲线下和x轴上的面积．
因为表达式［f（a）Δx＋f（a＋Δx）Δx＋…＋f（a＋（n-1）Δx）Δx］和它的符号表达式∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx称为黎曼之和，所以lim(n→∞)∑ⁿᵢ₌₁f(xᵢ)Δx称为黎曼之和的极限．
谁创造了创造者的创造者?
问题：
耶洛因创造了我们，另一个行星上的人创造了他们。那么，是谁创造了耶洛因的创造者呢？
回答：
对人类而言，空间的无限比时间的无限要容易理解。
一旦我们拥有足够开阔的心智，就能理解地球只不过是构成空间里一个巨大生物手上的众多原子中的一个原子里的一颗微粒，这个生命体凝视着满天耀眼的繁星，这些星空又构成了一个甚至更为巨大的生命体的一只手、一个胃或一只脚，而这个更大的生命体又发现自己是在另一片天空之下，如此……以至无限。同理，也适用于无限小。构成我们手的众多原子中的一个原子里的一颗微粒上生存着许多有智慧的生物，对他们而言，这些微粒就是行星和恒星，而这些生物又由原子组成，对生存于他们原子中的微粒上的有智慧的生命而言，那些微粒也是行星和恒星，如此……以至无限。
时间的无限对人类而言则更难以理解，因为人是出生在某一天，活到一定的年数然后去逝，因而，他希望宇宙中的每件事物，都像他一样只拥有某一段有限的时间。对尚未开化的人而言，对于宇宙中任何事物，甚至宇宙本身，可以是永恒的概念是难以接受的。我们现今的科学家仍然墨守成规，宣称宇宙的测量广度应该是多少公里，年龄应该是多少百万年。但不论在空间或时间里，我们都只能在我们所能感知到的范围里去衡量宇宙的一小部分而已。
无论是物质的形态，还是能量的形态，一切都是永恒的，而我们本身就是由永恒的物质所构成的。
耶洛因是由来自另一颗行星的其他人类所创造的，而那些人也是被另一颗行星上的人类所创造，以此类推以至无限。
想要寻找宇宙时间的起源，就象是要寻觅宇宙空间的开端一样的愚蠢。
让我们返回先前所提到的例子，关于有智慧的生物存活在我们手上的其中一个原子中的一颗微粒上，对于他们而言，该微粒就是一颗行星。以空间而言，生存在这颗极微小行星上的科学家们，例如他们居住在我们右手食指第一骨节的骨髓中，这些科学家将首先宣布，他们能以肉眼观察到的其它微粒是围绕着他们的世界之中心而旋转的，亦即围绕着他们所在的行星运行着。对于这些科学家而言, 显然他们的行星就是宇宙的中心。但随着他们的科技水平的进步，终有一天，一位天才将证明并宣告太阳和其它的星球并非是围绕着他们的微小世界运转的，而是他们的行星在看似静止的天空中自转并同时绕着他们的太阳公转着。他也许会被这颗“微粒行星”上的宗教法庭的巫师猎手们视为异端而处以火刑，但终有一天会有人发明更精良的仪器，证明他的理论是对的。
然后，那个时代受过教育的科学家们，将会继续进行度量宇宙广度的工作，以极其谦虚的态度，声称宇宙是从他们天空这端最远的一颗恒星微粒延伸到另一端最远的一颗恒星微粒为止。这个测量结果，只不过代表了它们存在于我们手指上的十亿分之一之十亿分之一的区域而已。但是由于他们无法看得更远，就假设宇宙仅终结于他们所能观察到的极限。
但随着观测技术的日精月异，其它新的星系和星系群将陆续被发现。就算如此，那也仅能证明宇宙只比预期中的大，而它就永远以多少千万公里或多少光年来度量，或许结果比以前稍大一点, 最终是十倍或百倍，但宇宙终究是可被度量的。现在我们地球上的科技水平已达到这个阶段。然而，让我们再回到位于我们手指上的那颗行星上吧。
科技不断地日新月异，居住在我们指骨上的居民们，现在已准备好进行大胆的太空探险了。他们终于抵达一个新的边界——这个关节骨头中他们的行星只不过是原子中的原子罢了。如此一来，他们便可断言宇宙就如指骨那样长乘以那样宽，并证明过了此界，已再没什么好观察的了。
但是稍后，他们又成功地横穿了骨头与肌肉之间的巨大鸿沟，他们的宇宙又再次有了一个新的层次。
于是,他们改进了他们的太空船，然后终于达到覆盖我们手指上的那一层皮肤。他们所抵达他们的宇宙极限，对我们来说只是我们尺度的 1.5 厘米，但对于他们却已是许多光年过去了。
无论如何，他们仍然会继续在我们体内的其它部分中进行探险，他们将顺着由某些星球以难以想象的速度快速运行而组成的激流──巨大的过道行进，绘制出导航图，以便能够从他们的行星来去自如，但他们可曾知晓他们仅是在我们的血管中蠕动罢了。于是，他们的宇宙被限定了范围，有着特定的长宽高。他们的难以置信的光年数目，对于我们来说只不过是 1.75 厘米而已。
他们尚未发现，例如我们的脚正站在一颗行星上，在那儿，存在着用他们的只会到处划定边界的狭隘的头脑所无法想象和领悟的数不清的星系。对于地球所包含的原子数量和我们体内的原子数量简直无法相比。
他们也将意识到，其他像我们一样的“宇宙人”在这个星球上走动着，在我们的天空中，还有很多其它星辰和星系存在……以至无限。
他们之中，只有极少数最具智慧的人的心智已达到了与宇宙相调和的意识的至高境界，把这一切传授给他们的信徒们。而对于正统的科学家们而言，他们的宇宙只不过是我们指骨上的一百万之一百万分之一毫米，并仅仅只能从我们的指骨内部观察到。
时间无限的概念也一样。那个微观世界里的科学家们，能藉由测量他们居住之原子中的原子里的微粒（即他们的行星）中的分子的年龄来推算出他们的整个宇宙的年龄，然后，他们发现所谓“他们的宇宙”其实只是细胞的一小部分，而这个分子所在的细胞年龄更加久远。
然后，他们又将会发现手足，而细胞只是手足的一部分，它的年龄则更为长久，而手足所属的这个身体的年龄又更加长久……如此以至无限。
问题：
耶洛因创造了我们，另一个行星上的人创造了他们。那么，是谁创造了耶洛因的创造者呢？
回答：
对人类而言，空间的无限比时间的无限要容易理解。
一旦我们拥有足够开阔的心智，就能理解地球只不过是构成空间里一个巨大生物手上的众多原子中的一个原子里的一颗微粒，这个生命体凝视着满天耀眼的繁星，这些星空又构成了一个甚至更为巨大的生命体的一只手、一个胃或一只脚，而这个更大的生命体又发现自己是在另一片天空之下，如此……以至无限。同理，也适用于无限小。构成我们手的众多原子中的一个原子里的一颗微粒上生存着许多有智慧的生物，对他们而言，这些微粒就是行星和恒星，而这些生物又由原子组成，对生存于他们原子中的微粒上的有智慧的生命而言，那些微粒也是行星和恒星，如此……以至无限。
时间的无限对人类而言则更难以理解，因为人是出生在某一天，活到一定的年数然后去逝，因而，他希望宇宙中的每件事物，都像他一样只拥有某一段有限的时间。对尚未开化的人而言，对于宇宙中任何事物，甚至宇宙本身，可以是永恒的概念是难以接受的。我们现今的科学家仍然墨守成规，宣称宇宙的测量广度应该是多少公里，年龄应该是多少百万年。但不论在空间或时间里，我们都只能在我们所能感知到的范围里去衡量宇宙的一小部分而已。
无论是物质的形态，还是能量的形态，一切都是永恒的，而我们本身就是由永恒的物质所构成的。
耶洛因是由来自另一颗行星的其他人类所创造的，而那些人也是被另一颗行星上的人类所创造，以此类推以至无限。
想要寻找宇宙时间的起源，就象是要寻觅宇宙空间的开端一样的愚蠢。
让我们返回先前所提到的例子，关于有智慧的生物存活在我们手上的其中一个原子中的一颗微粒上，对于他们而言，该微粒就是一颗行星。以空间而言，生存在这颗极微小行星上的科学家们，例如他们居住在我们右手食指第一骨节的骨髓中，这些科学家将首先宣布，他们能以肉眼观察到的其它微粒是围绕着他们的世界之中心而旋转的，亦即围绕着他们所在的行星运行着。对于这些科学家而言, 显然他们的行星就是宇宙的中心。但随着他们的科技水平的进步，终有一天，一位天才将证明并宣告太阳和其它的星球并非是围绕着他们的微小世界运转的，而是他们的行星在看似静止的天空中自转并同时绕着他们的太阳公转着。他也许会被这颗“微粒行星”上的宗教法庭的巫师猎手们视为异端而处以火刑，但终有一天会有人发明更精良的仪器，证明他的理论是对的。
然后，那个时代受过教育的科学家们，将会继续进行度量宇宙广度的工作，以极其谦虚的态度，声称宇宙是从他们天空这端最远的一颗恒星微粒延伸到另一端最远的一颗恒星微粒为止。这个测量结果，只不过代表了它们存在于我们手指上的十亿分之一之十亿分之一的区域而已。但是由于他们无法看得更远，就假设宇宙仅终结于他们所能观察到的极限。
但随着观测技术的日精月异，其它新的星系和星系群将陆续被发现。就算如此，那也仅能证明宇宙只比预期中的大，而它就永远以多少千万公里或多少光年来度量，或许结果比以前稍大一点, 最终是十倍或百倍，但宇宙终究是可被度量的。现在我们地球上的科技水平已达到这个阶段。然而，让我们再回到位于我们手指上的那颗行星上吧。
科技不断地日新月异，居住在我们指骨上的居民们，现在已准备好进行大胆的太空探险了。他们终于抵达一个新的边界——这个关节骨头中他们的行星只不过是原子中的原子罢了。如此一来，他们便可断言宇宙就如指骨那样长乘以那样宽，并证明过了此界，已再没什么好观察的了。
但是稍后，他们又成功地横穿了骨头与肌肉之间的巨大鸿沟，他们的宇宙又再次有了一个新的层次。
于是,他们改进了他们的太空船，然后终于达到覆盖我们手指上的那一层皮肤。他们所抵达他们的宇宙极限，对我们来说只是我们尺度的 1.5 厘米，但对于他们却已是许多光年过去了。
无论如何，他们仍然会继续在我们体内的其它部分中进行探险，他们将顺着由某些星球以难以想象的速度快速运行而组成的激流──巨大的过道行进，绘制出导航图，以便能够从他们的行星来去自如，但他们可曾知晓他们仅是在我们的血管中蠕动罢了。于是，他们的宇宙被限定了范围，有着特定的长宽高。他们的难以置信的光年数目，对于我们来说只不过是 1.75 厘米而已。
他们尚未发现，例如我们的脚正站在一颗行星上，在那儿，存在着用他们的只会到处划定边界的狭隘的头脑所无法想象和领悟的数不清的星系。对于地球所包含的原子数量和我们体内的原子数量简直无法相比。
他们也将意识到，其他像我们一样的“宇宙人”在这个星球上走动着，在我们的天空中，还有很多其它星辰和星系存在……以至无限。
他们之中，只有极少数最具智慧的人的心智已达到了与宇宙相调和的意识的至高境界，把这一切传授给他们的信徒们。而对于正统的科学家们而言，他们的宇宙只不过是我们指骨上的一百万之一百万分之一毫米，并仅仅只能从我们的指骨内部观察到。
时间无限的概念也一样。那个微观世界里的科学家们，能藉由测量他们居住之原子中的原子里的微粒（即他们的行星）中的分子的年龄来推算出他们的整个宇宙的年龄，然后，他们发现所谓“他们的宇宙”其实只是细胞的一小部分，而这个分子所在的细胞年龄更加久远。
然后，他们又将会发现手足，而细胞只是手足的一部分，它的年龄则更为长久，而手足所属的这个身体的年龄又更加长久……如此以至无限。
双11预售起跑：航空公司瞄准升级版“随心飞”
在疫情阴霾笼罩下的特殊之年，今年的“双十一”比往年来得更早，战火提前到了10月底，各家航空公司也摩拳擦掌欲一决高下。
10月21日零时开始，包括“随心飞”阵营在内的诸多产品在淘宝、支付宝等平台上同时开售，共涉及11家国内航空公司的1000多条航线。10月26日，东航宣布“随心飞”产品返场，正式在其App上发售“周末随心飞”（2021版），高调挤入“双十一”促销战局。在出行市场快速恢复的情况下，各航企此次扎堆推出升级版“随心飞”产品，无疑成为大家抄底的最好时机。
开抢：
多家航空公司“随心飞”产品上线
今年初以来，“打折”成了今年航空市场上的“热词”，从各种前所未有的低价国内机票，到各家航企推陈出新的“随心飞”产品，航空公司纷纷自救，在重视不同旅客特定需求的同时，通过精细化管理细化产品定位，开拓出不少新产品。日前，“双十一”预售中的升级版“随心飞”产品就受到各大媒体的广泛关注。
据《电商报》消息，海航集团旗下12家航空公司加入了“双十一”预售“随心飞”的行列，其相关产品售价4999元。购买者可在有效期内无限次乘坐这12家航空公司实际承运的国内航线，有效期至明年6月底，不限周末和工作日使用。10月21日预售开始后，海南“随心飞”产品两小时购买人数能装满近百架飞机，单场直播卖出8000万元。
同样是21日零时开始首发上线的山东航空“魔毯2.0“也遇上了首批库存迅速售罄的场面，不得不紧急补充库存满足消费者高涨的需求。“魔毯2.0”是单程次数不限次的升级版“随心飞”，适用于山东航空实际承运的所有国内航线，售价2999元。深航则推出了深情飞湾区畅游卡。此次发售时间为10月21日~11月11日，不同档畅游卡对应的航线略有不同，售价为999元~1599元，覆盖了深圳航空所有大湾区始发且实际承运的往返或缺口航班航线。此外，在华东地区有航线优势的吉祥航空也上线了快乐套票，并带来了针为济舱和公务舱旅客分别量身打造的两款产品，供不同消费群体选择，而且没有使用限制日期，可在有效期内的任意时间使用。
值得一提的是，机票销售也极大带动了酒店等其他旅游产品的销量。除机票产品外，“双十一”预售第一天的各类旅游产品都表现不俗。数据显示，即将迎来旺季的长白山，景区三大主打酒店开售两小时就被疯抢3万多件，成交突破1亿元。多家五星级酒店提供的各类套餐产品，开售半天卖出超过12万件。
紧接着，10月26日，东航的2021版“周末随心飞”在其App上线，限量发售。这款产品还推出了支持儿童使用、支持付费升舱等多项升级服务，有效期180天，最长可跨年使用至明年6月。据悉，东航2021版“周末随心飞”售价3666元，开放中国居民身份证持有者和企事业单位实名购买，产品覆盖的航班日期范围为2020年10月31日~2021年6月27日（春运期间的2021年1月27日~2月28日除外），购买该产品的用户，在首次兑换后180天内，可不限次数乘坐周六、周日的东航、上航国内航班经济舱（港澳台航线除外）。
优化：
“随心飞”产品全面升级
由于疫情的影响，今年“双十一”旅游促销的活动形式以及产品结构较往年有很大不同。就产品结构而言，国际航线相关产品纷纷“缺席”今年的“双十一”大促，畅游全国的升级版“随心飞”成为主流。《电商报》指出，“基于上半年第一代‘随心飞’产品的运作经验，本次‘双十一’期间，各家航空公司推出的‘随心飞’产品，在使用范围、有效时长、覆盖航线上均进行了全面优化”。
《华夏时报》也持有相同观点。该报的一篇文章指出，随着国内疫情防控情况改善，社会生产生活秩序逐渐恢复，民航旅客运输量以及国内航线数量都已经恢复到几乎和去年同期相当的水平，票价同样开始回归常态。在这样的形势下，“随心飞”类产品显然对消费者更具吸引力。而经历了此前一轮的试水之后，航空公司在这类产品的设计以及营销方面积累了较多经验，产品服务也更加完备。
南方报业传媒集团新闻客户端“南方+”指出，在此次预售的“随心飞”产品中，各家航企在出行全链条服务上也做得更加完善。如深圳航空的湾区畅游卡，持有者不但可乘坐深圳进出港的深航航班，还可获得高达800元的接送机、酒店、用车及门票大额红包；为满足不同客群的需求，四川航空推出了空中公务舱产品；在区域航线上更具优势的红土航空和瑞丽航空，则带来了下沉至三四线城市的产品，让小城出行更便捷。
另外，各款产品的使用时间有所不同。不限次数的产品（海航集团、山东航空），覆盖时间大多从11月起至明年上半年，但将春运时段排除在外；四川航空公务舱套票、红土航空10次飞行套票、瑞丽航空4次飞行套票、深航一套往返套票则根据航线或次数进行灵活定价，覆盖总时长为2个月~3个月。
攻略：
根据自身需求选择和季节性热点选择更完美
航空界的“双十一”产品到底应该怎么买呢？相信面对琳琅满目的各类产品，很多都挑花了眼。实际上，在经历了疫情期的需求低迷后，近半年来，国内机票的预订量和平均票价持续攀升。据某OTA（在线旅行社旅游互联网）数据，10月的平均票价比5月高出27%。业内人士分析认为，“随心飞”产品有效刺激了出行需求，对提升航空公司上座率和运效比有显著的拉动作用。在上半年第一代“随心飞”的基础上，升级版“随心飞”的推出，让消费者的权益保障和自由度更高。
对此，不少媒体纷纷为旅客支招。《羊城晚报》“支招攻略”建议旅客根据自身需求和季节性热门航线进行选择。
从自身需求看，“空中飞人”型消费者，如通勤、异地恋、探亲党以及有时间高频出去玩的，可选择海航和山航的产品，这两家航企推出的“随心飞”都不限乘坐次数，飞得越多越划算。旅客可以根据自己的目的地选择航线覆盖上比较适合的产品。其中，海航集团的“随心飞”适用于旗下12家航企，航线覆盖比较全，有效期也长；山航则在厦门等地没有基地，以这些城市为进出港的航线比较丰富。其他航企此次上线的“随心飞”多为次卡型产品，适合规划1次或若干次旅行的消费者。比如，红土航空、瑞丽航空等航企，其支线网络覆盖性较好，适合相关区域旅客乘坐。
从季节性热点看，海南和东北是秋冬季旅游市场的两大热门目的地区域，有前往这两地旅游计划的消费者，可重点关注一下有相关航线的“随心飞”产品。同时，华东、云南也是常年不落伍的热门旅游目的地，秋冬季前往这些地区的机票依然抢手。
“南方+”认为，对于异地团聚、探亲群体和退休群体来说，“随心飞”无疑是很好的能满足需求的产品。但对于上班族来说，还需要结合出行计划进行妥善规划，一旦遇上热门节假日需要提前订票，意味着用掉了机票预订的额度，前面的时间不能再“随心飞”。文章同时提醒消费者，在冲动“剁手”前，还要了解清楚各个航企产品的有效期、预订规则和失效机制，以免入坑。因为即使价格很低，“随心飞”也不是任何人都适合购买的。对在有效期限内无法随时出发旅行的消费者来说，折扣经济舱已经足够划算，与其为不确定的行程买单，不如将钱花在刀刃上，建议消费者结合自己的实际情况作出判断。（《中国民航报》、中国民航网 记者张丰蘩）
在疫情阴霾笼罩下的特殊之年，今年的“双十一”比往年来得更早，战火提前到了10月底，各家航空公司也摩拳擦掌欲一决高下。
10月21日零时开始，包括“随心飞”阵营在内的诸多产品在淘宝、支付宝等平台上同时开售，共涉及11家国内航空公司的1000多条航线。10月26日，东航宣布“随心飞”产品返场，正式在其App上发售“周末随心飞”（2021版），高调挤入“双十一”促销战局。在出行市场快速恢复的情况下，各航企此次扎堆推出升级版“随心飞”产品，无疑成为大家抄底的最好时机。
开抢：
多家航空公司“随心飞”产品上线
今年初以来，“打折”成了今年航空市场上的“热词”，从各种前所未有的低价国内机票，到各家航企推陈出新的“随心飞”产品，航空公司纷纷自救，在重视不同旅客特定需求的同时，通过精细化管理细化产品定位，开拓出不少新产品。日前，“双十一”预售中的升级版“随心飞”产品就受到各大媒体的广泛关注。
据《电商报》消息，海航集团旗下12家航空公司加入了“双十一”预售“随心飞”的行列，其相关产品售价4999元。购买者可在有效期内无限次乘坐这12家航空公司实际承运的国内航线，有效期至明年6月底，不限周末和工作日使用。10月21日预售开始后，海南“随心飞”产品两小时购买人数能装满近百架飞机，单场直播卖出8000万元。
同样是21日零时开始首发上线的山东航空“魔毯2.0“也遇上了首批库存迅速售罄的场面，不得不紧急补充库存满足消费者高涨的需求。“魔毯2.0”是单程次数不限次的升级版“随心飞”，适用于山东航空实际承运的所有国内航线，售价2999元。深航则推出了深情飞湾区畅游卡。此次发售时间为10月21日~11月11日，不同档畅游卡对应的航线略有不同，售价为999元~1599元，覆盖了深圳航空所有大湾区始发且实际承运的往返或缺口航班航线。此外，在华东地区有航线优势的吉祥航空也上线了快乐套票，并带来了针为济舱和公务舱旅客分别量身打造的两款产品，供不同消费群体选择，而且没有使用限制日期，可在有效期内的任意时间使用。
值得一提的是，机票销售也极大带动了酒店等其他旅游产品的销量。除机票产品外，“双十一”预售第一天的各类旅游产品都表现不俗。数据显示，即将迎来旺季的长白山，景区三大主打酒店开售两小时就被疯抢3万多件，成交突破1亿元。多家五星级酒店提供的各类套餐产品，开售半天卖出超过12万件。
紧接着，10月26日，东航的2021版“周末随心飞”在其App上线，限量发售。这款产品还推出了支持儿童使用、支持付费升舱等多项升级服务，有效期180天，最长可跨年使用至明年6月。据悉，东航2021版“周末随心飞”售价3666元，开放中国居民身份证持有者和企事业单位实名购买，产品覆盖的航班日期范围为2020年10月31日~2021年6月27日（春运期间的2021年1月27日~2月28日除外），购买该产品的用户，在首次兑换后180天内，可不限次数乘坐周六、周日的东航、上航国内航班经济舱（港澳台航线除外）。
优化：
“随心飞”产品全面升级
由于疫情的影响，今年“双十一”旅游促销的活动形式以及产品结构较往年有很大不同。就产品结构而言，国际航线相关产品纷纷“缺席”今年的“双十一”大促，畅游全国的升级版“随心飞”成为主流。《电商报》指出，“基于上半年第一代‘随心飞’产品的运作经验，本次‘双十一’期间，各家航空公司推出的‘随心飞’产品，在使用范围、有效时长、覆盖航线上均进行了全面优化”。
《华夏时报》也持有相同观点。该报的一篇文章指出，随着国内疫情防控情况改善，社会生产生活秩序逐渐恢复，民航旅客运输量以及国内航线数量都已经恢复到几乎和去年同期相当的水平，票价同样开始回归常态。在这样的形势下，“随心飞”类产品显然对消费者更具吸引力。而经历了此前一轮的试水之后，航空公司在这类产品的设计以及营销方面积累了较多经验，产品服务也更加完备。
南方报业传媒集团新闻客户端“南方+”指出，在此次预售的“随心飞”产品中，各家航企在出行全链条服务上也做得更加完善。如深圳航空的湾区畅游卡，持有者不但可乘坐深圳进出港的深航航班，还可获得高达800元的接送机、酒店、用车及门票大额红包；为满足不同客群的需求，四川航空推出了空中公务舱产品；在区域航线上更具优势的红土航空和瑞丽航空，则带来了下沉至三四线城市的产品，让小城出行更便捷。
另外，各款产品的使用时间有所不同。不限次数的产品（海航集团、山东航空），覆盖时间大多从11月起至明年上半年，但将春运时段排除在外；四川航空公务舱套票、红土航空10次飞行套票、瑞丽航空4次飞行套票、深航一套往返套票则根据航线或次数进行灵活定价，覆盖总时长为2个月~3个月。
攻略：
根据自身需求选择和季节性热点选择更完美
航空界的“双十一”产品到底应该怎么买呢？相信面对琳琅满目的各类产品，很多都挑花了眼。实际上，在经历了疫情期的需求低迷后，近半年来，国内机票的预订量和平均票价持续攀升。据某OTA（在线旅行社旅游互联网）数据，10月的平均票价比5月高出27%。业内人士分析认为，“随心飞”产品有效刺激了出行需求，对提升航空公司上座率和运效比有显著的拉动作用。在上半年第一代“随心飞”的基础上，升级版“随心飞”的推出，让消费者的权益保障和自由度更高。
对此，不少媒体纷纷为旅客支招。《羊城晚报》“支招攻略”建议旅客根据自身需求和季节性热门航线进行选择。
从自身需求看，“空中飞人”型消费者，如通勤、异地恋、探亲党以及有时间高频出去玩的，可选择海航和山航的产品，这两家航企推出的“随心飞”都不限乘坐次数，飞得越多越划算。旅客可以根据自己的目的地选择航线覆盖上比较适合的产品。其中，海航集团的“随心飞”适用于旗下12家航企，航线覆盖比较全，有效期也长；山航则在厦门等地没有基地，以这些城市为进出港的航线比较丰富。其他航企此次上线的“随心飞”多为次卡型产品，适合规划1次或若干次旅行的消费者。比如，红土航空、瑞丽航空等航企，其支线网络覆盖性较好，适合相关区域旅客乘坐。
从季节性热点看，海南和东北是秋冬季旅游市场的两大热门目的地区域，有前往这两地旅游计划的消费者，可重点关注一下有相关航线的“随心飞”产品。同时，华东、云南也是常年不落伍的热门旅游目的地，秋冬季前往这些地区的机票依然抢手。
“南方+”认为，对于异地团聚、探亲群体和退休群体来说，“随心飞”无疑是很好的能满足需求的产品。但对于上班族来说，还需要结合出行计划进行妥善规划，一旦遇上热门节假日需要提前订票，意味着用掉了机票预订的额度，前面的时间不能再“随心飞”。文章同时提醒消费者，在冲动“剁手”前，还要了解清楚各个航企产品的有效期、预订规则和失效机制，以免入坑。因为即使价格很低，“随心飞”也不是任何人都适合购买的。对在有效期限内无法随时出发旅行的消费者来说，折扣经济舱已经足够划算，与其为不确定的行程买单，不如将钱花在刀刃上，建议消费者结合自己的实际情况作出判断。（《中国民航报》、中国民航网 记者张丰蘩）
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