#今天要来点数学吗？##元数学##证明论# 与#计算机科学#
图灵构思出图灵机的时候，他就意识到，图灵机执行的计算，和形式逻辑系统的演算过程存在紧密的联系：哥德尔不完备定理（https://t.cn/A6YJm2av）表明了不存在一个完备和一致的形式系统来证明所有的数学命题，图灵机的不可计算数则进一步表明，即便对于所有可证明的数学问题，也不存在一个通用的算法来证明它们。
同时，图灵机是计算机的数学原型。图灵机执行的计算本质上就是运行的程序。那么程序和数学证明之间按理也应存在某种联系。这种形而上的思考十分自然，但真正在技术上揭示这一联系则非常了不起。这就是
#柯里-霍华德同构# ，Curry–Howard correspondence
一种在计算机程序和数学证明之间的直接关系，也就是说，#程序就是证明，而证明的结论就是程序的类型#。这个惊人的发现最早是由美国数学家Haskell Curry和逻辑学家William Alvin Howard在上世纪独立发现的，后来又被扩展到了范畴论等领域。
Curry–Howard correspondence的意义在于，它揭示了逻辑和计算之间的深刻联系，为理解和设计编程语言、证明系统、类型系统等提供了有力的工具和思想。它也为实现程序的正确性和安全性提供了可能，因为如果一个程序的类型对应于一个逻辑公式，那么只要这个程序能够通过类型检查，就相当于证明了这个公式。这样，我们就可以用数学的方式来保证程序的质量，而不是仅仅依靠测试或者人工检查。
这就是最近火热的Lean语言可用于校验数学证明的根本原因。
Curry–Howard correspondence的应用非常广泛，比如，它可以用来构造自动证明器，也就是能够自动生成和检验数学证明的软件，如Coq、Agda等。它也可以用来设计函数式编程语言，如Haskell、ML等，这些语言的特点是强大的类型系统和高阶函数，能够表达复杂的逻辑和算法。它还可以用来研究量子计算、同伦类型论、程序优化等前沿领域。
——————————
再多写一点我的理解。
编程语言里，存在给变量指定类型的语句，如：int m。意思是定义m为整数。
同时我们可以反过来理解：这个语句不是赋予了m”整数“这一属性，而是证明了m是整数。反正无论如何，当程序运行的时候，m只能是整数——否则就会报错。
如此，若一个计算机关键字可赋予一个变量给定的类型，我们就可以把这个术语想象成一个 "证明"，证明用这个类型编写程序是可能的——所以把这个类型本身称为 "定理"。因为相当于用定理证明了变量属于该类型。
每当有一个函数类型为
P -> Q
时，它相当于把变量从类型P传给类型Q。 但是， P -> Q这种表达在形式上还是形式逻辑里的modus ponens（肯定前件）：如果P 成立，那么Q也成立。
考虑到诸如列表，对象等类型的复杂性，足以在类型运算和命题演算之间建立一一对应的联系。
下面图示就是在Coq软件中以函数式编程证明自然数加法交换性。
nat_ind 代表数学归纳，eq_ind 代替等于，f_equal 代表在等式两边取同样的函数。 m = m + 0和S（m + y）= m + S y是已知”定理“。
图灵构思出图灵机的时候，他就意识到，图灵机执行的计算，和形式逻辑系统的演算过程存在紧密的联系：哥德尔不完备定理（https://t.cn/A6YJm2av）表明了不存在一个完备和一致的形式系统来证明所有的数学命题，图灵机的不可计算数则进一步表明，即便对于所有可证明的数学问题，也不存在一个通用的算法来证明它们。
同时，图灵机是计算机的数学原型。图灵机执行的计算本质上就是运行的程序。那么程序和数学证明之间按理也应存在某种联系。这种形而上的思考十分自然，但真正在技术上揭示这一联系则非常了不起。这就是
#柯里-霍华德同构# ，Curry–Howard correspondence
一种在计算机程序和数学证明之间的直接关系，也就是说，#程序就是证明，而证明的结论就是程序的类型#。这个惊人的发现最早是由美国数学家Haskell Curry和逻辑学家William Alvin Howard在上世纪独立发现的，后来又被扩展到了范畴论等领域。
Curry–Howard correspondence的意义在于，它揭示了逻辑和计算之间的深刻联系，为理解和设计编程语言、证明系统、类型系统等提供了有力的工具和思想。它也为实现程序的正确性和安全性提供了可能，因为如果一个程序的类型对应于一个逻辑公式，那么只要这个程序能够通过类型检查，就相当于证明了这个公式。这样，我们就可以用数学的方式来保证程序的质量，而不是仅仅依靠测试或者人工检查。
这就是最近火热的Lean语言可用于校验数学证明的根本原因。
Curry–Howard correspondence的应用非常广泛，比如，它可以用来构造自动证明器，也就是能够自动生成和检验数学证明的软件，如Coq、Agda等。它也可以用来设计函数式编程语言，如Haskell、ML等，这些语言的特点是强大的类型系统和高阶函数，能够表达复杂的逻辑和算法。它还可以用来研究量子计算、同伦类型论、程序优化等前沿领域。
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再多写一点我的理解。
编程语言里，存在给变量指定类型的语句，如：int m。意思是定义m为整数。
同时我们可以反过来理解：这个语句不是赋予了m”整数“这一属性，而是证明了m是整数。反正无论如何，当程序运行的时候，m只能是整数——否则就会报错。
如此，若一个计算机关键字可赋予一个变量给定的类型，我们就可以把这个术语想象成一个 "证明"，证明用这个类型编写程序是可能的——所以把这个类型本身称为 "定理"。因为相当于用定理证明了变量属于该类型。
每当有一个函数类型为
P -> Q
时，它相当于把变量从类型P传给类型Q。 但是， P -> Q这种表达在形式上还是形式逻辑里的modus ponens（肯定前件）：如果P 成立，那么Q也成立。
考虑到诸如列表，对象等类型的复杂性，足以在类型运算和命题演算之间建立一一对应的联系。
下面图示就是在Coq软件中以函数式编程证明自然数加法交换性。
nat_ind 代表数学归纳，eq_ind 代替等于，f_equal 代表在等式两边取同样的函数。 m = m + 0和S（m + y）= m + S y是已知”定理“。
林徽因曾说， 没有爱可以做夫妻，但是没有爱，一定做不了情人。心上人没有家，枕边人没有爱，一个是真爱，一个是被逼无奈。人生最痛苦的事，就是在不懂爱的年龄，选择了婚姻，在懂爱的年龄，又遇到了一个不能在一起的人！
爱而不得的苦，只有经历过的人才会懂！
但无论有多苦，你都该明白，喜欢是放肆，而真爱是克制。
民国女神林徽因，她的博学和才华、智慧和格局，迷倒了无数青年才俊！
著名历史学家、建筑学家梁思成，娶她为妻，钟爱一生。
著名哲学家，逻辑学家金岳霖，爱她敬她，为她终生未娶。
而爱得最浓烈，最张狂的风流诗人，作家，才子徐志摩。为她不惜抛妻弃子，甚至因追爱而遭遇飞机失事，如愿以偿地化为了投入女神林徽因波心的那片云。
徐志摩的浪漫，让林徽因心醉，但她的清醒更令人钦佩。
她在写给徐志摩的分手信里说：
“如果你早点出现就好了，我一定会明目张胆地炫耀，可是现在，我们中间隔着道德、责任、规矩，道德不让，责任不允许规矩不允许，我们之间的关系，大概就是，进一步没资格，退一步却舍不得，最痛苦的莫过于爱不得忘不舍。
所以，任何不合时宜的出现，都遗憾得让人心疼。
爱到极致不纠缠，思到极致不想见。情出自愿事过无悔，不负遇见不谈亏欠，发乎情，止乎礼，动于心，而止于行。
正是由于林徽因的赤诚与坦荡，智慧与理性，才让翩翩公子们求知若渴，都纷纷拜倒在她的石榴裙下。
对婚姻的忠诚，是做人的底线，对家庭的责任，是为人的品质。
婚姻是柴米油盐，相伴到老。
人生是一道減法，没有什么来日方长，只有且行且珍惜。
两个人在一起一定要是因为爱情，这样才可以长久的。
爱而不得的苦，只有经历过的人才会懂！
但无论有多苦，你都该明白，喜欢是放肆，而真爱是克制。
民国女神林徽因，她的博学和才华、智慧和格局，迷倒了无数青年才俊！
著名历史学家、建筑学家梁思成，娶她为妻，钟爱一生。
著名哲学家，逻辑学家金岳霖，爱她敬她，为她终生未娶。
而爱得最浓烈，最张狂的风流诗人，作家，才子徐志摩。为她不惜抛妻弃子，甚至因追爱而遭遇飞机失事，如愿以偿地化为了投入女神林徽因波心的那片云。
徐志摩的浪漫，让林徽因心醉，但她的清醒更令人钦佩。
她在写给徐志摩的分手信里说：
“如果你早点出现就好了，我一定会明目张胆地炫耀，可是现在，我们中间隔着道德、责任、规矩，道德不让，责任不允许规矩不允许，我们之间的关系，大概就是，进一步没资格，退一步却舍不得，最痛苦的莫过于爱不得忘不舍。
所以，任何不合时宜的出现，都遗憾得让人心疼。
爱到极致不纠缠，思到极致不想见。情出自愿事过无悔，不负遇见不谈亏欠，发乎情，止乎礼，动于心，而止于行。
正是由于林徽因的赤诚与坦荡，智慧与理性，才让翩翩公子们求知若渴，都纷纷拜倒在她的石榴裙下。
对婚姻的忠诚，是做人的底线，对家庭的责任，是为人的品质。
婚姻是柴米油盐，相伴到老。
人生是一道減法，没有什么来日方长，只有且行且珍惜。
两个人在一起一定要是因为爱情，这样才可以长久的。
intp虽然被称为逻辑学家，但p人的洞察力和语言表达能力其实远不及j人，所以高阶的infj-a逻辑完全不输intp。我是第一次遇到intj，还是高阶的intj-a，真的是非常聪明，个人能力相当出众，可以说是结合了infj的判断能力和intp的推理能力，我愿称之为真正的逻辑学高人。
好像遇到了棋逢对手甚至更胜一筹的人[喵喵] 其实还蛮有意思的~ 果然和优秀的男人相处就能更好地认识自己，这么多年了，好像总算是解开我的一个心结了~
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