☆.。.:*・°H̥̊ḁ̊p̥̊p̥̊ẙ̥ H̥̊ẙ̥/ů̥n̥̊g̥̊W̥̊/o̥̊n̥̊ D̥̊ḁ̊ẙ̥。.:*・°☆
⭐p6是我和我姐一起出来玩，所以一起拍照了，我们俩都不是什么cp粉⭐️
今天爬起来化妆出来找地方拍四格了，真的手忙脚乱一通…第一张忘擦摄像头照出来超糊
本来想买个好看的蛋糕拍拍照的！但是实在是转来转去没有找到订蛋糕就我和我姐也吃不完下午想找个好看咖啡店拍照的但是太累了…
今年我自己的生日因为备考根本没心情过…和家人吃了个饭就over了总之今天拖欧巴的福度过了很幸福很满足的出门时光❤️
⭐p6是我和我姐一起出来玩，所以一起拍照了，我们俩都不是什么cp粉⭐️
今天爬起来化妆出来找地方拍四格了，真的手忙脚乱一通…第一张忘擦摄像头照出来超糊
本来想买个好看的蛋糕拍拍照的！但是实在是转来转去没有找到订蛋糕就我和我姐也吃不完下午想找个好看咖啡店拍照的但是太累了…
今年我自己的生日因为备考根本没心情过…和家人吃了个饭就over了总之今天拖欧巴的福度过了很幸福很满足的出门时光❤️
冯诺依曼发明了子程序
https://t.cn/A6jyYXxa
是什么让他成为现代计算机之父？丨纪念冯·诺伊曼诞辰120周年（下）
风云之声 2024-01-11 20:03 发表于山东
以下文章来源于返朴 ，作者Stanisław Ulam
图片
本文系冯·诺伊曼诞辰120周年纪念文章的下篇。在上篇中（“氢弹之父”乌拉姆：我的朋友冯·诺伊曼 | 纪念冯·诺伊曼诞辰120周年（上）），著名数学家乌拉姆主要介绍了冯·诺伊曼在数学，特别是数理逻辑、集合论、希尔伯特空间和算子理论等方面的工作；而在下篇中将介绍他在理论物理、博弈论、数值计算、计算机理论以及曼哈顿计划中的贡献。冯·诺伊曼在如此广泛的领域进行了深入的探索，不禁会让人想问：他的研究是否有一条连续的脉络？作为一名问题解决者，或许我们能从他对实际问题的处理上看到其更深远的目标与理想，以及他为什么能成为现代计算机之父。
■ 撰文
斯塔尼斯拉夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）
■ 翻译
圆圆
图片
理论物理
范·霍夫（Léon Van Hove）教授在《冯·诺伊曼对量子理论的贡献》（Von Neumann's contributions to quantum theory）描述了他在理论物理方面的工作。
在之前提到的美国国家科学院的调查问卷中，冯·诺伊曼选择了量子理论的数学基础和遍历定理作为他最重要的科学贡献 (以及前文讨论的算子理论)。这种选择，或者更确切地说是限制，对大多数数学家来说可能很奇怪，但在心理学上却很有趣。这似乎表明，也许他的主要愿望和最强烈的动机之一是，重建数学在理论物理学概念层面（conceptual level）的作用。自第一次世界大战结束以来，抽象数学研究和理论物理主流思想的分离是不可否认的。冯·诺伊曼经常表示担心，数学可能无法跟上物理学中呈指数增长的问题和思想。记得在一次谈话中，我提出了担忧：可能会出现某种马尔萨斯1式的分歧——物理科学和技术以几何级数增长，而数学以算术级数增长。他说这确实可能会这样。然而，在后来的讨论中，我们都坚持希望数学方法会在很长一段时间内保持对精确科学的概念上的控制！
论文[7]2是冯·诺伊曼与希尔伯特以及诺德海姆（Lothar Nordheim）3合著的。根据其序言，它基于希尔伯特于1926年冬天关于量子理论新发展的演讲，并在诺德海姆的帮助下完成。根据引言，这篇论文的重要数学部分和讨论是冯·诺伊曼给出的。
本文的既定目的是引入概率关系，而不是经典力学中严格的函数关系。它还以一种相当简单和更易于理解的方式阐述了约尔当和狄拉克的思想。即使在30年后的今天，冯·诺伊曼的这篇论文以及他在这方面的后续工作，其历史重要性和影响也很难被高估。希尔伯特在公理化方面的伟大纲领在这里获得了另一个重要的应用，即物理理论与相应数学系统之间的同构（isomorphism）。论文引言中明确指出，如果理论的形式化和其物理解释没有简明扼要且完全地分开，人们就很难理解这个理论。这种分离即是本文的目的，尽管人们承认在当时不可能进行完全的公理化。
我们可以在这里补充一点，相对论性不变量子理论的这种完全公理化，将其应用于核现象仍有待实现。4这篇论文概述了对应于物理可观测量的算符演算，讨论了厄米特算符的性质——这些共同构成了《量子力学的数学原理》（Mathematische Begründung der Quantenrnechanik）一文的序言。
关于统计力学在量子理论中的作用和测量问题，冯·诺伊曼明确且精准的想法见论文[10]5。他的名作《量子力学的数学基础》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），给出了公理化处理、测量理论和统计学的详细讨论。
在量子力学史上，至少有两项数学贡献是重要的：狄拉克的数学处理并不总是满足数学严谨性的要求。例如，它假设每个自伴随算符都可以被对角化，这迫使人们为那些无法做到这一点的算符引入狄拉克著名的“反常”函数。正如冯·诺伊曼所说，先验地看来，就像牛顿力学（当时）需要矛盾的无穷小演算一样，量子理论似乎需要一种对无限多个变量进行分析的新形式。冯·诺伊曼所取得的成果表明事实并非如此。也就是说，变换理论（Transformation theory）可以建立在一个明确的数学基础上，不是细扣狄拉克的方法，而是通过发展希尔伯特的算子谱理论。特别是，这是通过他对无界算子的研究来实现的，超越了希尔伯特、里斯（Frigyes Riesz）和施密特等人的经典理论。
第二份贡献构成了他书中第5章和第6章的重要内容。它与量子理论中的测量和可逆性问题有关。几乎从一开始，当海森堡、薛定谔、狄拉克和玻恩的思想首次获得轰动性的成功时，人们就提出了关于非决定论在理论中的作用的问题，并提出建议：通过假设可能的“隐藏”参数（隐变量）来解释这个问题，这些参数在未来被发现时，将回到更决定性的理论描述。冯·诺伊曼证明，该理论表述的统计特征并不是由于执行测量的观察者的状态是未知的。被观察者和观察者组成的系统会导致不确定性关系，即使人们承认观察者的确切状态。这被证明是先验假设的结果，该假设涉及物理量与希尔伯特空间中算子相关联的一般性质。6
这部著作以一种符合数学家气质且技术上有趣的形式呈现了新量子理论的思想，这绝对是第一重要的贡献。因为它试图对物理学家最初构思的理论——依靠并非人人理解的直觉——进行理性呈现；此外它也有巨大的教学价值。虽然不能断言这部著作能否为此后发现的更令人困惑的物理现象引入了新颖的物理思想，毕竟薛定谔、海森堡、狄拉克和其他人在那些年里构建的量子理论仍然只是一个不完整的理论骨架，冯·诺伊曼至少为其严格处理提供了一个逻辑上和数学上明确的基础。
分析、数值计算和流体动力学
在早期的论文[33]7中，冯·诺伊曼通过简单的几何构造证明了变分法中Radó7的基本引理（此引理是说：函数z=f(x, y)满足常数为Δ的李普希兹条件，如果没有最大倾角Δ大于的平面与由所给函数定义的曲面的边界在三个或更多点相交。）这篇论文的有趣之处还在于其证明方法涉及到直接的几何直观（geometric visualizations），这在冯·诺伊曼的已发表作品中并不多见。
论文[41]9是过去四分之一世纪中数学分析领域令人瞩目的成就之一。它给出整个领域第一个精确的数学结果：严格处理统计力学中的遍历假设。冯·诺伊曼受到了库普曼（Bernard Koopman）10的启发，后者曾发现有可能将哈密顿动力系统的研究简化为希尔伯特空间中算子的研究。使用库普曼的表示，冯·诺伊曼证明了现在所谓的弱遍历定理，即测度空间上迭代的、保测度的变换的函数均值的依测度收敛。这一定理不久之后被伯克霍夫（G. D. Birkhoff）以几乎处处收敛的形式加以强化，为经典统计力学提供了第一个严格的数学基础。该领域的后续发展以及这些结果的很多推广已众所周知，在此不再赘述。同样，这种成功归于冯·诺伊曼对集合论中受分析方法启发的技巧的精通，并融合了其在希尔特空间算子方面的独创工作。
数学物理的另一个领域也能够在普遍意义上用现代分析精确地研究。在这个例子中，一开始同样取得了巨大进展，但是当然，这个故事还没有结束；就经典动力学而言，对统计力学基础的数学处理还远远不够！拥有遍历定理和度量可传递变换（metrically transitive transformations）11存在性的知识是非常好的，但这些事实只是该主题的基础。冯·诺伊曼经常在谈话中表达这样一种感觉，即这一领域未来的进展将取决于这样的定理——将在数学上对该学科后续部分进行令人满意的处理。玻尔兹曼方程需要一个完整的数学理论，而系统趋于平衡时的速率需要精确的定理。
冯·诺伊曼在这方面的重要工作体现在文章[56]12中，这是他与博赫纳（Salomon Bochner）合著的。运用算子理论可以深入讨论如下类型的偏微分方程的性质：图片, Φ=Φ(t; x, y, z)；如同热传导问题，A具有如下形式：
图片,
或者A=(2πi/h)H，H是非定态薛定谔方程中的能量算符。
一篇与舍恩伯格（Isaac Jacob Schoenberg）合作的文章[80]13展现了解析技巧与几何技巧的融合。如果S是一个度量空间，d(f, g)是任意两个元素之间的距离，若函数ft连续并在S中取中值，如有d(ft, fs)=F(t-s)，则称ft是螺旋函数（screw function）。这一基本定理决定了希尔伯特空间上所有此类函数的类，并确定了它们的形式。（任意这种函数F(t)可以由
图片
给出，其中对于u≥0，γ(u) 非减，且图片存在。）
冯·诺伊曼的论文[86]14，也许不如它应有的那么出名，它显示出冯·诺伊曼对近似问题和数值工作越来越感兴趣。在我看来，它具有非常可观的教学价值。他研究了当N很大时，有限个N×N矩阵的性质，以及N维复欧几里得空间上所有线性运算所构成的空间的行为。文章直截了当，并且在前言中明确指出，与通常的方法相比，这种研究极限情况（即无限维酉空间，就是希尔伯特空间）的渐近方法被无端地忽略了。（这种说法与他在《量子力学的数学基础》一书的引言中表达的观点几乎相反，这是很奇怪的。）
概括来说，这篇论文讨论如下问题：哪些N阶矩阵的行为或近似行为表现得如同m阶矩阵，（这里m与N相比很小，而且是N的一个因子）。近似行为的概念在矩阵空间中的给定度量或伪度量下变得精确。我想补充一点，这篇论文的基本论述特征值得称赞，而这并非总能体现在他对希尔伯特空间的研究中。
在与巴格曼（Valentine Bargmann）和蒙哥马利（Deane Montgomery）合作论文[91]15，冯·诺伊曼的思想延续下来。文章包含了求解线性方程组的各种方法，并且从中能看出冯·诺伊曼已经开始考虑用当时已出现的电子机器进行运算的可能性。
对于应用分析问题，战争年代产生了对快速估算和近似结果的需求，这些问题往往不会那么“干净”。也就是说，在数学上是“非齐次的”，除了要计算的物理现象的主要过程之外，还涉及许多外部扰动，其影响在附加变量中不能被忽视甚至不能被分离。这种情况经常出现在当今的技术问题中，迫使人们至少在最初阶段采用数值方法，这样做并不是因为人们需要高精度的结果，而只是为了实现定性分析！那时冯·诺伊曼对数值分析的兴趣大大增加，他意识到了这个对数学纯粹主义者来说可能有些可悲的事实。
与戈德斯坦（H. H. Goldstine）合写的文章[94]16中，他们研究了高阶矩阵的数值反演问题，还试图给出严格的误差估计，在反演~150阶矩阵可实现的精度上获得了有趣的结果。估计值是“在一般情形下”获得的。（“一般”意味着在可信假设统计下，除了一组低概率集合，这些估计成立。）
在随后关于这个主题的论文[109]17中，为了获得最佳的数值估计，他们重新考虑了这个问题。给定矩阵A=(aij)(i, j=1, 2,…, n)，它的元素是独立的随机变量，每个变量呈正态分布，此矩阵的上限超过2.72σn-1/2的概率，比.027×2-nn-1/2小，其中σ是每个变量的离差（dispersion）。
由于需要快速定位和回答数学物理和工程中的问题，快速电子计算机发展起来。作为其副产品，人们有机会进行一些更好玩的工作！在一定程度上满足人们对某些有趣整数序列的好奇心。一个最简单的例子是，在e和π的（无限不循环）小数点后几万位内某数字序列出现的频率。人们在高等研究院的机器上进行了一次这样的计算，给出了2的立方根作其连分式展开中前2000个部分商（partial quotients）。无论问题多么简单, 约翰尼都对这样的实验工作很感兴趣。在洛斯阿拉莫斯关于这些问题的一次讨论中，他要求给出“有趣”的数字来计算它们的连分数展式。我给出了一个四次无理量y，它由方程 y=1/(x+y)给出，其中x=1/(1+x)，在它的展式中可能出现一些奇怪的规律。人们计划计算许多其他数字，但我不知道这个小项目是否真被实施过。
博弈论
博弈论成为了如今数学领域快速发展的新篇章，它本质上是冯·诺伊曼开创的。在发表本文的同期杂志上，A. W. Tucker和H. W. Kuhn的文章18将会介绍他在这一领域的基础工作。”我只想说，这些研究反映了他最为丰富、最有影响的工作。
https://t.cn/A6jyYXxa
是什么让他成为现代计算机之父？丨纪念冯·诺伊曼诞辰120周年（下）
风云之声 2024-01-11 20:03 发表于山东
以下文章来源于返朴 ，作者Stanisław Ulam
图片
本文系冯·诺伊曼诞辰120周年纪念文章的下篇。在上篇中（“氢弹之父”乌拉姆：我的朋友冯·诺伊曼 | 纪念冯·诺伊曼诞辰120周年（上）），著名数学家乌拉姆主要介绍了冯·诺伊曼在数学，特别是数理逻辑、集合论、希尔伯特空间和算子理论等方面的工作；而在下篇中将介绍他在理论物理、博弈论、数值计算、计算机理论以及曼哈顿计划中的贡献。冯·诺伊曼在如此广泛的领域进行了深入的探索，不禁会让人想问：他的研究是否有一条连续的脉络？作为一名问题解决者，或许我们能从他对实际问题的处理上看到其更深远的目标与理想，以及他为什么能成为现代计算机之父。
■ 撰文
斯塔尼斯拉夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）
■ 翻译
圆圆
图片
理论物理
范·霍夫（Léon Van Hove）教授在《冯·诺伊曼对量子理论的贡献》（Von Neumann's contributions to quantum theory）描述了他在理论物理方面的工作。
在之前提到的美国国家科学院的调查问卷中，冯·诺伊曼选择了量子理论的数学基础和遍历定理作为他最重要的科学贡献 (以及前文讨论的算子理论)。这种选择，或者更确切地说是限制，对大多数数学家来说可能很奇怪，但在心理学上却很有趣。这似乎表明，也许他的主要愿望和最强烈的动机之一是，重建数学在理论物理学概念层面（conceptual level）的作用。自第一次世界大战结束以来，抽象数学研究和理论物理主流思想的分离是不可否认的。冯·诺伊曼经常表示担心，数学可能无法跟上物理学中呈指数增长的问题和思想。记得在一次谈话中，我提出了担忧：可能会出现某种马尔萨斯1式的分歧——物理科学和技术以几何级数增长，而数学以算术级数增长。他说这确实可能会这样。然而，在后来的讨论中，我们都坚持希望数学方法会在很长一段时间内保持对精确科学的概念上的控制！
论文[7]2是冯·诺伊曼与希尔伯特以及诺德海姆（Lothar Nordheim）3合著的。根据其序言，它基于希尔伯特于1926年冬天关于量子理论新发展的演讲，并在诺德海姆的帮助下完成。根据引言，这篇论文的重要数学部分和讨论是冯·诺伊曼给出的。
本文的既定目的是引入概率关系，而不是经典力学中严格的函数关系。它还以一种相当简单和更易于理解的方式阐述了约尔当和狄拉克的思想。即使在30年后的今天，冯·诺伊曼的这篇论文以及他在这方面的后续工作，其历史重要性和影响也很难被高估。希尔伯特在公理化方面的伟大纲领在这里获得了另一个重要的应用，即物理理论与相应数学系统之间的同构（isomorphism）。论文引言中明确指出，如果理论的形式化和其物理解释没有简明扼要且完全地分开，人们就很难理解这个理论。这种分离即是本文的目的，尽管人们承认在当时不可能进行完全的公理化。
我们可以在这里补充一点，相对论性不变量子理论的这种完全公理化，将其应用于核现象仍有待实现。4这篇论文概述了对应于物理可观测量的算符演算，讨论了厄米特算符的性质——这些共同构成了《量子力学的数学原理》（Mathematische Begründung der Quantenrnechanik）一文的序言。
关于统计力学在量子理论中的作用和测量问题，冯·诺伊曼明确且精准的想法见论文[10]5。他的名作《量子力学的数学基础》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），给出了公理化处理、测量理论和统计学的详细讨论。
在量子力学史上，至少有两项数学贡献是重要的：狄拉克的数学处理并不总是满足数学严谨性的要求。例如，它假设每个自伴随算符都可以被对角化，这迫使人们为那些无法做到这一点的算符引入狄拉克著名的“反常”函数。正如冯·诺伊曼所说，先验地看来，就像牛顿力学（当时）需要矛盾的无穷小演算一样，量子理论似乎需要一种对无限多个变量进行分析的新形式。冯·诺伊曼所取得的成果表明事实并非如此。也就是说，变换理论（Transformation theory）可以建立在一个明确的数学基础上，不是细扣狄拉克的方法，而是通过发展希尔伯特的算子谱理论。特别是，这是通过他对无界算子的研究来实现的，超越了希尔伯特、里斯（Frigyes Riesz）和施密特等人的经典理论。
第二份贡献构成了他书中第5章和第6章的重要内容。它与量子理论中的测量和可逆性问题有关。几乎从一开始，当海森堡、薛定谔、狄拉克和玻恩的思想首次获得轰动性的成功时，人们就提出了关于非决定论在理论中的作用的问题，并提出建议：通过假设可能的“隐藏”参数（隐变量）来解释这个问题，这些参数在未来被发现时，将回到更决定性的理论描述。冯·诺伊曼证明，该理论表述的统计特征并不是由于执行测量的观察者的状态是未知的。被观察者和观察者组成的系统会导致不确定性关系，即使人们承认观察者的确切状态。这被证明是先验假设的结果，该假设涉及物理量与希尔伯特空间中算子相关联的一般性质。6
这部著作以一种符合数学家气质且技术上有趣的形式呈现了新量子理论的思想，这绝对是第一重要的贡献。因为它试图对物理学家最初构思的理论——依靠并非人人理解的直觉——进行理性呈现；此外它也有巨大的教学价值。虽然不能断言这部著作能否为此后发现的更令人困惑的物理现象引入了新颖的物理思想，毕竟薛定谔、海森堡、狄拉克和其他人在那些年里构建的量子理论仍然只是一个不完整的理论骨架，冯·诺伊曼至少为其严格处理提供了一个逻辑上和数学上明确的基础。
分析、数值计算和流体动力学
在早期的论文[33]7中，冯·诺伊曼通过简单的几何构造证明了变分法中Radó7的基本引理（此引理是说：函数z=f(x, y)满足常数为Δ的李普希兹条件，如果没有最大倾角Δ大于的平面与由所给函数定义的曲面的边界在三个或更多点相交。）这篇论文的有趣之处还在于其证明方法涉及到直接的几何直观（geometric visualizations），这在冯·诺伊曼的已发表作品中并不多见。
论文[41]9是过去四分之一世纪中数学分析领域令人瞩目的成就之一。它给出整个领域第一个精确的数学结果：严格处理统计力学中的遍历假设。冯·诺伊曼受到了库普曼（Bernard Koopman）10的启发，后者曾发现有可能将哈密顿动力系统的研究简化为希尔伯特空间中算子的研究。使用库普曼的表示，冯·诺伊曼证明了现在所谓的弱遍历定理，即测度空间上迭代的、保测度的变换的函数均值的依测度收敛。这一定理不久之后被伯克霍夫（G. D. Birkhoff）以几乎处处收敛的形式加以强化，为经典统计力学提供了第一个严格的数学基础。该领域的后续发展以及这些结果的很多推广已众所周知，在此不再赘述。同样，这种成功归于冯·诺伊曼对集合论中受分析方法启发的技巧的精通，并融合了其在希尔特空间算子方面的独创工作。
数学物理的另一个领域也能够在普遍意义上用现代分析精确地研究。在这个例子中，一开始同样取得了巨大进展，但是当然，这个故事还没有结束；就经典动力学而言，对统计力学基础的数学处理还远远不够！拥有遍历定理和度量可传递变换（metrically transitive transformations）11存在性的知识是非常好的，但这些事实只是该主题的基础。冯·诺伊曼经常在谈话中表达这样一种感觉，即这一领域未来的进展将取决于这样的定理——将在数学上对该学科后续部分进行令人满意的处理。玻尔兹曼方程需要一个完整的数学理论，而系统趋于平衡时的速率需要精确的定理。
冯·诺伊曼在这方面的重要工作体现在文章[56]12中，这是他与博赫纳（Salomon Bochner）合著的。运用算子理论可以深入讨论如下类型的偏微分方程的性质：图片, Φ=Φ(t; x, y, z)；如同热传导问题，A具有如下形式：
图片,
或者A=(2πi/h)H，H是非定态薛定谔方程中的能量算符。
一篇与舍恩伯格（Isaac Jacob Schoenberg）合作的文章[80]13展现了解析技巧与几何技巧的融合。如果S是一个度量空间，d(f, g)是任意两个元素之间的距离，若函数ft连续并在S中取中值，如有d(ft, fs)=F(t-s)，则称ft是螺旋函数（screw function）。这一基本定理决定了希尔伯特空间上所有此类函数的类，并确定了它们的形式。（任意这种函数F(t)可以由
图片
给出，其中对于u≥0，γ(u) 非减，且图片存在。）
冯·诺伊曼的论文[86]14，也许不如它应有的那么出名，它显示出冯·诺伊曼对近似问题和数值工作越来越感兴趣。在我看来，它具有非常可观的教学价值。他研究了当N很大时，有限个N×N矩阵的性质，以及N维复欧几里得空间上所有线性运算所构成的空间的行为。文章直截了当，并且在前言中明确指出，与通常的方法相比，这种研究极限情况（即无限维酉空间，就是希尔伯特空间）的渐近方法被无端地忽略了。（这种说法与他在《量子力学的数学基础》一书的引言中表达的观点几乎相反，这是很奇怪的。）
概括来说，这篇论文讨论如下问题：哪些N阶矩阵的行为或近似行为表现得如同m阶矩阵，（这里m与N相比很小，而且是N的一个因子）。近似行为的概念在矩阵空间中的给定度量或伪度量下变得精确。我想补充一点，这篇论文的基本论述特征值得称赞，而这并非总能体现在他对希尔伯特空间的研究中。
在与巴格曼（Valentine Bargmann）和蒙哥马利（Deane Montgomery）合作论文[91]15，冯·诺伊曼的思想延续下来。文章包含了求解线性方程组的各种方法，并且从中能看出冯·诺伊曼已经开始考虑用当时已出现的电子机器进行运算的可能性。
对于应用分析问题，战争年代产生了对快速估算和近似结果的需求，这些问题往往不会那么“干净”。也就是说，在数学上是“非齐次的”，除了要计算的物理现象的主要过程之外，还涉及许多外部扰动，其影响在附加变量中不能被忽视甚至不能被分离。这种情况经常出现在当今的技术问题中，迫使人们至少在最初阶段采用数值方法，这样做并不是因为人们需要高精度的结果，而只是为了实现定性分析！那时冯·诺伊曼对数值分析的兴趣大大增加，他意识到了这个对数学纯粹主义者来说可能有些可悲的事实。
与戈德斯坦（H. H. Goldstine）合写的文章[94]16中，他们研究了高阶矩阵的数值反演问题，还试图给出严格的误差估计，在反演~150阶矩阵可实现的精度上获得了有趣的结果。估计值是“在一般情形下”获得的。（“一般”意味着在可信假设统计下，除了一组低概率集合，这些估计成立。）
在随后关于这个主题的论文[109]17中，为了获得最佳的数值估计，他们重新考虑了这个问题。给定矩阵A=(aij)(i, j=1, 2,…, n)，它的元素是独立的随机变量，每个变量呈正态分布，此矩阵的上限超过2.72σn-1/2的概率，比.027×2-nn-1/2小，其中σ是每个变量的离差（dispersion）。
由于需要快速定位和回答数学物理和工程中的问题，快速电子计算机发展起来。作为其副产品，人们有机会进行一些更好玩的工作！在一定程度上满足人们对某些有趣整数序列的好奇心。一个最简单的例子是，在e和π的（无限不循环）小数点后几万位内某数字序列出现的频率。人们在高等研究院的机器上进行了一次这样的计算，给出了2的立方根作其连分式展开中前2000个部分商（partial quotients）。无论问题多么简单, 约翰尼都对这样的实验工作很感兴趣。在洛斯阿拉莫斯关于这些问题的一次讨论中，他要求给出“有趣”的数字来计算它们的连分数展式。我给出了一个四次无理量y，它由方程 y=1/(x+y)给出，其中x=1/(1+x)，在它的展式中可能出现一些奇怪的规律。人们计划计算许多其他数字，但我不知道这个小项目是否真被实施过。
博弈论
博弈论成为了如今数学领域快速发展的新篇章，它本质上是冯·诺伊曼开创的。在发表本文的同期杂志上，A. W. Tucker和H. W. Kuhn的文章18将会介绍他在这一领域的基础工作。”我只想说，这些研究反映了他最为丰富、最有影响的工作。
#芙瑟[超话]#
Omg。我真的会变胖的。上次吃螺蛳粉。我觉得非常好吃[色]。她知道我喜欢，立即给我寄了很多。我们认识的时间可能不长，但交谈中我们都感到很开心。我觉得很幸运能够和她交朋友。尤其是今年，我结交了很多朋友。一切都很棒。我希望我们的友谊能够天长地久。
赶快来越南吧。我真的很想认识大家。
感谢Chipu和Liuyase让我们认识了。
谢谢送我礼物的人，我爱你[爱你]
Omg.Tôi thật sự sẽ béo lên . Lần trước tôi đã được ăn món bún ốc. Tôi cảm thấy rất ngon [色]. Cô ấy biết tôi thích liền gửi cho tôi rất nhiều. Chúng tôi có thể quen biết không quá lâu, nhưng trong quá trình nói chuyện chúng tôi đều cảm thấy rất vui vẻ. Tôi cảm thấy mình rất may mắn khi có thể kết bạn với cô ấy. Đặc biệt trong năm nay tôi đã kết bạn được với rất nhiều người. Tất cả đều rất tuyệt vời. Tôi mong tình bạn của chúng ta sẽ ngày càng bền lâu.
Hãy nhanh chóng đến Việt Nam. Tôi rất muốn gặp mọi người.
Cảm ơn Chipu và Liuyase mà chúng tôi đã biết đến nhau.
Cảm ơn người đã tặng quà cho tôi.I love you[爱你] https://t.cn/R2WJvx9
Omg。我真的会变胖的。上次吃螺蛳粉。我觉得非常好吃[色]。她知道我喜欢，立即给我寄了很多。我们认识的时间可能不长，但交谈中我们都感到很开心。我觉得很幸运能够和她交朋友。尤其是今年，我结交了很多朋友。一切都很棒。我希望我们的友谊能够天长地久。
赶快来越南吧。我真的很想认识大家。
感谢Chipu和Liuyase让我们认识了。
谢谢送我礼物的人，我爱你[爱你]
Omg.Tôi thật sự sẽ béo lên . Lần trước tôi đã được ăn món bún ốc. Tôi cảm thấy rất ngon [色]. Cô ấy biết tôi thích liền gửi cho tôi rất nhiều. Chúng tôi có thể quen biết không quá lâu, nhưng trong quá trình nói chuyện chúng tôi đều cảm thấy rất vui vẻ. Tôi cảm thấy mình rất may mắn khi có thể kết bạn với cô ấy. Đặc biệt trong năm nay tôi đã kết bạn được với rất nhiều người. Tất cả đều rất tuyệt vời. Tôi mong tình bạn của chúng ta sẽ ngày càng bền lâu.
Hãy nhanh chóng đến Việt Nam. Tôi rất muốn gặp mọi người.
Cảm ơn Chipu và Liuyase mà chúng tôi đã biết đến nhau.
Cảm ơn người đã tặng quà cho tôi.I love you[爱你] https://t.cn/R2WJvx9
✋热门推荐