《丘成桐先生怎样证明卡拉比猜想的具体过程》
卡拉比猜想是复微分几何中关于凯勒流形的一个十分重要的猜想，它是由数学家卡拉比（Calabi）在1954年提出的。卡拉比猜想的内容主要涉及凯勒流形上的里奇张量，该张量反映了凯勒流形的基本几何性质，而凯勒流形是一种很重要的复流形，这种复流形不仅是黎曼流形对于复数世界的自然推广，实际上也是性质非常好的黎曼面的高维推广。因此不难理解凯勒流形必定具有非常丰富的几何与拓扑性质，例如在代数几何学中所研究的代数簇中有许多就是凯勒流形。
卡拉比猜想的具体内容简单来说大致是这样的：
对于紧凯勒流形 上的每一个给定的闭(1,1)里奇张量微分形式 ，一定可以在其所确定的第一陈（省身）类相关的度量中找到唯一的凯勒度量，使得该凯勒度量所决定的里奇张量微分形式正好就是这个 。
卡拉比自己只能证明这个凯勒度量的唯一性，而要证明这种特殊度量的存在性问题，可以比较容易地归结为求解下面这个复偏微分方程：
这里的表示相关阶矩阵的行列式，而是该凯勒流形的凯勒度量的各项系数函数，是一个光滑函数，是一个满足与及流形有关的可积性条件的常数。我们可以设想一下，如果是一个10维流形，那么上述方程中行列式的阶数，从而等式左边的行列式中就有100个两阶偏导数，并且它们以一种非常复杂的方式组合在一起（即分成10组分别相乘后再相加）。因此可以想象，上述这个被称为“蒙日-安倍（Monge-Ampère）型”的偏微分方程（1）是一个高度非线性的偏微分方程。这个极其艰难的证明该偏微分方程光滑解的存在性任务，就是由丘成桐先生一个人在上世纪70年代独立完成的。
其实据丘成桐先生的《我的几何人生》详细记载， 在刚接触到卡拉比猜想时，丘成桐先生并不相信其正确性。他试图用反证法来找到一个反例，以此来推翻卡拉比的猜想。
在1973年的上半年，丘成桐先生认为自己已经“差不多找到一个反例了”（该书96页，下同），所以在该年8月的一次很重要的国际微分几何研讨会上非正式地报告了自己的发现。他叙述说：“到了研讨会结束，大家都觉得我已经推翻了卡拉比猜想，于是各自散去。卡拉比和陈（省身）先生都认为我找到个很好的反例，卡拉比一点也不失望，差不多悬在心上二十年的大石头终于放下来了，他的心情顿时轻松了”（101页）。但是到了1973年的秋天，丘成桐先生说：
“我收到卡拉比寄来的一封信，信简短而措辞得体。8月听过我的演讲后，他一直在想这个问题，深思之余对某些方面还感迷惑，他希望我把思路扼要地写下来，好教他更好地弄明白。对我来说， 卡拉比的信就如暮鼓晨钟，把我惊醒了”（106页）。
丘成桐先生继续说：
“我花了两星期去证明卡拉比猜想不对，结果弄到差不多要挂掉了。到了此时，必须考虑这个希钦和我，还有许多人，都认为‘好到难以置信’的猜想或者是对的。 确是如此，过了一段日子后，我渐渐相信它是对的了。于是我做了一百八十度的转变，倾注心力去证明卡拉比说的没有错”（106页）。
”
这些过程读起来感觉是跌宕起伏。从1971年左右开始运用反证法考虑卡拉比猜想的问题，丘成桐先生到此时已经花去了近三年的时间。接下来丘成桐先生又用了三年的时间从正面来证明卡拉比的猜想，也就是证明上述那个高难度的蒙日-安倍方程（1）存在光滑解。他说，这个蒙日-安倍方程“是整个猜想的巨大绊脚石。卡拉比提出这猜想二十年来，工作的进展甚为缓慢，其因在此”（110页）。
丘成桐先生在书中还说，解决这类问题的策略是
“在于寻求一系列的近似解，近似的程度愈来愈精准，以至最后能收敛至真正的解。我希望同样的方法可以应用于复蒙日-安倍方程，从而破解卡拉比猜想。证明这方程存在解，建立了卡拉比所设想的具特殊几何性质的空间的存在性”（110页）。
丘成桐先生在证明卡拉比猜想时，运用了许多数学方法，其中就包括了基本的复几何、偏微分方程与泛函分析的方法，当然最基本的方法是一种近似逼近的方法，也就是通过构造一系列类似于蒙日-安倍方程（1）的偏微分方程，从而分别得到它们的一系列解 ，这些解形成了一个函数列，然后设法证明这个函数列一定会收敛到某一个函数 ，并且这个极限函数 正好就是蒙日-安倍方程（1）的解。而为了证明这个函数列 是收敛的，以及它的极限函数 是光滑的，就必须要进行大量非常困难的 “先验估计”，即推导和运用众多的不等式来对相关方程的解函数及其各阶偏导数的大小来进行适当的估计和控制。丘成桐先生在自传中非常通俗地解释了他的这种证明方法：
“ 我把整个证明分拆成四个不同的估计，那就是所谓零阶、一阶、二阶和三阶估计。前面说过，蒙日-安倍方程的解是个函数，我们要做的乃是找出对这函数的界，说明它沿正的方向不能太大，沿负的方向不能太小，即是说，该函数不可能变成无限大。零阶的估计说明函数的极大值能够达到，一阶估计则给出函数一次导数的大小。具体而言，必须证明一阶导数的绝对值不会变得很大。换句话说，函数本身的振幅不能过大。类似地，二阶估计有关函数的二阶导数的最大绝对值，我们需要证明它是有界的，即一阶导数不能有快速的振动。同样的想法可用于三阶或更高阶的情况。这些高阶的估计提供了函数如何变化的讯息，如变化有多大和多快等。
1974年时，我已经知道如何处理三阶估计。到了1975年的夏天，我要到纽约前，成功导出了二阶估计。在柯朗所这几个月，我在概念上想通了，原来有了零阶和二阶估计，就可以推导出一阶的估计。换句话说，整个证明就剩下一个估计，即零阶估计。”（118页）
这最后的一步“零阶估计”一直要工作到1976年的下半年才得以完成。这样，丘成桐先生终于把卡拉比猜想变成了卡拉比-丘（成桐）定理。接下来，丘成桐先生将整个证明卡拉比猜想的过程经过仔细的整理和检查审核后，写成了两篇论文正式发表。
第一篇论文的题目是“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代数几何中的一些新结果）”，发表于1977年。这是一篇只有5页的很短的论文，它的内容包含了6个定理，其中第一个定理就是卡拉比-丘定理。除了卡拉比-丘定理没有给出证明外，其他的五个定理都是运用了卡拉比-丘定理来证明的，因此它们都是卡拉比-丘定理的推论。在这五个实际上属于代数几何的定理中，有两个定理解决了长期悬而未决的大问题，因此在当时的代数几何学界引起了轰动。
图5：丘成桐先生写的论文“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代数几何中的一些新结果）”
在这篇论文中，第二个定理的大意是说：
在第一陈类为零的紧凯勒流形中，一定存在唯一的里奇曲率为零的凯勒度量。
这个定理是通过将卡拉比-丘定理运用于第一陈类为零的情形而得到的。到了此时，由于已经证明了使得里奇曲率为零的凯勒度量的存在性，所以数学家们自然就将具有这种特殊度量、并且第一陈类为零的凯勒流形命名为“卡拉比-丘流形”。后来的发展表明，这种新流形的几何学在复几何、代数几何学与理论物理中都具有很重要的应用。例如目前在理论物理中所研究的弦理论是一种试图统一自然界中所有的力（包括量子引力）的理论，而在弦理论中所用到的主要数学模型不是别的，正好就是卡拉比-丘流形。
丘成桐先生所写的第二篇论文的题目是“On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation,I（关于紧凯勒流形的里奇曲率与复蒙日-安倍方程I）”，发表于1978年。这是一篇长达61页的论文，它的任务只有一个，那就是证明卡拉比-丘定理。这篇论文充满了各种高难度的计算、估计和不等式，例如在进行三阶估计时，丘成桐先生所作的复杂计算是这样的：
图6：丘成桐先生的论文“On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation,I（关于紧凯勒流形的里奇曲率与复蒙日-安倍方程I）”中，在进行三阶估计时的一页
美国密西根大学数学系的季理真老师在三年前编了一本很好的英文书《Complex Geometry from Riemann to Kähler-Einstein and Calabi-Yau（从黎曼到凯勒-爱因斯坦和卡拉比-丘的复几何）》（高等教育出版社2018年出版），其中包含了十多位数学大师在复几何方面的奠基性原始论文、季理真老师写的关于复几何发展历史的文章，以及丘成桐先生写的关于数学和数学家的评论等十分丰富的内容。这十多位数学大师包括了黎曼、凯勒、陈省身、周炜良、卡拉比、小平邦彦、希策布鲁赫、阿蒂亚、丘成桐和唐纳森等人。丘成桐先生写的上述这两篇证明卡拉比猜想的论文也被收录在了这本英文书中，使我们阅读起来更加方便。
图7：《Complex Geometry from Riemann to Kähler-Einstein and Calabi-Yau（从黎曼到凯勒-爱因斯坦和卡拉比-丘的复几何》（高等教育出版社2018年出版）
下面用沃尔夫奖的颁奖词中对丘成桐先生的一段评价来结束本文，它们很好地概括了丘成桐先生所作出的在证明卡拉比猜想以外的重要贡献：
“人们将凯勒流形中一类很重要的流形称为卡拉比－丘流形，它已经成为了弦理论的基石，而弦理论的目的在于试图去理解：在一个高维空间内各种物理学意义上的力的作用最终是怎样形成我们所处的四维时空世界的。丘教授关于T-对偶性的工作是镜像对称理论的一个重要组成部分，这项工作是将弦理论、代数几何及辛几何进行交叉发展而产生的。在解决了广义相对论中的正质量猜想和正能量猜想问题的同时，他创造了强有力的分析工具和方法，它们能够被广泛地应用于关于时空的整体几何学的研究中。
丘教授关于黎曼流形上的特征值与热核估计的研究工作被认为是流形上的分析中最为深刻的成就。他研究了极小曲面，并且解决了几个经典问题，然后运用其中的成果开创了几何拓扑学研究的一种崭新方法。丘教授在过去的几十年里所取得的极其丰富的研究成果，推动了基础数学、应用数学与理论物理等许多领域的发展。在获得各种不同的重要数学成就、并且以此启发了几代数学家们的同时，丘教授还通过训练数量极多的研究生和创建了几个活跃的数学研究中心，对世界范围内的数学研究产生了巨大的影响。”
卡拉比猜想是复微分几何中关于凯勒流形的一个十分重要的猜想，它是由数学家卡拉比（Calabi）在1954年提出的。卡拉比猜想的内容主要涉及凯勒流形上的里奇张量，该张量反映了凯勒流形的基本几何性质，而凯勒流形是一种很重要的复流形，这种复流形不仅是黎曼流形对于复数世界的自然推广，实际上也是性质非常好的黎曼面的高维推广。因此不难理解凯勒流形必定具有非常丰富的几何与拓扑性质，例如在代数几何学中所研究的代数簇中有许多就是凯勒流形。
卡拉比猜想的具体内容简单来说大致是这样的：
对于紧凯勒流形 上的每一个给定的闭(1,1)里奇张量微分形式 ，一定可以在其所确定的第一陈（省身）类相关的度量中找到唯一的凯勒度量，使得该凯勒度量所决定的里奇张量微分形式正好就是这个 。
卡拉比自己只能证明这个凯勒度量的唯一性，而要证明这种特殊度量的存在性问题，可以比较容易地归结为求解下面这个复偏微分方程：
这里的表示相关阶矩阵的行列式，而是该凯勒流形的凯勒度量的各项系数函数，是一个光滑函数，是一个满足与及流形有关的可积性条件的常数。我们可以设想一下，如果是一个10维流形，那么上述方程中行列式的阶数，从而等式左边的行列式中就有100个两阶偏导数，并且它们以一种非常复杂的方式组合在一起（即分成10组分别相乘后再相加）。因此可以想象，上述这个被称为“蒙日-安倍（Monge-Ampère）型”的偏微分方程（1）是一个高度非线性的偏微分方程。这个极其艰难的证明该偏微分方程光滑解的存在性任务，就是由丘成桐先生一个人在上世纪70年代独立完成的。
其实据丘成桐先生的《我的几何人生》详细记载， 在刚接触到卡拉比猜想时，丘成桐先生并不相信其正确性。他试图用反证法来找到一个反例，以此来推翻卡拉比的猜想。
在1973年的上半年，丘成桐先生认为自己已经“差不多找到一个反例了”（该书96页，下同），所以在该年8月的一次很重要的国际微分几何研讨会上非正式地报告了自己的发现。他叙述说：“到了研讨会结束，大家都觉得我已经推翻了卡拉比猜想，于是各自散去。卡拉比和陈（省身）先生都认为我找到个很好的反例，卡拉比一点也不失望，差不多悬在心上二十年的大石头终于放下来了，他的心情顿时轻松了”（101页）。但是到了1973年的秋天，丘成桐先生说：
“我收到卡拉比寄来的一封信，信简短而措辞得体。8月听过我的演讲后，他一直在想这个问题，深思之余对某些方面还感迷惑，他希望我把思路扼要地写下来，好教他更好地弄明白。对我来说， 卡拉比的信就如暮鼓晨钟，把我惊醒了”（106页）。
丘成桐先生继续说：
“我花了两星期去证明卡拉比猜想不对，结果弄到差不多要挂掉了。到了此时，必须考虑这个希钦和我，还有许多人，都认为‘好到难以置信’的猜想或者是对的。 确是如此，过了一段日子后，我渐渐相信它是对的了。于是我做了一百八十度的转变，倾注心力去证明卡拉比说的没有错”（106页）。
”
这些过程读起来感觉是跌宕起伏。从1971年左右开始运用反证法考虑卡拉比猜想的问题，丘成桐先生到此时已经花去了近三年的时间。接下来丘成桐先生又用了三年的时间从正面来证明卡拉比的猜想，也就是证明上述那个高难度的蒙日-安倍方程（1）存在光滑解。他说，这个蒙日-安倍方程“是整个猜想的巨大绊脚石。卡拉比提出这猜想二十年来，工作的进展甚为缓慢，其因在此”（110页）。
丘成桐先生在书中还说，解决这类问题的策略是
“在于寻求一系列的近似解，近似的程度愈来愈精准，以至最后能收敛至真正的解。我希望同样的方法可以应用于复蒙日-安倍方程，从而破解卡拉比猜想。证明这方程存在解，建立了卡拉比所设想的具特殊几何性质的空间的存在性”（110页）。
丘成桐先生在证明卡拉比猜想时，运用了许多数学方法，其中就包括了基本的复几何、偏微分方程与泛函分析的方法，当然最基本的方法是一种近似逼近的方法，也就是通过构造一系列类似于蒙日-安倍方程（1）的偏微分方程，从而分别得到它们的一系列解 ，这些解形成了一个函数列，然后设法证明这个函数列一定会收敛到某一个函数 ，并且这个极限函数 正好就是蒙日-安倍方程（1）的解。而为了证明这个函数列 是收敛的，以及它的极限函数 是光滑的，就必须要进行大量非常困难的 “先验估计”，即推导和运用众多的不等式来对相关方程的解函数及其各阶偏导数的大小来进行适当的估计和控制。丘成桐先生在自传中非常通俗地解释了他的这种证明方法：
“ 我把整个证明分拆成四个不同的估计，那就是所谓零阶、一阶、二阶和三阶估计。前面说过，蒙日-安倍方程的解是个函数，我们要做的乃是找出对这函数的界，说明它沿正的方向不能太大，沿负的方向不能太小，即是说，该函数不可能变成无限大。零阶的估计说明函数的极大值能够达到，一阶估计则给出函数一次导数的大小。具体而言，必须证明一阶导数的绝对值不会变得很大。换句话说，函数本身的振幅不能过大。类似地，二阶估计有关函数的二阶导数的最大绝对值，我们需要证明它是有界的，即一阶导数不能有快速的振动。同样的想法可用于三阶或更高阶的情况。这些高阶的估计提供了函数如何变化的讯息，如变化有多大和多快等。
1974年时，我已经知道如何处理三阶估计。到了1975年的夏天，我要到纽约前，成功导出了二阶估计。在柯朗所这几个月，我在概念上想通了，原来有了零阶和二阶估计，就可以推导出一阶的估计。换句话说，整个证明就剩下一个估计，即零阶估计。”（118页）
这最后的一步“零阶估计”一直要工作到1976年的下半年才得以完成。这样，丘成桐先生终于把卡拉比猜想变成了卡拉比-丘（成桐）定理。接下来，丘成桐先生将整个证明卡拉比猜想的过程经过仔细的整理和检查审核后，写成了两篇论文正式发表。
第一篇论文的题目是“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代数几何中的一些新结果）”，发表于1977年。这是一篇只有5页的很短的论文，它的内容包含了6个定理，其中第一个定理就是卡拉比-丘定理。除了卡拉比-丘定理没有给出证明外，其他的五个定理都是运用了卡拉比-丘定理来证明的，因此它们都是卡拉比-丘定理的推论。在这五个实际上属于代数几何的定理中，有两个定理解决了长期悬而未决的大问题，因此在当时的代数几何学界引起了轰动。
图5：丘成桐先生写的论文“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代数几何中的一些新结果）”
在这篇论文中，第二个定理的大意是说：
在第一陈类为零的紧凯勒流形中，一定存在唯一的里奇曲率为零的凯勒度量。
这个定理是通过将卡拉比-丘定理运用于第一陈类为零的情形而得到的。到了此时，由于已经证明了使得里奇曲率为零的凯勒度量的存在性，所以数学家们自然就将具有这种特殊度量、并且第一陈类为零的凯勒流形命名为“卡拉比-丘流形”。后来的发展表明，这种新流形的几何学在复几何、代数几何学与理论物理中都具有很重要的应用。例如目前在理论物理中所研究的弦理论是一种试图统一自然界中所有的力（包括量子引力）的理论，而在弦理论中所用到的主要数学模型不是别的，正好就是卡拉比-丘流形。
丘成桐先生所写的第二篇论文的题目是“On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation,I（关于紧凯勒流形的里奇曲率与复蒙日-安倍方程I）”，发表于1978年。这是一篇长达61页的论文，它的任务只有一个，那就是证明卡拉比-丘定理。这篇论文充满了各种高难度的计算、估计和不等式，例如在进行三阶估计时，丘成桐先生所作的复杂计算是这样的：
图6：丘成桐先生的论文“On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation,I（关于紧凯勒流形的里奇曲率与复蒙日-安倍方程I）”中，在进行三阶估计时的一页
美国密西根大学数学系的季理真老师在三年前编了一本很好的英文书《Complex Geometry from Riemann to Kähler-Einstein and Calabi-Yau（从黎曼到凯勒-爱因斯坦和卡拉比-丘的复几何）》（高等教育出版社2018年出版），其中包含了十多位数学大师在复几何方面的奠基性原始论文、季理真老师写的关于复几何发展历史的文章，以及丘成桐先生写的关于数学和数学家的评论等十分丰富的内容。这十多位数学大师包括了黎曼、凯勒、陈省身、周炜良、卡拉比、小平邦彦、希策布鲁赫、阿蒂亚、丘成桐和唐纳森等人。丘成桐先生写的上述这两篇证明卡拉比猜想的论文也被收录在了这本英文书中，使我们阅读起来更加方便。
图7：《Complex Geometry from Riemann to Kähler-Einstein and Calabi-Yau（从黎曼到凯勒-爱因斯坦和卡拉比-丘的复几何》（高等教育出版社2018年出版）
下面用沃尔夫奖的颁奖词中对丘成桐先生的一段评价来结束本文，它们很好地概括了丘成桐先生所作出的在证明卡拉比猜想以外的重要贡献：
“人们将凯勒流形中一类很重要的流形称为卡拉比－丘流形，它已经成为了弦理论的基石，而弦理论的目的在于试图去理解：在一个高维空间内各种物理学意义上的力的作用最终是怎样形成我们所处的四维时空世界的。丘教授关于T-对偶性的工作是镜像对称理论的一个重要组成部分，这项工作是将弦理论、代数几何及辛几何进行交叉发展而产生的。在解决了广义相对论中的正质量猜想和正能量猜想问题的同时，他创造了强有力的分析工具和方法，它们能够被广泛地应用于关于时空的整体几何学的研究中。
丘教授关于黎曼流形上的特征值与热核估计的研究工作被认为是流形上的分析中最为深刻的成就。他研究了极小曲面，并且解决了几个经典问题，然后运用其中的成果开创了几何拓扑学研究的一种崭新方法。丘教授在过去的几十年里所取得的极其丰富的研究成果，推动了基础数学、应用数学与理论物理等许多领域的发展。在获得各种不同的重要数学成就、并且以此启发了几代数学家们的同时，丘教授还通过训练数量极多的研究生和创建了几个活跃的数学研究中心，对世界范围内的数学研究产生了巨大的影响。”
【summer相关的英语表达】
1. high summer 盛夏/仲夏，也可以指鼎盛时期，全盛时期
例：That was the high summer of English literature.
那是英国文学的黄金时代。
2. summer holidays 暑假
例：During the summer holiday, they visited Normandy and Brittany.
暑期他们游览了诺曼底和布里塔尼。
3. summer house 避暑别墅，凉亭
例：She found a tiny summer house, which is built in Japanese fashion and is around a pond.
她在一个池塘边找到一所日式的小凉亭。
4. in the height of summer 盛夏时节；在……的高潮中，在……的顶峰
例：I wouldn't go there in the height of summer.
我不会在盛夏时节去那里的。
5. in the summer of one's life 正值壮年
例：“It's the biggest summer of her professional life,” she said.
她说：“现在正值她职业生涯的壮年时期。”
1. high summer 盛夏/仲夏，也可以指鼎盛时期，全盛时期
例：That was the high summer of English literature.
那是英国文学的黄金时代。
2. summer holidays 暑假
例：During the summer holiday, they visited Normandy and Brittany.
暑期他们游览了诺曼底和布里塔尼。
3. summer house 避暑别墅，凉亭
例：She found a tiny summer house, which is built in Japanese fashion and is around a pond.
她在一个池塘边找到一所日式的小凉亭。
4. in the height of summer 盛夏时节；在……的高潮中，在……的顶峰
例：I wouldn't go there in the height of summer.
我不会在盛夏时节去那里的。
5. in the summer of one's life 正值壮年
例：“It's the biggest summer of her professional life,” she said.
她说：“现在正值她职业生涯的壮年时期。”
Swing for the fences，她的全垒打。
Amelia Showalter was debating whether asking a stranger to join her on a ghost tour was a mad idea.
She was sitting in a crowded bar in Edinburgh’s Old Town, the last dregs of a glass of Scottish whisky in front of her.
Also in front of her: Lucas Demaria. An Argentinian DJ she’d just met. He was a fellow Edinburgh tourist and a self-confessed “big nerd.” And he was someone Amelia was “very much liking talking with”
Amelia swallowed the last of her whisky, and in turn swallowed her reservations. She wanted to carry on her conversation with Lucas. And she was in a city she’d never visited before. If he said no, it didn’t matter. What did she have to lose?
“I’m heading on this ghost tour soon,” Amelia said. “Do you want to come? It’s supposed to be spooky.”
Lucas raised his eyebrow.
“Not that I actually believe in ghosts,” Amelia added quickly.
“Sure,” said Lucas, laughing. “Why not.”
Amelia Showalter was debating whether asking a stranger to join her on a ghost tour was a mad idea.
She was sitting in a crowded bar in Edinburgh’s Old Town, the last dregs of a glass of Scottish whisky in front of her.
Also in front of her: Lucas Demaria. An Argentinian DJ she’d just met. He was a fellow Edinburgh tourist and a self-confessed “big nerd.” And he was someone Amelia was “very much liking talking with”
Amelia swallowed the last of her whisky, and in turn swallowed her reservations. She wanted to carry on her conversation with Lucas. And she was in a city she’d never visited before. If he said no, it didn’t matter. What did she have to lose?
“I’m heading on this ghost tour soon,” Amelia said. “Do you want to come? It’s supposed to be spooky.”
Lucas raised his eyebrow.
“Not that I actually believe in ghosts,” Amelia added quickly.
“Sure,” said Lucas, laughing. “Why not.”
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