赏析一道几何面积题(3)
大罕

前文“赏析一道几何面积题(1)(2)”用平几法和共边定理漂亮地解决了面积问题.

本文先给出梅涅劳斯定理(Menelaus，公元70-140，古希腊数学家)：若一条直线交△ABC三边所在直线BC、CA 、AB于点D、E、F，则有(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，如图1．

(规律：顶点到分点，分点到同边另一顶点，依次轮换，连乘积为1．)

【题目】△ABC中，点D是AC的中点，点E在BC上，BE/EC=2/1， BD与AE交于点F，△ABC面积是30，求阴影部分即△ADF的面积．

【证法三(梅氏定理法)】

设一条直线(红线)与△CAE(蓝线)三边所在直线CA、AE 、EC相交于点D、F、B，如图2，则
　(CD/DA)×(AF/FE)×(EB/BC)=1，

注意到D是AC中点，BE/EC=2/1，

∴ (AF/FE)×(2/3)=1，

∴AF/FE=3/2，

∴△AFD面积=(3/5)△AED面积

=(3/5)(1/2)△AEC面积

=(3/10)(1/3)△ABC面积=3.

【赏析】用梅氏定理跟共边定理一样，都能轻松解决此题．为什么？

由共边定理，如图1，连接AD、BE，有

AF/FB=S(△AED)/S(△BED)，

BD/DC=S(△BED)/S(△CED)，

CE/EA=S(△CED)/S(△AED)，

把以上三式相乘，立即得到梅氏定理．就这么给力！

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