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⚽️日常&龙翔万里 2.5/.以服务人民为荣、以背离人民为耻，以热爱祖国为为荣、以背离人民为耻。爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。

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张宇考研数学寒假15天打卡第四天#张宇考研数学寒假打卡##张宇基础30讲##张宇1000题#
第5讲 一元函数微分学的应用一……几何应用
1.极值的定义(端点处不研究)
2.单调性与极值的判别

★【a，b】上C，(a，b)内可导

♥f′x≥0，＝仅在有限个点处成立，fx严格单调增加
3.fx在x＝x0处可导，且在店x0处取得极值

→f′x0＝0
4.极值三大充分条件

★去心邻域内可导，x0处连续

★x0处二阶可导，且f′x0＝0，f′′x0≠0

★fn阶导≠0，n为偶数，fn阶导＜0，fx0取极大值
5.凹凸性与拐点的概念(定义法判断)

★函数上任意两点的函数值之和除以2＞两点之和除以2的函数值

→凹

★函数上任意一去心点的切线方程＜函数值

→凹
6.凹凸性与拐点的判别

★函数二阶可导

f′′＞0 →凹

★拐点→f′′＝0

♥f′′不存在→也有可能是拐点
7.拐点三大充分条件

★去心邻域点，二阶导，x0处连续，左右变号

→拐点

★某点，二阶导＝0，三阶导≠0 →拐点

★n阶可导，n➖1阶之前＝0，n为奇数时，为拐点
8.
★曲线的可导点不可同时为极值点和拐点
★曲线的不可导点可同时为极值点和拐点
★多项式f＝(x－a)的n次方✖️g，g(a)≠0，n＝偶数时，a为极值点。n＝奇数时，(a，0)是拐点
★多项式f＝(x－a1)n1次方✖️(x－a2)n2次方……

k1为ni＝1个数，k2为偶数个数，k3为奇数个数
→→→♥极值点个数k1➕2k2➕k3➖1
→→→♥拐点个数k1➕2k2➕3k3➖2
★某X0是方程三重根，X0是方程一阶导的二重根
9.渐近线
★先定铅直【无定义点，端点，分段点】
★再定水平，x→∞，为A(常数)，存在
★最后斜，x→∞，f/x →a(非零常数)

b＝fx－ax，存在→有斜
10.最值或取值范围
★极值点不一定是最值点
★最值点也不一定是极值点

♥某区间上，不在端点处，最值点＝极值点
★求开区间上连续函数最大值和最小值

♥可疑点【驻点➕不可导点】

♥端点值
★求闭区间内连续函数最值或取值范围

♥可疑点【驻点➕不可导点】

♥端点处单侧极限
11.函数图像
★确定定义域【奇偶性，周期性】
★导数工具【一阶导→单调，极值点】

【二阶导→凹凸，拐点】
★渐近线

♥附录里的十种常见的图像【必会】
12.曲率及曲率半径
就那么个公式看一眼就记住了

【2025考研】[锦鲤附体]考研倒计时348天[太阳]
2024年01月08日——打卡第69天[送花花]
✔️正确选项为（B）[看书]本题主要考察极值点与拐点的判定，需要我们深刻理解极值点和拐点的概念，比如一阶可导点是极值点的必要条件，判别极值的充分条件，二阶可导点是拐点的必要条件，判别拐点的充分条件等等。
需要注意的是：①f(x)在x0处取得极值，则f(x0)的一阶导数为0或不存在；②x=x0为f(x)的拐点，则f(x0)的二阶导数为0或不存在。考生往往容易忽略导数不存在的点。#考研数学武忠祥[超话]##2025考研##考研数学##武忠祥老师每日一题# @武忠祥老师 @考研可爱因子 https://t.cn/R2WxEr2