阿赞塔纳空 2567 百料鲁士
一月份拜访阿赞塔纳空时师傅告诉我，自去年11月起他便一直在筹备制作一版材料极为复杂的鲁士法物。现已准备完成，我刚好赶上他压模的日子。听到这个消息我十分开心，此前早就听闻泰国粉质法物的制作过程繁琐，虽说跑庙多年，但还从未亲眼目睹过。
在我到达师傅住所时，他正在研磨法料。寒暄过后师傅见我一直盯着他刚研磨的材料，便为我介绍起来。“这些是老房子神像脱落下来的碎片，那些神像都有些年头了，难免有破损。这可是灵力非常强的法料！”说罢师傅便继续研磨。如往常一样，他依旧坚持手工研磨，这次使用的工具是一套雕有符文的大号石臼，可以说份量不轻。每当新研磨一块碎片时，师傅会先念诵一段经文，见状，我们便没再打扰师傅。
半晌，师傅将碎片研磨完毕后便从法坛里拿出了一个装有粉末的容器，向我们介绍到这些是他已研磨并加持完毕的各种粉料，其中最主要的部分是一种名为“waan lersi sang”的湾料。师傅继续介绍道：在传说中，这种湾料受到过鲁士的祝福，非常适合用于制作鲁士类法物。且材料本身对于整体运势、保护、人缘都有一定助力。除此之外，容器内还放有十余种湾料粉、以um kruem和力南劈为主的十余种圣石粉、以百年庙木和kaenkrem木为主的十余种圣木粉、以黄金花为主的七种湾花粉、象粉套装、以玻陨石和经粉为主的数种阿赞奥特留下的法料、十余种法膏等。师傅一边笑着将刚刚研磨得到的粉末混入容器中，一边耐心地向我们介绍道：“这里面包含的物质太多了，包括刚才的神像碎片也是由许多不同的材料制作，其中也包括一些yin料。这版鲁士所用到的材料有百余种，自己搜集这么多合适的材料并不容易”。见我听的似懂非懂，师傅便从屋内拿出了一些还未研磨的原材料来给我们讲解。讲解内容包括不同湾料的种植和采摘方法，各种圣石的发现地点，阿赞奥特留下的料有什么特殊之处等……师傅这一讲便停不下来了，直到很久后他觉得有些腰疼才回过神来。在简单的休息后师傅便开始为粉末和模具做最后的加持。师傅的模具并不精美，甚至有些粗糙，制作方法也不简单:他会先用木头或者兽骨雕刻一个模板，将模板进行加持后再用橡胶与石膏翻模。许是师傅注意到了我异样的目光，便尴尬的笑道：“年龄大了眼神不好，雕刻的不好看”。我连连表示只是好奇，并没有其他想法。
在正式压模前，师傅又进行了一段祈祷。听助手说这是在向神明说明这版法物的制作数量，师傅的每一版法物在制作前都会先向神明寻求许可。完成祈祷后，师傅便开始制作放在法物背面的塔固，并且还特地取来了剩余的圣石戒面，准备一同放入牌背面。一切准备就绪后，师傅开始了压模制作。压模依旧是纯手工，每一尊在制作时师傅都会持续念诵经文，直至完全脱模。因此即使这版法物只制作了19尊，但累计还是花费了四个多小时才完成，完成后师傅便将模具毁掉了。在19尊牌中，有4尊添加粉的特别版，1尊6符管版，11尊普通版，3尊特殊材料版。
最后，将成品稍作修饰后，师傅便准备将牌带到新神堂中，他嘱咐我吃完饭后尽快过去，之后会在那进行首次加持，还会邀请鲁士神降给予祝福。待我抵达，那里已备好了丰盛的贡品。“一定要备好贡品才能请神，这是对神明的尊重”师傅认真的说道。当天也正逢鲁士娜迦神头的落成法会，于是这批牌的首次加持也就经历了两场仪式。当晚师傅还带着牌到主坛处单独加持，开始前他事先表示会用到一些特殊法门，不方便有人围观，我也就没有打扰。
次日牌已经初步凝固定型，师傅为每一尊都写上了编号。师傅出道数十年，有编号的牌似乎还不到十版，可见他对这期牌的重视程度。师傅表示这期鲁士用料丰富，加持时用到的法门也多，因此较为全能。如是被拥有良好心态且品行端正的人佩戴，在各方面都能带来一定助力。这里的品行端正不代表必须要当一个完美的好人，没有人能做到这一点。但至少按当下的道德标准来看，不应该做太出格的事。
如果佩戴人的品行不端或对zong jiao物品没有正确理解，则不建议恭请。
本次可谓是亲身经历，加上较为了解师傅鲁士类法物的力量，本人当天便将那期所有牌连带模板一同请走。
转眼间三个月已经过去，此版鲁士也于师傅生日法会时正式出庙。在这三个月中，此版鲁士先后经历了四五场小型仪式、两场大型仪式、师傅短期出家时的受戒加持、师傅家乡寺庙中的十余位僧人共同祝福等。力量非常饱满，数量已经不多，有喜欢鲁士法物的朋友不要错过~
【带壳尺寸】（高宽厚）:5.4cm x 5.1cm x 1.8cm
#阿赞塔纳空#
一月份拜访阿赞塔纳空时师傅告诉我，自去年11月起他便一直在筹备制作一版材料极为复杂的鲁士法物。现已准备完成，我刚好赶上他压模的日子。听到这个消息我十分开心，此前早就听闻泰国粉质法物的制作过程繁琐，虽说跑庙多年，但还从未亲眼目睹过。
在我到达师傅住所时，他正在研磨法料。寒暄过后师傅见我一直盯着他刚研磨的材料，便为我介绍起来。“这些是老房子神像脱落下来的碎片，那些神像都有些年头了，难免有破损。这可是灵力非常强的法料！”说罢师傅便继续研磨。如往常一样，他依旧坚持手工研磨，这次使用的工具是一套雕有符文的大号石臼，可以说份量不轻。每当新研磨一块碎片时，师傅会先念诵一段经文，见状，我们便没再打扰师傅。
半晌，师傅将碎片研磨完毕后便从法坛里拿出了一个装有粉末的容器，向我们介绍到这些是他已研磨并加持完毕的各种粉料，其中最主要的部分是一种名为“waan lersi sang”的湾料。师傅继续介绍道：在传说中，这种湾料受到过鲁士的祝福，非常适合用于制作鲁士类法物。且材料本身对于整体运势、保护、人缘都有一定助力。除此之外，容器内还放有十余种湾料粉、以um kruem和力南劈为主的十余种圣石粉、以百年庙木和kaenkrem木为主的十余种圣木粉、以黄金花为主的七种湾花粉、象粉套装、以玻陨石和经粉为主的数种阿赞奥特留下的法料、十余种法膏等。师傅一边笑着将刚刚研磨得到的粉末混入容器中，一边耐心地向我们介绍道：“这里面包含的物质太多了，包括刚才的神像碎片也是由许多不同的材料制作，其中也包括一些yin料。这版鲁士所用到的材料有百余种，自己搜集这么多合适的材料并不容易”。见我听的似懂非懂，师傅便从屋内拿出了一些还未研磨的原材料来给我们讲解。讲解内容包括不同湾料的种植和采摘方法，各种圣石的发现地点，阿赞奥特留下的料有什么特殊之处等……师傅这一讲便停不下来了，直到很久后他觉得有些腰疼才回过神来。在简单的休息后师傅便开始为粉末和模具做最后的加持。师傅的模具并不精美，甚至有些粗糙，制作方法也不简单:他会先用木头或者兽骨雕刻一个模板，将模板进行加持后再用橡胶与石膏翻模。许是师傅注意到了我异样的目光，便尴尬的笑道：“年龄大了眼神不好，雕刻的不好看”。我连连表示只是好奇，并没有其他想法。
在正式压模前，师傅又进行了一段祈祷。听助手说这是在向神明说明这版法物的制作数量，师傅的每一版法物在制作前都会先向神明寻求许可。完成祈祷后，师傅便开始制作放在法物背面的塔固，并且还特地取来了剩余的圣石戒面，准备一同放入牌背面。一切准备就绪后，师傅开始了压模制作。压模依旧是纯手工，每一尊在制作时师傅都会持续念诵经文，直至完全脱模。因此即使这版法物只制作了19尊，但累计还是花费了四个多小时才完成，完成后师傅便将模具毁掉了。在19尊牌中，有4尊添加粉的特别版，1尊6符管版，11尊普通版，3尊特殊材料版。
最后，将成品稍作修饰后，师傅便准备将牌带到新神堂中，他嘱咐我吃完饭后尽快过去，之后会在那进行首次加持，还会邀请鲁士神降给予祝福。待我抵达，那里已备好了丰盛的贡品。“一定要备好贡品才能请神，这是对神明的尊重”师傅认真的说道。当天也正逢鲁士娜迦神头的落成法会，于是这批牌的首次加持也就经历了两场仪式。当晚师傅还带着牌到主坛处单独加持，开始前他事先表示会用到一些特殊法门，不方便有人围观，我也就没有打扰。
次日牌已经初步凝固定型，师傅为每一尊都写上了编号。师傅出道数十年，有编号的牌似乎还不到十版，可见他对这期牌的重视程度。师傅表示这期鲁士用料丰富，加持时用到的法门也多，因此较为全能。如是被拥有良好心态且品行端正的人佩戴，在各方面都能带来一定助力。这里的品行端正不代表必须要当一个完美的好人，没有人能做到这一点。但至少按当下的道德标准来看，不应该做太出格的事。
如果佩戴人的品行不端或对zong jiao物品没有正确理解，则不建议恭请。
本次可谓是亲身经历，加上较为了解师傅鲁士类法物的力量，本人当天便将那期所有牌连带模板一同请走。
转眼间三个月已经过去，此版鲁士也于师傅生日法会时正式出庙。在这三个月中，此版鲁士先后经历了四五场小型仪式、两场大型仪式、师傅短期出家时的受戒加持、师傅家乡寺庙中的十余位僧人共同祝福等。力量非常饱满，数量已经不多，有喜欢鲁士法物的朋友不要错过~
【带壳尺寸】（高宽厚）:5.4cm x 5.1cm x 1.8cm
#阿赞塔纳空#
轉桶，糾錯碼，圖論，梵文詩律和 DNA 測序
這兩天有個人問了我一道離散數學題目，大意是這樣的。假設有一個環形的轉筒，邊上被分成 n 塊，如图1所示，這些小塊上可以放 0 或 1 兩個數字。桶外在三個連續的小塊上接了幾根線可以測出這三個塊裡分別是什麼數字。那麼對於 8 個塊，能否設計一個小塊上的數字順序，讓測得的 8 種可能遍歷 0-7 的二進制位，也就是遍歷 000,001,010,011,100,101,110,111 ?
對於 2^3 的情況很好設計，從右上方開始依次填入 10001011，但對於要讀出 4 個二進制位，也就是填入 2^4=16 個數字的方案則很一下子難想出來，更別說對於 k 個的一般情況了。
那麼怎麼解決這個問題呢？
在解決這個問題之前，這個首尾相接的桶的形狀讓我聯想到一種糾錯碼，即循環碼（cyclic code），這是漢明碼的一種，特點在於一列數字 (a0,a1,....,an) （一般 ai 取 0 或1）如果是合格的碼字，那麼經過輪輪換後也是合格的碼字，即 (an,a0,....,a_{n-1}) 這樣的也是合格的。循環碼的容錯率很好。那麼循環碼是如何工作的，又特別在哪裡？在這裡我們需要先岔開主線看看似乎和這個問題毫無關聯的糾錯碼。
循環碼的原理是這樣的，如果我們將碼字 (a0,a1,....,an) 看成一個多項式的係數，即找到一個多項式 cn = a0+a1x+a2x^2+...+anx^n, 那麼我們認為碼字循環後給出的多項式 cn'= a^n+a0x+...+a_{n-1}x^n 和原多項式 cn 是等價的。這就意味著循環碼對應的多項式構成了一個多項式環 R=GF(2)/(x^n-1), 因為很容易看出等價的多項式之間的等價關係是 cn' = x cn - c_{n-1}(x^n-1), 也即意味著等價關係是模掉多項式 x^n-1。既然如此，我們只需要知道 x^n-1 的全部素因子多項式就可以生成整個循環多項式的多項式環！以 8 個碼位為例，x^7-1 的全部素因子為 x^7-1 = (x+1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)。我們稱這樣的素因子（的乘積）為循環碼的生成多項式。現在我們來看生成多項式是如何構造循環碼的：例如我們選擇 g(x)=x^3+x+1 作為循環碼的生成多項式，現在我們想傳送四位信息，例如 1101（這是碼字）。碼字對應的多項式為 m(x)=x^3+x^2+1, 要構造一個循環碼，需要先將碼字多項式乘以循環碼多項式的最高項次數，再加上模掉生成多項式的餘數多項式。在這個例子中，即 x^3m(x)+x^3m(x)/g(x) = x^6+x^5+x^3+1 ，再轉換成二進制碼字就得到了一個合法的循環碼，這裡就是 11010001。我們可以發現這樣的循環碼做一次輪換後得到的碼字，即 10100011（對應的多項式 x^6+x^4+x+1） 或 11101000（對應的多項式 x^6+x^5+x^4+x^2） 都是合法的碼字（能被生成多項式 g(x) 整除）。這個生成多項式對應的糾錯碼正好是著名的 [7,4] 漢明碼。對於長度微 7 的二進制循環碼，由於 x^7-1 正好有 3 個素因子，因此共有 2^3=8 個生成多項式。
那麼這個循環碼跟我們想要求的桶上的數字列又有什麼關係呢？注意到當 k=3 的時候，我們的數字列正好是 00011101， 這正好對應了之前給出的生成多項式 x^4+x^3+x^2+1 = (x+1)(x^3+x+1)（與此同時仔細觀察，這裡的數字和我們上一段中用的例子得到的碼字結果也是一樣的，這並不完全是巧合）！於是一個自然的想法產生了，會不會能遍歷所有二進制位的轉筒數會在其對應的循環碼的某個生成多項式中出現？於是迅速寫程序驗證 k=4 的情況，並且非常順利得得到了答案 1001101011110000（如图2所示）。查閱相關定理後，我認為這個事情是正確的，即只要找到生成多項式中的遍歷二進製位的那個就可以了，這比起暴力搜尋，在計算復雜度上小了非常非常多的量級。
但是如果我想要給出一個構造性的表達式，應該怎麼做呢？讓我們把視角從糾錯碼轉到另一個數學領域：圖論。如何用圖論解決這個問題？注意到兩個相鄰的二進制數中，例如 011 和 111 中有兩位是重合的，前者的後兩位和後者的前兩位一致，後者的最後一位是 0 或 1 皆可。那麼很自然想到我們可以用一個有向圖來描繪這個問題，其中頂點是不同的二進制數，方向從前指向後，每個頂點發出兩條邊，接收兩條邊。例如三個二進制位的圖如图3所示。那麼我們的問題就變成了求這個有向圖中的一條閉合路徑，這個路徑恰好經過所有頂點！這樣經過所有頂點的路徑在圖論中被稱作哈密頓環，而尋找一個有向圖的哈密頓環在計算機中是可以實現的，例如我們給出的圖中的一個哈密頓環如图4所示。將給出的哈密頓環的頂點鏈接起來我們就得到了正確的序列，例如根據三個二進制位的圖我們可以得到 k=4 的序列。
事情結束了嗎？不，還沒有。雖然我們看上去大幅度化簡了問題，但其實求解一個給定有向圖中的哈密頓環在計算機中是一個 NP hard 的問題（算法複雜度大概是O(2^n*n^2)），而我們還不能對於給定任意的 k, 用簡單的方法給出想要的序列。經過我查閱資料後，發現我們要求的序列是所謂的德佈魯因（De Bruijn）序列的一個特殊情況。n 階德佈魯因序列的定義是，對於給定的有 n 個字母的字母表 A(在我們的情況中，字母表只有 0 和 1 兩個數字)，其子序列中會出現長度為 m 的子序列且只出現一次，這樣的德佈魯因序列被記成 B(n,m)。我們要求的序列就是 B(2,k)。這個德佈魯因序列看上去十分數學，但其實在各個方面都有大用處。實際上，最早的德佈魯因序列出現在梵文詩律中！
事情是這樣的。印度詩歌在賓伽羅（piṅgala, पिङ्गल ）的著作《詩律經》（Chandaḥsūtra，छन्दःसूत्र）後，每個三音節的元音的長短模式都有特定的名字，例如用 y(य) 表示短-長-長的音節，m(म) 表示長-長-長的音節。那麼為了記住這些可能得模式，印度語言學家 Pāṇini(पाणिनि)[1] 發明了一個詞彙：
yamātārājabhānasalagām
यमाताराजभानसलगं
注意到這個單詞裡，所有的三音節的長短模式出現且僅僅出現一次，例如 yamātā(यमाता) 是短-長-長音節模式，mātārā(मातारा) 是長-長-長音節模式等等。這正是一個德佈魯因序列！
是的，正如我在標題中所寫，下面我要提德佈魯因序列和圖論在 DNA 測序中的應用了。現在假設給你一個環形的脫氧核苷酸序列，如图6(a)所示。在當下最流行的下一代測序法（next generation sequencing, NGS）中，取代傳統的 Sagner 測序法，我們將一串鹼基序列切成很多短的鹼基片段。這些鹼基片段長度相同，但是我們並不知道它們是怎麼從原始的鹼基序列中被切下來的。現在如果我們要從這些片段中復原，應該如何做？沒錯，就是利用剛才的方法，把這些鹼基片段做成一個有向圖，然後在其中尋找合適的哈密頓環，即可重構原來的 DNA 序列。但事實上情況會稍微有些不同，剛剛我們說過，哈密頓環是遍歷個圖中所有頂點的路徑，電腦需要尋找這樣的方案的算法複雜度是很高的。但是如果將這個問題轉化成歐拉環——即著名的一筆畫問題：尋找一個方案遍歷一個圖中所有的邊，如图6(d)所示——計算成本就會大大下降。在現代計算機中，簡單的算法就可以在數十億節點的巨大圖中高效找到歐拉循環，這樣就可以避免 NP 問題的泥潭。使用歐拉環具體是怎麼實現的呢？例如現在我們有一些片段 ATG TGG GGC TGC...... 我們只需要看少一位的片段 AT 後面能接什麼可能的方案，在這裡 ATG 就是 AT 後面接 G ，那麼我們就在頂點 AT 上畫上一條有向邊 ATG 指向 TG 開頭的頂點，而 TG 開頭的序列有 TGG 和 TGC, 那麼我們就從 TG 出發畫兩條線指向 GG 和 GC 。以此類推獲得整張圖。用這樣的片段重構出來的歐拉環我們也稱之為德布魯因圖。
現在回到德布魯因序列上，那麼我們應當如何構造一個德布魯因序列呢？事實上有一個簡單到令人發指的方法：使用林登詞（Lyndon Word）。什麼是林登詞呢？我們先給定一個字典，其中的字母之間是有序關係的，我們稱之為字典序（lexicographic order）。例如字典 {0,1} 就自然帶了一個字典序。所謂的林登詞就是在任何的輪換（比如 101 → 110）之下字典序最小的元素，換句話說任何輪換操作都會讓這個序列的字典序變大。例如對於 0 和 1 兩個字母， 001 就是一個林登詞，因為它在旋轉下會變成 100 或 010，這兩個都比 001 大。對於 0 和 1，不同長度的林登詞可以組成一個無限序列：
0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...
那麼如何使用林登詞序列構造一個n-德布魯因序列呢？只需要將長度整除 n 的林登詞按照字典序接在一起就可以了！例如 n=6, 我們則需要總長度為 2^6=64 的德布魯因序列，那麼我們把長度為 1,2,3,6 的林登詞找出來：
0,1,01,001,011,000001,000011,000101,000111,001011,001101,001111,010111,011111
並把它們按照字典序排列並接在一起
0 000001 000011 000101 000111 001 001011 001101 001111 01 010111 011 011111 1
我們就直接得到了總長度為 64 的德布魯因序列！這真是出人意料的簡單。真是令人嗟歎，這樣一個看似複雜，鏈接各個領域的問題居然會有這麼簡單的解法。而且解法巧妙，卻又自然，但這樣簡單的拼接法直到 20 世紀才被人意識到。這林登詞也是個奇物，林登詞按照標準分解可以構造自由李代數，從而將組合問題和代數問題巧妙結合起來，同時這些代數又跟特殊函數、斯特林數從而和量子力學裡的 normal ordering 有關（熟悉量子力學的同學都知道，玻色算符的 normal ordering 可以使用第二類斯特林數和貝爾數刻畫）。
現在我們來回顧一下我們的旅程，從轉鼓出發，我們先是看到了循環糾錯碼，從而引申到了環論域論的世界；隨後使用圖論，將各個問題轉化為尋找哈密頓環；最後來到了組合數學中的德佈魯因序列，利用林登詞將問題巧妙解決，同時德布魯因序列也聯繫了梵語詩律和 DNA 測序。感謝數學。
[1] 此人非常神，早在公元前四世紀就體係化了梵語語法，構詞法。甚至有人認為他的作品標志著語言學的開始。喬姆斯基和各路語言學家也總是在生成語法中致敬 Pāṇini。在優選論中，關於在特殊和一般約束之間的關係的假設被稱為「波你尼約束等級定理」。
這兩天有個人問了我一道離散數學題目，大意是這樣的。假設有一個環形的轉筒，邊上被分成 n 塊，如图1所示，這些小塊上可以放 0 或 1 兩個數字。桶外在三個連續的小塊上接了幾根線可以測出這三個塊裡分別是什麼數字。那麼對於 8 個塊，能否設計一個小塊上的數字順序，讓測得的 8 種可能遍歷 0-7 的二進制位，也就是遍歷 000,001,010,011,100,101,110,111 ?
對於 2^3 的情況很好設計，從右上方開始依次填入 10001011，但對於要讀出 4 個二進制位，也就是填入 2^4=16 個數字的方案則很一下子難想出來，更別說對於 k 個的一般情況了。
那麼怎麼解決這個問題呢？
在解決這個問題之前，這個首尾相接的桶的形狀讓我聯想到一種糾錯碼，即循環碼（cyclic code），這是漢明碼的一種，特點在於一列數字 (a0,a1,....,an) （一般 ai 取 0 或1）如果是合格的碼字，那麼經過輪輪換後也是合格的碼字，即 (an,a0,....,a_{n-1}) 這樣的也是合格的。循環碼的容錯率很好。那麼循環碼是如何工作的，又特別在哪裡？在這裡我們需要先岔開主線看看似乎和這個問題毫無關聯的糾錯碼。
循環碼的原理是這樣的，如果我們將碼字 (a0,a1,....,an) 看成一個多項式的係數，即找到一個多項式 cn = a0+a1x+a2x^2+...+anx^n, 那麼我們認為碼字循環後給出的多項式 cn'= a^n+a0x+...+a_{n-1}x^n 和原多項式 cn 是等價的。這就意味著循環碼對應的多項式構成了一個多項式環 R=GF(2)/(x^n-1), 因為很容易看出等價的多項式之間的等價關係是 cn' = x cn - c_{n-1}(x^n-1), 也即意味著等價關係是模掉多項式 x^n-1。既然如此，我們只需要知道 x^n-1 的全部素因子多項式就可以生成整個循環多項式的多項式環！以 8 個碼位為例，x^7-1 的全部素因子為 x^7-1 = (x+1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)。我們稱這樣的素因子（的乘積）為循環碼的生成多項式。現在我們來看生成多項式是如何構造循環碼的：例如我們選擇 g(x)=x^3+x+1 作為循環碼的生成多項式，現在我們想傳送四位信息，例如 1101（這是碼字）。碼字對應的多項式為 m(x)=x^3+x^2+1, 要構造一個循環碼，需要先將碼字多項式乘以循環碼多項式的最高項次數，再加上模掉生成多項式的餘數多項式。在這個例子中，即 x^3m(x)+x^3m(x)/g(x) = x^6+x^5+x^3+1 ，再轉換成二進制碼字就得到了一個合法的循環碼，這裡就是 11010001。我們可以發現這樣的循環碼做一次輪換後得到的碼字，即 10100011（對應的多項式 x^6+x^4+x+1） 或 11101000（對應的多項式 x^6+x^5+x^4+x^2） 都是合法的碼字（能被生成多項式 g(x) 整除）。這個生成多項式對應的糾錯碼正好是著名的 [7,4] 漢明碼。對於長度微 7 的二進制循環碼，由於 x^7-1 正好有 3 個素因子，因此共有 2^3=8 個生成多項式。
那麼這個循環碼跟我們想要求的桶上的數字列又有什麼關係呢？注意到當 k=3 的時候，我們的數字列正好是 00011101， 這正好對應了之前給出的生成多項式 x^4+x^3+x^2+1 = (x+1)(x^3+x+1)（與此同時仔細觀察，這裡的數字和我們上一段中用的例子得到的碼字結果也是一樣的，這並不完全是巧合）！於是一個自然的想法產生了，會不會能遍歷所有二進制位的轉筒數會在其對應的循環碼的某個生成多項式中出現？於是迅速寫程序驗證 k=4 的情況，並且非常順利得得到了答案 1001101011110000（如图2所示）。查閱相關定理後，我認為這個事情是正確的，即只要找到生成多項式中的遍歷二進製位的那個就可以了，這比起暴力搜尋，在計算復雜度上小了非常非常多的量級。
但是如果我想要給出一個構造性的表達式，應該怎麼做呢？讓我們把視角從糾錯碼轉到另一個數學領域：圖論。如何用圖論解決這個問題？注意到兩個相鄰的二進制數中，例如 011 和 111 中有兩位是重合的，前者的後兩位和後者的前兩位一致，後者的最後一位是 0 或 1 皆可。那麼很自然想到我們可以用一個有向圖來描繪這個問題，其中頂點是不同的二進制數，方向從前指向後，每個頂點發出兩條邊，接收兩條邊。例如三個二進制位的圖如图3所示。那麼我們的問題就變成了求這個有向圖中的一條閉合路徑，這個路徑恰好經過所有頂點！這樣經過所有頂點的路徑在圖論中被稱作哈密頓環，而尋找一個有向圖的哈密頓環在計算機中是可以實現的，例如我們給出的圖中的一個哈密頓環如图4所示。將給出的哈密頓環的頂點鏈接起來我們就得到了正確的序列，例如根據三個二進制位的圖我們可以得到 k=4 的序列。
事情結束了嗎？不，還沒有。雖然我們看上去大幅度化簡了問題，但其實求解一個給定有向圖中的哈密頓環在計算機中是一個 NP hard 的問題（算法複雜度大概是O(2^n*n^2)），而我們還不能對於給定任意的 k, 用簡單的方法給出想要的序列。經過我查閱資料後，發現我們要求的序列是所謂的德佈魯因（De Bruijn）序列的一個特殊情況。n 階德佈魯因序列的定義是，對於給定的有 n 個字母的字母表 A(在我們的情況中，字母表只有 0 和 1 兩個數字)，其子序列中會出現長度為 m 的子序列且只出現一次，這樣的德佈魯因序列被記成 B(n,m)。我們要求的序列就是 B(2,k)。這個德佈魯因序列看上去十分數學，但其實在各個方面都有大用處。實際上，最早的德佈魯因序列出現在梵文詩律中！
事情是這樣的。印度詩歌在賓伽羅（piṅgala, पिङ्गल ）的著作《詩律經》（Chandaḥsūtra，छन्दःसूत्र）後，每個三音節的元音的長短模式都有特定的名字，例如用 y(य) 表示短-長-長的音節，m(म) 表示長-長-長的音節。那麼為了記住這些可能得模式，印度語言學家 Pāṇini(पाणिनि)[1] 發明了一個詞彙：
yamātārājabhānasalagām
यमाताराजभानसलगं
注意到這個單詞裡，所有的三音節的長短模式出現且僅僅出現一次，例如 yamātā(यमाता) 是短-長-長音節模式，mātārā(मातारा) 是長-長-長音節模式等等。這正是一個德佈魯因序列！
是的，正如我在標題中所寫，下面我要提德佈魯因序列和圖論在 DNA 測序中的應用了。現在假設給你一個環形的脫氧核苷酸序列，如图6(a)所示。在當下最流行的下一代測序法（next generation sequencing, NGS）中，取代傳統的 Sagner 測序法，我們將一串鹼基序列切成很多短的鹼基片段。這些鹼基片段長度相同，但是我們並不知道它們是怎麼從原始的鹼基序列中被切下來的。現在如果我們要從這些片段中復原，應該如何做？沒錯，就是利用剛才的方法，把這些鹼基片段做成一個有向圖，然後在其中尋找合適的哈密頓環，即可重構原來的 DNA 序列。但事實上情況會稍微有些不同，剛剛我們說過，哈密頓環是遍歷個圖中所有頂點的路徑，電腦需要尋找這樣的方案的算法複雜度是很高的。但是如果將這個問題轉化成歐拉環——即著名的一筆畫問題：尋找一個方案遍歷一個圖中所有的邊，如图6(d)所示——計算成本就會大大下降。在現代計算機中，簡單的算法就可以在數十億節點的巨大圖中高效找到歐拉循環，這樣就可以避免 NP 問題的泥潭。使用歐拉環具體是怎麼實現的呢？例如現在我們有一些片段 ATG TGG GGC TGC...... 我們只需要看少一位的片段 AT 後面能接什麼可能的方案，在這裡 ATG 就是 AT 後面接 G ，那麼我們就在頂點 AT 上畫上一條有向邊 ATG 指向 TG 開頭的頂點，而 TG 開頭的序列有 TGG 和 TGC, 那麼我們就從 TG 出發畫兩條線指向 GG 和 GC 。以此類推獲得整張圖。用這樣的片段重構出來的歐拉環我們也稱之為德布魯因圖。
現在回到德布魯因序列上，那麼我們應當如何構造一個德布魯因序列呢？事實上有一個簡單到令人發指的方法：使用林登詞（Lyndon Word）。什麼是林登詞呢？我們先給定一個字典，其中的字母之間是有序關係的，我們稱之為字典序（lexicographic order）。例如字典 {0,1} 就自然帶了一個字典序。所謂的林登詞就是在任何的輪換（比如 101 → 110）之下字典序最小的元素，換句話說任何輪換操作都會讓這個序列的字典序變大。例如對於 0 和 1 兩個字母， 001 就是一個林登詞，因為它在旋轉下會變成 100 或 010，這兩個都比 001 大。對於 0 和 1，不同長度的林登詞可以組成一個無限序列：
0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...
那麼如何使用林登詞序列構造一個n-德布魯因序列呢？只需要將長度整除 n 的林登詞按照字典序接在一起就可以了！例如 n=6, 我們則需要總長度為 2^6=64 的德布魯因序列，那麼我們把長度為 1,2,3,6 的林登詞找出來：
0,1,01,001,011,000001,000011,000101,000111,001011,001101,001111,010111,011111
並把它們按照字典序排列並接在一起
0 000001 000011 000101 000111 001 001011 001101 001111 01 010111 011 011111 1
我們就直接得到了總長度為 64 的德布魯因序列！這真是出人意料的簡單。真是令人嗟歎，這樣一個看似複雜，鏈接各個領域的問題居然會有這麼簡單的解法。而且解法巧妙，卻又自然，但這樣簡單的拼接法直到 20 世紀才被人意識到。這林登詞也是個奇物，林登詞按照標準分解可以構造自由李代數，從而將組合問題和代數問題巧妙結合起來，同時這些代數又跟特殊函數、斯特林數從而和量子力學裡的 normal ordering 有關（熟悉量子力學的同學都知道，玻色算符的 normal ordering 可以使用第二類斯特林數和貝爾數刻畫）。
現在我們來回顧一下我們的旅程，從轉鼓出發，我們先是看到了循環糾錯碼，從而引申到了環論域論的世界；隨後使用圖論，將各個問題轉化為尋找哈密頓環；最後來到了組合數學中的德佈魯因序列，利用林登詞將問題巧妙解決，同時德布魯因序列也聯繫了梵語詩律和 DNA 測序。感謝數學。
[1] 此人非常神，早在公元前四世紀就體係化了梵語語法，構詞法。甚至有人認為他的作品標志著語言學的開始。喬姆斯基和各路語言學家也總是在生成語法中致敬 Pāṇini。在優選論中，關於在特殊和一般約束之間的關係的假設被稱為「波你尼約束等級定理」。
眼底出血莫要慌，中医中药有良方
看东西变形 视力下降
眼前出现飘动的黑影阻挡视线
突然眼前一片漆黑
如果出现过以上情形，那就有可能是“眼底病”的前兆
❇️什么是眼底出血？
眼底出血指眼内视网膜（眼睛深处、底部的地方）出血或玻璃体内出血。此现象只靠肉眼是看不到的，早期可能不红、不痛、不痒，需通过专业的眼底检查才可看到。
眼底出血是多种眼底疾病形成的病症，而非一种独立的眼病，多数患者病情总是反反复复的发作，如不及时有效的控制，常可导致失明的发生。
❇️引起眼底出血的原因
1.全身性病变：有糖尿病性视网膜病变、高血压性视网膜病变等。
2.局部病变：指眼底本身病变，如视网膜中央或分支静脉阻塞，以及中心性视网膜脉络炎等脉络膜新生血管性病变。
3.外伤：眼睛受到外伤或撞击时，也可能引发眼底出血。
4.血液疾病：一些血液疾病，如血小板减少症，可能增加眼底出血的风险。
5.部分药物：部分药物，如抗凝血药，可能导致眼底出血的发生。
✅知其因，方能解其果，中医防治有良方
1.糖尿病性玻璃体积血，可重用知母、生地、花粉、玄参等养阴清热止血药；视网膜静脉周围炎早期反复出血，宜选用白及、阿胶、知母等养阴收敛止血药。
2.视网膜中央静脉阻塞出血，宜选用行气活血化瘀止血药，如柴胡、白芍、当归、白术、香附、丹参、蝉蜕、三七、茜草、生蒲黄、花蕊石等；
3.外伤性出血，宜选用化瘀止血药，如蒲黄、茜草、赤芍、丹皮等；
4.血管硬化性出血，宜选用养阴止血药，如旱莲草、龟板、白芍等；
5.炎症所致的出血，宜选用清热凉血止血药，如生地、白茅根、黄芩、侧柏叶、小蓟等；
⚠️需要注意的是，具体治疗方案应根据医生的诊断和患者的具体情况制定。
[微风]给大家的一些建议
引起眼底出血的原因不同，所以其诊治和预后也不同，对视力的影响也不一样。少量的眼底出血可以吸收，对视力影响较小，并发症也会相对较少。如果出血量大，或反复多次出血，可引起玻璃体混浊和增殖性玻璃体视网膜病变，就需要进行手术了，否则会严重影响视力，甚至失明。
通过中药来让眼内的出血吸收，这一方法会比直接手术“温和”很多。通过中药疗法，病人玻璃体内的积血得以吸收，一方面避免了创伤性手术可能带来的再次出血、或是玻切手术导致白内障的风险，另一方面也减轻了病人的经济负担和心理负担。
[星星]我是眼科俞兴源主任，擅长中西医结合治疗黄斑病变、视神经萎缩、眼底出血、视网膜色素变性、视网膜静脉阻塞、干眼症、糖尿病视网膜病变、玻璃体混浊等眼科疾病，很高兴能在这里和大家分享我多年积累的经验，如果您或者家人朋友，有眼睛不舒服的情况，都可以留言说一说情况，有【检查报告】也可以发过来。希望大家少走弯路，早日康复#眼底出血别忽视##中医建议一定要保护好眼睛#
看东西变形 视力下降
眼前出现飘动的黑影阻挡视线
突然眼前一片漆黑
如果出现过以上情形，那就有可能是“眼底病”的前兆
❇️什么是眼底出血？
眼底出血指眼内视网膜（眼睛深处、底部的地方）出血或玻璃体内出血。此现象只靠肉眼是看不到的，早期可能不红、不痛、不痒，需通过专业的眼底检查才可看到。
眼底出血是多种眼底疾病形成的病症，而非一种独立的眼病，多数患者病情总是反反复复的发作，如不及时有效的控制，常可导致失明的发生。
❇️引起眼底出血的原因
1.全身性病变：有糖尿病性视网膜病变、高血压性视网膜病变等。
2.局部病变：指眼底本身病变，如视网膜中央或分支静脉阻塞，以及中心性视网膜脉络炎等脉络膜新生血管性病变。
3.外伤：眼睛受到外伤或撞击时，也可能引发眼底出血。
4.血液疾病：一些血液疾病，如血小板减少症，可能增加眼底出血的风险。
5.部分药物：部分药物，如抗凝血药，可能导致眼底出血的发生。
✅知其因，方能解其果，中医防治有良方
1.糖尿病性玻璃体积血，可重用知母、生地、花粉、玄参等养阴清热止血药；视网膜静脉周围炎早期反复出血，宜选用白及、阿胶、知母等养阴收敛止血药。
2.视网膜中央静脉阻塞出血，宜选用行气活血化瘀止血药，如柴胡、白芍、当归、白术、香附、丹参、蝉蜕、三七、茜草、生蒲黄、花蕊石等；
3.外伤性出血，宜选用化瘀止血药，如蒲黄、茜草、赤芍、丹皮等；
4.血管硬化性出血，宜选用养阴止血药，如旱莲草、龟板、白芍等；
5.炎症所致的出血，宜选用清热凉血止血药，如生地、白茅根、黄芩、侧柏叶、小蓟等；
⚠️需要注意的是，具体治疗方案应根据医生的诊断和患者的具体情况制定。
[微风]给大家的一些建议
引起眼底出血的原因不同，所以其诊治和预后也不同，对视力的影响也不一样。少量的眼底出血可以吸收，对视力影响较小，并发症也会相对较少。如果出血量大，或反复多次出血，可引起玻璃体混浊和增殖性玻璃体视网膜病变，就需要进行手术了，否则会严重影响视力，甚至失明。
通过中药来让眼内的出血吸收，这一方法会比直接手术“温和”很多。通过中药疗法，病人玻璃体内的积血得以吸收，一方面避免了创伤性手术可能带来的再次出血、或是玻切手术导致白内障的风险，另一方面也减轻了病人的经济负担和心理负担。
[星星]我是眼科俞兴源主任，擅长中西医结合治疗黄斑病变、视神经萎缩、眼底出血、视网膜色素变性、视网膜静脉阻塞、干眼症、糖尿病视网膜病变、玻璃体混浊等眼科疾病，很高兴能在这里和大家分享我多年积累的经验，如果您或者家人朋友，有眼睛不舒服的情况，都可以留言说一说情况，有【检查报告】也可以发过来。希望大家少走弯路，早日康复#眼底出血别忽视##中医建议一定要保护好眼睛#
✋热门推荐