或是因为懒，或是觉得过去一年没有精彩到可以为它记录，已经很久没有写过年终总结。但2023这一年，在存在于地球的这几年中，也许可以算是完美一年。
春
疫情结束，却没有给生活带来太大的变化。一切似乎都很顺利，但有时候厌倦了序列有秩的生活，平静里带着谴责，谴责却没有愠火。
夏
虽然不喜欢夏天，但夏天总是美好而热烈的。初夏顶着燥热看了GALA乐队的演出，虽然舞台和音响设备都很垃圾，但还是第一次感受到了现场的魅力。盛夏的时候浅游了泉州，第一次看了木偶戏，以前不太喜欢人文的东西，这次有了改观。
秋
秋啊秋，在暑假快要结束的时候，在平潭蓝眼泪音乐节看到了房东的猫，更好的舞台更好的音响更好的体验，当小黑的声音回荡在沙滩的时候，当夏末秋凉的海风吹过你的脸的时候，疲倦就悄悄消失在瞬间。第二次来泉州，五月天的演唱会为夏天画上了一个圆满的句号。
冬
11月进行了一次五天的特种兵旅行，在所有超过三小时的交通工具中，短暂的感受到前所未有的自由后，就戴上了痛苦面具，但也感叹现代科技可以让你去往地球上任何一个地方。房东的猫十周年演唱会回到了武汉，回到了最开始的地方，从大学礼堂，咖啡馆，livehouse,音乐节再到现在的体育馆，一切都变了又好像一切都没变，两小只在舞台上真诚的分享她们的音乐，也因为她们的音乐吸引了这么多人在现场同频共振。你们说要一起唱到80岁，但你们也说未来的事哪里得知，此刻的心情，此刻的年纪以后都不会再有了，此刻是不会再拥有的此刻了，但此刻是我会永远记住的此刻。后来从武汉去了重庆 : 你好，这个可以做不辣吗？
人们说一切的美好，都很难停留在刚好，可是我还是想在2023抛下一个锚点。
“等我们老了不会遗憾就OK了”
“遗憾也OK的”
金色的火花在迷雾中跳了一曲金色的舞，转个圈，2023就这样过去了。
2024，新年快乐
PS. 感谢又和我混了一年的老朋友，也感谢所有新加入的新朋友。
春
疫情结束，却没有给生活带来太大的变化。一切似乎都很顺利，但有时候厌倦了序列有秩的生活，平静里带着谴责，谴责却没有愠火。
夏
虽然不喜欢夏天，但夏天总是美好而热烈的。初夏顶着燥热看了GALA乐队的演出，虽然舞台和音响设备都很垃圾，但还是第一次感受到了现场的魅力。盛夏的时候浅游了泉州，第一次看了木偶戏，以前不太喜欢人文的东西，这次有了改观。
秋
秋啊秋，在暑假快要结束的时候，在平潭蓝眼泪音乐节看到了房东的猫，更好的舞台更好的音响更好的体验，当小黑的声音回荡在沙滩的时候，当夏末秋凉的海风吹过你的脸的时候，疲倦就悄悄消失在瞬间。第二次来泉州，五月天的演唱会为夏天画上了一个圆满的句号。
冬
11月进行了一次五天的特种兵旅行，在所有超过三小时的交通工具中，短暂的感受到前所未有的自由后，就戴上了痛苦面具，但也感叹现代科技可以让你去往地球上任何一个地方。房东的猫十周年演唱会回到了武汉，回到了最开始的地方，从大学礼堂，咖啡馆，livehouse,音乐节再到现在的体育馆，一切都变了又好像一切都没变，两小只在舞台上真诚的分享她们的音乐，也因为她们的音乐吸引了这么多人在现场同频共振。你们说要一起唱到80岁，但你们也说未来的事哪里得知，此刻的心情，此刻的年纪以后都不会再有了，此刻是不会再拥有的此刻了，但此刻是我会永远记住的此刻。后来从武汉去了重庆 : 你好，这个可以做不辣吗？
人们说一切的美好，都很难停留在刚好，可是我还是想在2023抛下一个锚点。
“等我们老了不会遗憾就OK了”
“遗憾也OK的”
金色的火花在迷雾中跳了一曲金色的舞，转个圈，2023就这样过去了。
2024，新年快乐
PS. 感谢又和我混了一年的老朋友，也感谢所有新加入的新朋友。
《惑三生三世》
天道轮回,三生三世。多少执念，一生弃恶积善。
天道大公，公仆大善，博济苍生，事事为人服务。
好善积德方为仁人。仁人志士，为大公仆，标范公秩，序列井然，蔚为大观。
人多普众，幻万物于理想，厌万物不符理想。能控不能，法制自生。
法令其一，今生无耐，三生三世或可达成！
今解其一，人有冥冥意，不存冥冥世。想过往几千年，人畜繁衍。人不过千千万，畜不过万万千。今泱泱大世界，人畜繁荣数倍，几人三世轮回？人人三世轮回？数目上不能一一对应，性别上不能恰恰相仿。何来轮回对应之变。哪有你我前世今生！
当世不慕仙踪，来世未必地狱。荣荣众生相谐即美。
假如有三世，也是很短，轮为禽鸟，轮为虫鱼，不过数载而过。动物寿命超人寿者极少。为人而生近百年，正是好好修炼佳期！
天道轮回,三生三世。多少执念，一生弃恶积善。
天道大公，公仆大善，博济苍生，事事为人服务。
好善积德方为仁人。仁人志士，为大公仆，标范公秩，序列井然，蔚为大观。
人多普众，幻万物于理想，厌万物不符理想。能控不能，法制自生。
法令其一，今生无耐，三生三世或可达成！
今解其一，人有冥冥意，不存冥冥世。想过往几千年，人畜繁衍。人不过千千万，畜不过万万千。今泱泱大世界，人畜繁荣数倍，几人三世轮回？人人三世轮回？数目上不能一一对应，性别上不能恰恰相仿。何来轮回对应之变。哪有你我前世今生！
当世不慕仙踪，来世未必地狱。荣荣众生相谐即美。
假如有三世，也是很短，轮为禽鸟，轮为虫鱼，不过数载而过。动物寿命超人寿者极少。为人而生近百年，正是好好修炼佳期！
【隨便瞎寫】E8與雜化弦理論，3D超引力，穩定格點模型，玻色可逆拓撲序和伊辛模型
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
隨後是玻色spt的分類。這個是我比較熟悉的結果，簡單來說就是2d的無對稱性玻色spt由E8的場論模型刻畫，即你用Chern-Simons理論寫出其拉氏量，前面的耦合常數換成所謂的K矩陣，這個K矩陣就是E8的cartan matrix。這也是玻色可逆拓撲序中唯一非平凡的情況。其分類空間是K(Z,4)*Z，這裡K(G,n)是Eilenberg–MacLane space，任何一個熟悉代數拓撲的人應該都久聞大名。
隨後是穩定格點構型。這個結果非常有意思，我剛知道不久。簡單來說，就是E8的格點的構型極其穩定，在8維和24維歐式空間中，如果有大量粒子，且勢能是U(r1, r2) = f(|r1-r2|)形式的相互作用，且f是單調函數，那麼能量最低的構型就是E8 lattice。注意這兩個維數，8與24，這與雜化弦的10與26有關就仿佛寫在臉上了。這也是我意識到不對的第一個征兆。這個結果看起來很有意思，表面上是物理但實際上是來源還是數學問題。一開始是眾所周知的密堆積問題，後來發展出了kissing number，再然後給出了leech lattice Λ24。其實此時已經和物理有關係了，R^24/Λ24和玻色弦的頂點算子代數（VOA）有關，這自然聯繫到了二維共形場論，我們先按下不表。
然後是Ising model。這個則是十年前較為有名的結果，即2010年science上一篇文章說實驗上用CoNb2O6“驗證了”自然界存在E8對稱性。這是怎麼回事呢？簡單來說CoNb2O6這個材料可以用1+1維z方向上有磁場微擾的量子伊辛模型刻畫，其哈密頓量如图4。在無微擾（即gz=0）的情況，這個1+1維的量子模型在gx=1時候，零溫時有相變，這是任何一個凝聚態物理學家都熟知的結果。此時相變點有標度不變性自然給出了一個共性場論，對應於中心荷c=1/2的極小模型，可以用Virasoro代數的表示序列構造。這個表示序列由兩個參數刻畫，一個是中心荷c，另一個是h，這裡2/(h+2)是物理量的conformal dimension。而這些表示的構造過程可以通過限制仿射李代數的表示實現，這裡仿射李代數就是一個緊李代數g的無窮維loop algebra的中心擴張，這被稱為coset constraction。而對於c=1/2的極小模型，我們有兩種g的選擇，一種是g=su(2)，另一種就是g=e8。此時如果我們加上gz的磁場微擾，此時這個極小模型CFT可以用所謂的仿射盛和場論（Affine Toda Field Theory, ATFT）描述。其拉適量如图5給出，這裡2維實標量場phi從李代數g的嘉當子代數h中取值，(,)是李代數的Killing form，β是耦合常數，E是一個g*C中與其共軛交換的半單元素。此時，我們的李群有兩種選擇，一個是g=su(2)，此時對應的h=2，那麼算符的conformal dimension是1/2，任何一個學過共形場論的人都能立刻想到這對應了能量。此時，微擾就對應了零溫下溫度的微擾，這可以用最經典的Ising model的理論描繪。而g=e8的情況下，h=30，此時conformal dimension為1/16，這就是磁場，對應了加磁場的微擾論。而CoNb2O6自然對應了這樣一個體系。另外，這個體系形成的准粒子也對應於E8格點的同心圓（图3），也就是8種不同的准粒子。
到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，罪魁禍首是魔群月光。E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
j^{1/3}=q^{-1/3}(1 + 248 q + 4124 q^2 + 34752 q^3 + ... )
這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
不過其實我一直隱隱約約知道弦論和魔群月光的關係，只是卻不知道他們和統計也是一體的。為我的愚鈍，不學無術和不思進取懺悔。
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
隨後是玻色spt的分類。這個是我比較熟悉的結果，簡單來說就是2d的無對稱性玻色spt由E8的場論模型刻畫，即你用Chern-Simons理論寫出其拉氏量，前面的耦合常數換成所謂的K矩陣，這個K矩陣就是E8的cartan matrix。這也是玻色可逆拓撲序中唯一非平凡的情況。其分類空間是K(Z,4)*Z，這裡K(G,n)是Eilenberg–MacLane space，任何一個熟悉代數拓撲的人應該都久聞大名。
隨後是穩定格點構型。這個結果非常有意思，我剛知道不久。簡單來說，就是E8的格點的構型極其穩定，在8維和24維歐式空間中，如果有大量粒子，且勢能是U(r1, r2) = f(|r1-r2|)形式的相互作用，且f是單調函數，那麼能量最低的構型就是E8 lattice。注意這兩個維數，8與24，這與雜化弦的10與26有關就仿佛寫在臉上了。這也是我意識到不對的第一個征兆。這個結果看起來很有意思，表面上是物理但實際上是來源還是數學問題。一開始是眾所周知的密堆積問題，後來發展出了kissing number，再然後給出了leech lattice Λ24。其實此時已經和物理有關係了，R^24/Λ24和玻色弦的頂點算子代數（VOA）有關，這自然聯繫到了二維共形場論，我們先按下不表。
然後是Ising model。這個則是十年前較為有名的結果，即2010年science上一篇文章說實驗上用CoNb2O6“驗證了”自然界存在E8對稱性。這是怎麼回事呢？簡單來說CoNb2O6這個材料可以用1+1維z方向上有磁場微擾的量子伊辛模型刻畫，其哈密頓量如图4。在無微擾（即gz=0）的情況，這個1+1維的量子模型在gx=1時候，零溫時有相變，這是任何一個凝聚態物理學家都熟知的結果。此時相變點有標度不變性自然給出了一個共性場論，對應於中心荷c=1/2的極小模型，可以用Virasoro代數的表示序列構造。這個表示序列由兩個參數刻畫，一個是中心荷c，另一個是h，這裡2/(h+2)是物理量的conformal dimension。而這些表示的構造過程可以通過限制仿射李代數的表示實現，這裡仿射李代數就是一個緊李代數g的無窮維loop algebra的中心擴張，這被稱為coset constraction。而對於c=1/2的極小模型，我們有兩種g的選擇，一種是g=su(2)，另一種就是g=e8。此時如果我們加上gz的磁場微擾，此時這個極小模型CFT可以用所謂的仿射盛和場論（Affine Toda Field Theory, ATFT）描述。其拉適量如图5給出，這裡2維實標量場phi從李代數g的嘉當子代數h中取值，(,)是李代數的Killing form，β是耦合常數，E是一個g*C中與其共軛交換的半單元素。此時，我們的李群有兩種選擇，一個是g=su(2)，此時對應的h=2，那麼算符的conformal dimension是1/2，任何一個學過共形場論的人都能立刻想到這對應了能量。此時，微擾就對應了零溫下溫度的微擾，這可以用最經典的Ising model的理論描繪。而g=e8的情況下，h=30，此時conformal dimension為1/16，這就是磁場，對應了加磁場的微擾論。而CoNb2O6自然對應了這樣一個體系。另外，這個體系形成的准粒子也對應於E8格點的同心圓（图3），也就是8種不同的准粒子。
到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，罪魁禍首是魔群月光。E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
j^{1/3}=q^{-1/3}(1 + 248 q + 4124 q^2 + 34752 q^3 + ... )
這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
不過其實我一直隱隱約約知道弦論和魔群月光的關係，只是卻不知道他們和統計也是一體的。為我的愚鈍，不學無術和不思進取懺悔。
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