【湖北黄冈：从“面子”美到“里子”美 】
改造老旧小区、升级集贸市场、整治背街小巷，提升城市品质；礼让斑马线、拒绝车窗抛物、文明如厕，共享美好生活。黄冈2017年启动全国文明城市创建以来，城市“面子”日日新，惠民“里子”实打实。近日，该市成功入选2021—2023年创建周期全国文明城市提名城市，这意味着黄冈拿到创建全国文明城市的“入场券”。
从群众最盼处提升城市功能
刷黑小区道路、增加停车位、安装监控系统、改造健身小广场，短短几个月，曾经“脏乱差”的东门小区，升级成为“别人家的小区”。
1988年建成的东门小区，有9栋楼248户居民，是黄冈市区最早的小区。“下水管道老化，一到雨季就涝，小区环境脏乱。”在这里居住25年的程慧萍说。
创建文明城市，从群众最期盼、最迫切的事情抓起。2020年疫情之后，东门小区纳入黄冈市区改造的153个老旧小区之一，投资200多万元，不到半年，小区彻底变样。赤壁街道办事处主任郭薇介绍，这轮改造有1.3万户居民受益。
变化的不仅仅是老旧小区。
龙王山集贸市场建于上世纪八十年代，去年改造升级后，群众给出这样的评价：“手机一扫，商品来源一目了然，跟在超市一样，买得放心。”
2020年，黄冈市区12个集贸市场全部完成升级改造，可实现肉禽来源追溯、智能监控、电子化结算等。
市委文明办主任游伟说，文明城市创建过程中，黄冈注重提升城市功能、改善人居环境，一年一批项目稳步推进。仅2020年，该市投入1.46亿元，谋划80个项目，解决如厕难、停车难、行路难等事关群众切身利益的问题。

从细微处改善城市文明“里子”
不久前，执勤交警闵鸿飞拍下这样一段视频：七一商场斑马线前，两名行人想要穿过马路。15米开外，驾车者放慢速度，稳稳停在斑马线前，用手示意行人快速通过。
这是黄冈市区人流车流最密集的斑马线之一，此前这里车不让人的现象非常突出。去年6月，黄冈启动“文明驾驶、礼让斑马线”文明实践活动。闵鸿飞说，半年时间，90%以上车辆做到“斑马线前车让人”。
“后退几步，红灯了过不去；快走几步，马上红灯了。”赤壁大道和新港大道交汇处，每到下班高峰期，志愿者童云霞时常出现，她头戴小红帽、身着红马甲，在斑马线一侧，引导行人文明过马路。
文明一小步，安全一大步。这种人车和谐共处的温馨画面，越来越多的出现在黄冈市区。
黄冈将文明城市创建工作抓细落小，先后开展“文明共享单车”“拒绝车窗抛物”“文明观影”“文明如厕”等系列活动，让老百姓成为创建全国文明城市最广泛的参与者，从自己做起，从小事做起。
“如厕冲水、厕纸入篓，这些不起眼的小事，现在越来越多的人注意。”每天清扫栖霞路公厕，环卫工人邹小容对这种变化感受很深。
6万志愿者温暖一座城
在铝业小区，居民们常常看到这一幕：一名中年妇女搀扶着一位失明的老人遛弯。中年妇女叫吴桂芬，是铝业社区文明实践站志愿服务队队长。得知独居老人陈婆婆失明后心情烦躁，她敲开了老人的家门，陪陈婆婆聊天，“我就是你的眼。走，我扶您下楼逛逛。”
有需要的地方，就有“红马甲”。黄冈市通过新时代文明实践中心信息平台，引导实名注册志愿者6.3万多人、志愿服务队1300多支，为群众提供“点单式”服务。
居民小区是城市最基本单元。长期以来，由于基层力量欠缺，一些老旧小区基本处于“谁也没管、谁也不管、谁也难管”的境地。去年，近1万名市区下沉党员干部，组成894个小区党员志愿服务先锋队，参与到小区各项服务中。
印染社区新时代文明实践站社工石晶说，群众遇到麻烦事，手机上动动手指，上新时代文明实践中心信息平台“点单”，中心会安排相应专业背景的志愿者“接单”，精准对接。
在创建全国文明城市过程中，不断涌现的志愿者成了黄冈流动的风景线。在二机社区，66岁的退休教师李瑞兰，办起免费教老人识字的“夕阳红课堂”；在体育路社区，黄冈剪纸非遗传承人芦华，成立“快乐剪纸工作室”，免费教居民剪纸；在四海社区，老干部、老模范、老教师、老党员、老医生组成“五老领跑公益联盟理事会”，建立居民自助互助机制，志愿队从最初的15人发展到如今120人，越来越多的青年志愿者加入理事会。 https://t.cn/A65e81wL
改造老旧小区、升级集贸市场、整治背街小巷，提升城市品质；礼让斑马线、拒绝车窗抛物、文明如厕，共享美好生活。黄冈2017年启动全国文明城市创建以来，城市“面子”日日新，惠民“里子”实打实。近日，该市成功入选2021—2023年创建周期全国文明城市提名城市，这意味着黄冈拿到创建全国文明城市的“入场券”。
从群众最盼处提升城市功能
刷黑小区道路、增加停车位、安装监控系统、改造健身小广场，短短几个月，曾经“脏乱差”的东门小区，升级成为“别人家的小区”。
1988年建成的东门小区，有9栋楼248户居民，是黄冈市区最早的小区。“下水管道老化，一到雨季就涝，小区环境脏乱。”在这里居住25年的程慧萍说。
创建文明城市，从群众最期盼、最迫切的事情抓起。2020年疫情之后，东门小区纳入黄冈市区改造的153个老旧小区之一，投资200多万元，不到半年，小区彻底变样。赤壁街道办事处主任郭薇介绍，这轮改造有1.3万户居民受益。
变化的不仅仅是老旧小区。
龙王山集贸市场建于上世纪八十年代，去年改造升级后，群众给出这样的评价：“手机一扫，商品来源一目了然，跟在超市一样，买得放心。”
2020年，黄冈市区12个集贸市场全部完成升级改造，可实现肉禽来源追溯、智能监控、电子化结算等。
市委文明办主任游伟说，文明城市创建过程中，黄冈注重提升城市功能、改善人居环境，一年一批项目稳步推进。仅2020年，该市投入1.46亿元，谋划80个项目，解决如厕难、停车难、行路难等事关群众切身利益的问题。

从细微处改善城市文明“里子”
不久前，执勤交警闵鸿飞拍下这样一段视频：七一商场斑马线前，两名行人想要穿过马路。15米开外，驾车者放慢速度，稳稳停在斑马线前，用手示意行人快速通过。
这是黄冈市区人流车流最密集的斑马线之一，此前这里车不让人的现象非常突出。去年6月，黄冈启动“文明驾驶、礼让斑马线”文明实践活动。闵鸿飞说，半年时间，90%以上车辆做到“斑马线前车让人”。
“后退几步，红灯了过不去；快走几步，马上红灯了。”赤壁大道和新港大道交汇处，每到下班高峰期，志愿者童云霞时常出现，她头戴小红帽、身着红马甲，在斑马线一侧，引导行人文明过马路。
文明一小步，安全一大步。这种人车和谐共处的温馨画面，越来越多的出现在黄冈市区。
黄冈将文明城市创建工作抓细落小，先后开展“文明共享单车”“拒绝车窗抛物”“文明观影”“文明如厕”等系列活动，让老百姓成为创建全国文明城市最广泛的参与者，从自己做起，从小事做起。
“如厕冲水、厕纸入篓，这些不起眼的小事，现在越来越多的人注意。”每天清扫栖霞路公厕，环卫工人邹小容对这种变化感受很深。
6万志愿者温暖一座城
在铝业小区，居民们常常看到这一幕：一名中年妇女搀扶着一位失明的老人遛弯。中年妇女叫吴桂芬，是铝业社区文明实践站志愿服务队队长。得知独居老人陈婆婆失明后心情烦躁，她敲开了老人的家门，陪陈婆婆聊天，“我就是你的眼。走，我扶您下楼逛逛。”
有需要的地方，就有“红马甲”。黄冈市通过新时代文明实践中心信息平台，引导实名注册志愿者6.3万多人、志愿服务队1300多支，为群众提供“点单式”服务。
居民小区是城市最基本单元。长期以来，由于基层力量欠缺，一些老旧小区基本处于“谁也没管、谁也不管、谁也难管”的境地。去年，近1万名市区下沉党员干部，组成894个小区党员志愿服务先锋队，参与到小区各项服务中。
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在创建全国文明城市过程中，不断涌现的志愿者成了黄冈流动的风景线。在二机社区，66岁的退休教师李瑞兰，办起免费教老人识字的“夕阳红课堂”；在体育路社区，黄冈剪纸非遗传承人芦华，成立“快乐剪纸工作室”，免费教居民剪纸；在四海社区，老干部、老模范、老教师、老党员、老医生组成“五老领跑公益联盟理事会”，建立居民自助互助机制，志愿队从最初的15人发展到如今120人，越来越多的青年志愿者加入理事会。 https://t.cn/A65e81wL
小米空气净化器怎么样？小米3、X、PRO、2S等6款空气净化器性能比
小米空气净化器一直以极高的性价比出名，为了方便需要的人士，特地整理了小米常见的几个型号的空气净化器，希望能带来一点参考！
一、小米品牌介绍
北京小米科技有限责任公司成立于2010年，有雷军带领六位联合创始人共同创立的，其主张“为发烧而生”的理念，以低价格高配置著称，其主要的生产研发领域是智能手机。相信大家对这个家喻户晓的品牌一定都不陌生，一定有很多很多人用过小米的手机。此外，小米公司积极开拓智能家具、互联网电视、电脑、运动配件等领域，无一不以其超高的颜值和超强的性价比，深受广大消费者的青睐。
小米空气净化器沿用了小米智能家具产品一贯的设计风格，白色的外观显得非常干净整洁，在净化器顶部一个按钮控制，同时还有OLED显示屏显示PM2.5数值，同时可以通过米家APP进行绑定，达到智能控制和智能联动。在价格方面，小米空气净化器依然定位为打破行业低价的价格，一千元左右就可以买台净化器回家，其净化能力并不比国外大几千的差太多。
二、六款畅销的小米空气净化器性能对比
整理了在某东上比较畅销的六款小米空气净化器参数，并按价格由高到低进行了排序和对比，参考下表！
6款小米空气净化器性能一览
1、两千元左右：小米MAX增强版和小米X
米家 小米空气净化器MAX增强版 家用大空间 除甲醛病毒
米家 小米空气净化器X 家用除甲醛除菌除烟味 静音设计
点评：小米真的是性价比超高，超级良心的产品，对于国外和某些国内大品牌2000元左右只是其下的低端产品，对于小米而言，可以说是其空气净化器中的高端品牌，但是价格低并不是以为着产品品质不好，小米这个价位的产品完全可以媲美国外大几千的产品性能。
对于这两款而言，价位差不太多，仅差200元，性能还是有一些差别的。
除了甲醛CCM都是F4，污染物净化效能都是高效级，滤网等级都是最高的H13级，最低噪音基本相同外，两者其他参数不同。二者虽然都是大平米净化器，但前者使用面积更大，颗粒物CARD和甲醛CARD指数更高；前者颗粒物CCM效能不如后者高，此外前者更加笨重，不易移动。
这两款推荐前者小米MAX增强版，虽然价格稍微高了一点，但是净化速度更快、净化效果更好。
2、价格一千到两千之间：小米Pro H和小米Pro
小米 米家净化器pro H米家空气净化器 卧室静音家用app
米家 小米空气净化器Pro 家用除甲醛除菌除异味烟味 静
点评：相信大家有产品名字就能看出，小米Pro H是小米Pro的升级版，二者价位相差400元，但是在净化效率上却有了很多的提升。二者在污染物净化效能、噪音范围和额定功率方面基本相同。
不同的是前者的适用面积更大；前者颗粒物和甲醛CCM的等级更高，分别都高出了一个等级，前者为P4/F4,后者为P3/F3；前者颗粒物CARD和甲醛CARD也提高了不少，如颗粒物CARD前者比后者提高了100，甲醛CARD前者更是后者的三倍多；前者的过滤网等级更高。
因此，推荐前者小米ProH，虽然价格稍高，但是性能明显提高很多，相对来说，性价比更高。
3、一千元以下：小米3和小米2S
米家 小米空气净化器3 家用除甲醛除病毒异味二手烟 静
小米（MI）空气净化器2代2S家用除甲醛智能除灰尘雾霾
点评：这个价位的空气净化器真的可以说是打破行业低价，很多人会有疑问，这个价位的净化器真的能够净化空气吗？效果好吗？对比了一下这两款产品和其他品牌的产品参数，答案是肯定的，并且净化能力并不差太多，几百块钱就能买到一台不错的空气净化器，真的是良心产品，这也是小米产品受欢迎的主要原因吧。
这两款CCM都是P3/F3级，污染物净化效率都是高效级，噪音、功率和滤网等级也相同，不同的是 前者适用面积更大、颗粒物和甲醛CARD更高。
这两款可以说是盲选都不会错的产品，在京东的评价条数上百万之多，且好评率超99%。
三、小米净化器选购建议
通过以上的参数对比，相信大家对空气净化器的各方面参数都有了一定的认识，不难看书空气净化器的核心参数就是CCM、CRAD、净化效率等。这些参数越高，说明净化效果越好，大家在选购的时候可以着重参考。同时，在选购净化器是要根据自身需求，选择适合的即可。
1、租房和卧室等小面积使用。一般租房的面积就是一个卧室的面积，在15平米左右，选择千元以下的净化器即可，如果选择适用面积过大的净化器不免有些浪费。
2、客厅使用。客厅是一家人活动的主要空间，面积也较大，所以一定要选择适用面积大的净化器，如小米Pro H和小米Pro。
3、办公或者商用。此类使用面积过大，可以根据需要具体适用情况，选择使用面积超大的小米MAX增强版和小米X，也可以选择使用面积较小的多采购几台，分别的不同的空间使用。 #小米空气净化器#
小米空气净化器一直以极高的性价比出名，为了方便需要的人士，特地整理了小米常见的几个型号的空气净化器，希望能带来一点参考！
一、小米品牌介绍
北京小米科技有限责任公司成立于2010年，有雷军带领六位联合创始人共同创立的，其主张“为发烧而生”的理念，以低价格高配置著称，其主要的生产研发领域是智能手机。相信大家对这个家喻户晓的品牌一定都不陌生，一定有很多很多人用过小米的手机。此外，小米公司积极开拓智能家具、互联网电视、电脑、运动配件等领域，无一不以其超高的颜值和超强的性价比，深受广大消费者的青睐。
小米空气净化器沿用了小米智能家具产品一贯的设计风格，白色的外观显得非常干净整洁，在净化器顶部一个按钮控制，同时还有OLED显示屏显示PM2.5数值，同时可以通过米家APP进行绑定，达到智能控制和智能联动。在价格方面，小米空气净化器依然定位为打破行业低价的价格，一千元左右就可以买台净化器回家，其净化能力并不比国外大几千的差太多。
二、六款畅销的小米空气净化器性能对比
整理了在某东上比较畅销的六款小米空气净化器参数，并按价格由高到低进行了排序和对比，参考下表！
6款小米空气净化器性能一览
1、两千元左右：小米MAX增强版和小米X
米家 小米空气净化器MAX增强版 家用大空间 除甲醛病毒
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点评：小米真的是性价比超高，超级良心的产品，对于国外和某些国内大品牌2000元左右只是其下的低端产品，对于小米而言，可以说是其空气净化器中的高端品牌，但是价格低并不是以为着产品品质不好，小米这个价位的产品完全可以媲美国外大几千的产品性能。
对于这两款而言，价位差不太多，仅差200元，性能还是有一些差别的。
除了甲醛CCM都是F4，污染物净化效能都是高效级，滤网等级都是最高的H13级，最低噪音基本相同外，两者其他参数不同。二者虽然都是大平米净化器，但前者使用面积更大，颗粒物CARD和甲醛CARD指数更高；前者颗粒物CCM效能不如后者高，此外前者更加笨重，不易移动。
这两款推荐前者小米MAX增强版，虽然价格稍微高了一点，但是净化速度更快、净化效果更好。
2、价格一千到两千之间：小米Pro H和小米Pro
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点评：相信大家有产品名字就能看出，小米Pro H是小米Pro的升级版，二者价位相差400元，但是在净化效率上却有了很多的提升。二者在污染物净化效能、噪音范围和额定功率方面基本相同。
不同的是前者的适用面积更大；前者颗粒物和甲醛CCM的等级更高，分别都高出了一个等级，前者为P4/F4,后者为P3/F3；前者颗粒物CARD和甲醛CARD也提高了不少，如颗粒物CARD前者比后者提高了100，甲醛CARD前者更是后者的三倍多；前者的过滤网等级更高。
因此，推荐前者小米ProH，虽然价格稍高，但是性能明显提高很多，相对来说，性价比更高。
3、一千元以下：小米3和小米2S
米家 小米空气净化器3 家用除甲醛除病毒异味二手烟 静
小米（MI）空气净化器2代2S家用除甲醛智能除灰尘雾霾
点评：这个价位的空气净化器真的可以说是打破行业低价，很多人会有疑问，这个价位的净化器真的能够净化空气吗？效果好吗？对比了一下这两款产品和其他品牌的产品参数，答案是肯定的，并且净化能力并不差太多，几百块钱就能买到一台不错的空气净化器，真的是良心产品，这也是小米产品受欢迎的主要原因吧。
这两款CCM都是P3/F3级，污染物净化效率都是高效级，噪音、功率和滤网等级也相同，不同的是 前者适用面积更大、颗粒物和甲醛CARD更高。
这两款可以说是盲选都不会错的产品，在京东的评价条数上百万之多，且好评率超99%。
三、小米净化器选购建议
通过以上的参数对比，相信大家对空气净化器的各方面参数都有了一定的认识，不难看书空气净化器的核心参数就是CCM、CRAD、净化效率等。这些参数越高，说明净化效果越好，大家在选购的时候可以着重参考。同时，在选购净化器是要根据自身需求，选择适合的即可。
1、租房和卧室等小面积使用。一般租房的面积就是一个卧室的面积，在15平米左右，选择千元以下的净化器即可，如果选择适用面积过大的净化器不免有些浪费。
2、客厅使用。客厅是一家人活动的主要空间，面积也较大，所以一定要选择适用面积大的净化器，如小米Pro H和小米Pro。
3、办公或者商用。此类使用面积过大，可以根据需要具体适用情况，选择使用面积超大的小米MAX增强版和小米X，也可以选择使用面积较小的多采购几台，分别的不同的空间使用。 #小米空气净化器#
—— 皮亚诺公理
在我们看来，1 + 1 = 2，这是常识，不需要证明。一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。一个人和另一个人在一起，那就是两个人。但是，数学家们并不满足于常识，他们喜欢把数学建立在一个严密的逻辑系统之上。比如像平面几何学，就是建立在欧几里得的五个几何公理之上的。所以数学家们也想要构造出一个公理系统，来证明1 + 1 = 2。关于自然数的加减乘除这四则运算，意大利数学家朱塞佩٠皮亚诺建构的公理系统最为出名。
在数学中，公理系统是任何一组公理，其中一些或所有的公理可以结合使用，以逻辑推导出定理。这样就可以构成一个一致的、相对独立的、在逻辑上“可以自圆其说”的系统。这样的系统通常包含一个公理系统及其所有派生的定理。
我们先说说什么是自然数。自然数是全体非负数整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。自然数通过加和乘得到的依然是自然数，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
1860年代德国数学家赫尔曼٠格拉斯曼指出，算术中的许多事实都可以从有关后继运算和归纳的更基本事实中得出，这让人们意识到对形式化进行正规化的需要。1881年，美国数学家查尔斯٠桑德斯٠皮尔斯提出了自然数算法的公理化处理。1888年，德国数学家理查德٠戴德金提出了自然数算术的另一种公理化方法。1889年，在戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统。皮亚诺的公理系统最为著名。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的叙述如下：0是自然数；每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；对于每个自然数b、c，b = c当且仅当b的后继数 = c的后继数；0不是任何自然数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。
有了皮亚诺的这五条公理，我们就可以定义自然数的加法和乘法运算了。加法运算“+”定义为a + 0 = a；a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后继者。如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0;a × S（b） = a × b + a。
进一步我们还可以证明自然数的有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，… 这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
另外自然数的无限性是说，自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。对于无限集合来说，“元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如：
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。德国大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
进一步，我们可以证明自然数的传递性。设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1 > n2，n2 > n3，那么 n1 > n3。当然，我们还可以证明自然数的三岐性。对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1 > n2，n1 = n2或n1 < n2。
最小数原理说的是，自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。满足公理3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不满足公理5，例如所有形如nm（m > n，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。
满足公理5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然满足公理3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。
这些似乎有点枯燥但不难理解。让我们回到开始谈到的证明1 + 1 = 2的问题。有了皮亚诺公理和对加法的定义，证明就变得十分简单。现在，让我们先来用第一条公理。假设a就是1，那么1 + 1 = 1’。1’只要被称之为2，那么就可以得出1 + 1 = 2了。是不是很简单？
同理，我们还可以证明1 + 2 = 3。考虑第二条公理，假定b就是1，a也是1，那么1’+ 1 =（1 + 1）’。1 + 1是什么东西？它就是2，同时也就是1’。所以，2 + 1 =（2）’=（1’）’。
顺便提一下，2 + 1其实也等于1 + 2。而只要我们把2’，也即是1’’，称之为3。那么我们就可以证明1 + 2 =（2）’=（1’）’= 1’’= 3了。同理，我们还可以证明235 + 234 = 469，只是会很长而已。当然可以编一个小程序，让计算机帮到我们。
现在我们知道了，原来关于自然数和它们的运算居然隐藏着这么多的学问呀。不过，也许有人会说，这不就是一种符号游戏嘛。没错！这的确是一场数学符号化的“游戏”，被称为数学逻辑。它包括研究形式系统的表现力和形式证明系统的演绎力。由于担心数学没有建立在适当的基础上，导致数学基础领域的公理系统的发展，如算术、分析和几何学，探索形式逻辑在数学中的应用。在20世纪初，当时的数学泰斗希尔伯特更是制定了一个雄心勃勃的计划，来证明数学基础理论的一致性。德国数学大师哥得尔、德国数学家格哈德٠根岑等人的研究为该计划提供了部分的解决方案，并澄清了证明一致性所涉及的问题。集合论的研究表明，几乎所有的普通数学都可以在集合论下进行形式化，尽管有一些定理不能在集合论的共公理系统中得到证实。今天，数学基础的研究更侧重于确定数学的哪些部分可以在特定的正式系统中进行形式化，而不是试图找到可以发展所有数学的理论。
当皮亚诺首次提出公理时，英国逻辑大师罗素等人认为这些公理隐含地定义了我们所说的自然数。法国数学家庞加莱则谨慎地称，它们只有在一致时才定义自然数。如果有一个证明仅从这些公理开始，并得出诸如0 = 1之类的矛盾，则该公理是不一致的，并且不做任何定义。1900年，希尔伯特提出了仅使用有限论方法证明其一致性的问题，这是他著名的23个数学问题中的第二个。1931年，哥德尔证明了他的第二个不完全性定理，表明该一致性证明不能在皮亚诺算术本身中形式化。1936年，格哈德٠根岑通过称为ε0的序数的超限归纳法，证明了皮亚诺公理的一致性。根岑解释说：我的目的就“是证明基本数论的一致性，或者是将一致性问题简化为某些基本原理。” 根岑的证明可以说是有限论的。
绝大多数当代数学家都认为，皮亚诺的公理是一致的，它依赖于直觉或接受一致性证明（例如根岑的证明）。少数哲学家和数学家拒绝皮亚诺公理，因为其中一些人主张极致主义，因为接受公理就等于接受了无穷的自然数集合。
在我们看来，1 + 1 = 2，这是常识，不需要证明。一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。一个人和另一个人在一起，那就是两个人。但是，数学家们并不满足于常识，他们喜欢把数学建立在一个严密的逻辑系统之上。比如像平面几何学，就是建立在欧几里得的五个几何公理之上的。所以数学家们也想要构造出一个公理系统，来证明1 + 1 = 2。关于自然数的加减乘除这四则运算，意大利数学家朱塞佩٠皮亚诺建构的公理系统最为出名。
在数学中，公理系统是任何一组公理，其中一些或所有的公理可以结合使用，以逻辑推导出定理。这样就可以构成一个一致的、相对独立的、在逻辑上“可以自圆其说”的系统。这样的系统通常包含一个公理系统及其所有派生的定理。
我们先说说什么是自然数。自然数是全体非负数整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。自然数通过加和乘得到的依然是自然数，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
1860年代德国数学家赫尔曼٠格拉斯曼指出，算术中的许多事实都可以从有关后继运算和归纳的更基本事实中得出，这让人们意识到对形式化进行正规化的需要。1881年，美国数学家查尔斯٠桑德斯٠皮尔斯提出了自然数算法的公理化处理。1888年，德国数学家理查德٠戴德金提出了自然数算术的另一种公理化方法。1889年，在戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统。皮亚诺的公理系统最为著名。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的叙述如下：0是自然数；每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；对于每个自然数b、c，b = c当且仅当b的后继数 = c的后继数；0不是任何自然数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。
有了皮亚诺的这五条公理，我们就可以定义自然数的加法和乘法运算了。加法运算“+”定义为a + 0 = a；a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后继者。如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0;a × S（b） = a × b + a。
进一步我们还可以证明自然数的有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，… 这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
另外自然数的无限性是说，自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。对于无限集合来说，“元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如：
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。德国大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
进一步，我们可以证明自然数的传递性。设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1 > n2，n2 > n3，那么 n1 > n3。当然，我们还可以证明自然数的三岐性。对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1 > n2，n1 = n2或n1 < n2。
最小数原理说的是，自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。满足公理3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不满足公理5，例如所有形如nm（m > n，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。
满足公理5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然满足公理3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。
这些似乎有点枯燥但不难理解。让我们回到开始谈到的证明1 + 1 = 2的问题。有了皮亚诺公理和对加法的定义，证明就变得十分简单。现在，让我们先来用第一条公理。假设a就是1，那么1 + 1 = 1’。1’只要被称之为2，那么就可以得出1 + 1 = 2了。是不是很简单？
同理，我们还可以证明1 + 2 = 3。考虑第二条公理，假定b就是1，a也是1，那么1’+ 1 =（1 + 1）’。1 + 1是什么东西？它就是2，同时也就是1’。所以，2 + 1 =（2）’=（1’）’。
顺便提一下，2 + 1其实也等于1 + 2。而只要我们把2’，也即是1’’，称之为3。那么我们就可以证明1 + 2 =（2）’=（1’）’= 1’’= 3了。同理，我们还可以证明235 + 234 = 469，只是会很长而已。当然可以编一个小程序，让计算机帮到我们。
现在我们知道了，原来关于自然数和它们的运算居然隐藏着这么多的学问呀。不过，也许有人会说，这不就是一种符号游戏嘛。没错！这的确是一场数学符号化的“游戏”，被称为数学逻辑。它包括研究形式系统的表现力和形式证明系统的演绎力。由于担心数学没有建立在适当的基础上，导致数学基础领域的公理系统的发展，如算术、分析和几何学，探索形式逻辑在数学中的应用。在20世纪初，当时的数学泰斗希尔伯特更是制定了一个雄心勃勃的计划，来证明数学基础理论的一致性。德国数学大师哥得尔、德国数学家格哈德٠根岑等人的研究为该计划提供了部分的解决方案，并澄清了证明一致性所涉及的问题。集合论的研究表明，几乎所有的普通数学都可以在集合论下进行形式化，尽管有一些定理不能在集合论的共公理系统中得到证实。今天，数学基础的研究更侧重于确定数学的哪些部分可以在特定的正式系统中进行形式化，而不是试图找到可以发展所有数学的理论。
当皮亚诺首次提出公理时，英国逻辑大师罗素等人认为这些公理隐含地定义了我们所说的自然数。法国数学家庞加莱则谨慎地称，它们只有在一致时才定义自然数。如果有一个证明仅从这些公理开始，并得出诸如0 = 1之类的矛盾，则该公理是不一致的，并且不做任何定义。1900年，希尔伯特提出了仅使用有限论方法证明其一致性的问题，这是他著名的23个数学问题中的第二个。1931年，哥德尔证明了他的第二个不完全性定理，表明该一致性证明不能在皮亚诺算术本身中形式化。1936年，格哈德٠根岑通过称为ε0的序数的超限归纳法，证明了皮亚诺公理的一致性。根岑解释说：我的目的就“是证明基本数论的一致性，或者是将一致性问题简化为某些基本原理。” 根岑的证明可以说是有限论的。
绝大多数当代数学家都认为，皮亚诺的公理是一致的，它依赖于直觉或接受一致性证明（例如根岑的证明）。少数哲学家和数学家拒绝皮亚诺公理，因为其中一些人主张极致主义，因为接受公理就等于接受了无穷的自然数集合。
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