芝加哥大学24Fall首开全日制金融硕士
Master in Finance是商学院自MiM项目后推出的第二个应届生可申请的硕士项目。
有四个专业方向:
●资产管理
●投资银行
●金融科技
●金融研究
现在就能递交申请!建议申请人学过高级定量课程并接触编程,包括: 线性代数、统计学、多变量微积分、Python、C++
第一轮截止时间:2024年1月25日
第二轮截止时间:2024年3月29日
#美国留学[超话]#
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趣题妙解
[原创] 平面一点和正n边行或者圆和球等的一大类问题
已知平面上有任意一点P,到一正n边顶点行或者圆的三点ABC距离分别为abc。正n边行顶点依次编号,已知三点的编号mnk。圆的话可以用三点圆心角坐标标记三点。正n边行顶点也是对应的圆心角坐标。
求点P到正n边行顶点或者圆其它点的距离,能给出解析表达式的给出解析表达式。
点P到顶点的距离abc,还可以换成三个点P顶到两相临顶点围成的面积,或者说到任意3条边的距离等等。
圆就是正n边行的极限。圆还可以换成球等等。
其实这些都是一个大的同类问题,点P的坐标xy和圆半径r。有些球类问题其实是考虑的点P和球心一个平面的圆和点问题,否则球类问题还需要增加一个条件,就是解xyz和r。
前面正n边行我已经得到很好的漂亮解析表达式。先让大家有兴趣的解答解答。
正n边行因为没有圆的月牙拱,就没有了反正余弦的超越函数,所以解析式也非常漂亮。但是方程要反解出来解析表达式,也需要一点技巧。
图1图2的点P可以在圆外面,就号里面上任意一点。图3的两垂直面切圆或者推广的切球,点P必须在内部,否则一个为0了就失去了作用了。或者可以那一个空的面,像前面正n变形的一样,只要两个面还和圆或者球有相交,都可以扩展成负的面积或者体积。这样P点范围扩大一些,可能更利于计算。
圆和球的问题,因为方程是带反正余弦函数,不能得到直接的解析解。可以代码得到高精度的数值解。
前面正n边问题行有漂亮的解析解形式。
圆和球问题的Python代码:
# 两互相垂直平面切一圆或者球,切成四部分,依次面积或者体积为abcd。已知abc,求d=?
# copy by yuange 2023.9.20 n 精度位数
from mpmath import *
n=10
mp.dps=n+1
rn='\r\n'
def yuan(a,b,c):
s=lambda x:pi+2*(x*sqrt(1-x*x)+asin(x))
f1=lambda x,y:s(x)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(b+c)
f2=lambda x,y:s(-y)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(a+b)
x,y=findroot([f1,f2],[0,0])
return (x,y,sqrt(2*(b+c)/s(x)),2*pi*(b+c)/s(x)-(a+b+c))
def qiu(a,b,c):
xy=lambda x,y:sqrt(1-x*x-y*y)
r=lambda x:sqrt(1-x*x)
v=lambda x,y: 2*x*y*xy(x,y)+2*acos(x/r(x)*y/r(y))+(x**3-3*x)*acos(y/r(x))+(y**3-3*y)*acos(x/r(y))
f1=lambda x,yy**3-3*y+2)*(b+c)+(x**3-3*x-2)*(a+b)
f2=lambda x,y:v(x,y)*(a+b)-pi*(y**3-3*y+2)*a
x,y=findroot([f1,f2],[0,0])
return (x,y,cbrt(3*(a+b)/pi/(y**3-3*y+2)),4*(a+b)/(y**3-3*y+2)-(a+b+c))
print(yuan(12,20,25),rn)
print(qiu(12,20,25),rn)
运行结果:
Python3IDE(Python 3.7) running!
(mpf('0.19231802719341'), mpf('0.091107290257496'), mpf('4.8000946072789'), mpf('15.385148055037'))
(mpf('0.16507055607961'), mpf('0.076424040881472'), mpf('2.5839653811418'), mpf('15.268440309097'))
Pytho3IDE run end!
[原创] 平面一点和正n边行或者圆和球等的一大类问题
已知平面上有任意一点P,到一正n边顶点行或者圆的三点ABC距离分别为abc。正n边行顶点依次编号,已知三点的编号mnk。圆的话可以用三点圆心角坐标标记三点。正n边行顶点也是对应的圆心角坐标。
求点P到正n边行顶点或者圆其它点的距离,能给出解析表达式的给出解析表达式。
点P到顶点的距离abc,还可以换成三个点P顶到两相临顶点围成的面积,或者说到任意3条边的距离等等。
圆就是正n边行的极限。圆还可以换成球等等。
其实这些都是一个大的同类问题,点P的坐标xy和圆半径r。有些球类问题其实是考虑的点P和球心一个平面的圆和点问题,否则球类问题还需要增加一个条件,就是解xyz和r。
前面正n边行我已经得到很好的漂亮解析表达式。先让大家有兴趣的解答解答。
正n边行因为没有圆的月牙拱,就没有了反正余弦的超越函数,所以解析式也非常漂亮。但是方程要反解出来解析表达式,也需要一点技巧。
图1图2的点P可以在圆外面,就号里面上任意一点。图3的两垂直面切圆或者推广的切球,点P必须在内部,否则一个为0了就失去了作用了。或者可以那一个空的面,像前面正n变形的一样,只要两个面还和圆或者球有相交,都可以扩展成负的面积或者体积。这样P点范围扩大一些,可能更利于计算。
圆和球的问题,因为方程是带反正余弦函数,不能得到直接的解析解。可以代码得到高精度的数值解。
前面正n边问题行有漂亮的解析解形式。
圆和球问题的Python代码:
# 两互相垂直平面切一圆或者球,切成四部分,依次面积或者体积为abcd。已知abc,求d=?
# copy by yuange 2023.9.20 n 精度位数
from mpmath import *
n=10
mp.dps=n+1
rn='\r\n'
def yuan(a,b,c):
s=lambda x:pi+2*(x*sqrt(1-x*x)+asin(x))
f1=lambda x,y:s(x)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(b+c)
f2=lambda x,y:s(-y)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(a+b)
x,y=findroot([f1,f2],[0,0])
return (x,y,sqrt(2*(b+c)/s(x)),2*pi*(b+c)/s(x)-(a+b+c))
def qiu(a,b,c):
xy=lambda x,y:sqrt(1-x*x-y*y)
r=lambda x:sqrt(1-x*x)
v=lambda x,y: 2*x*y*xy(x,y)+2*acos(x/r(x)*y/r(y))+(x**3-3*x)*acos(y/r(x))+(y**3-3*y)*acos(x/r(y))
f1=lambda x,yy**3-3*y+2)*(b+c)+(x**3-3*x-2)*(a+b)
f2=lambda x,y:v(x,y)*(a+b)-pi*(y**3-3*y+2)*a
x,y=findroot([f1,f2],[0,0])
return (x,y,cbrt(3*(a+b)/pi/(y**3-3*y+2)),4*(a+b)/(y**3-3*y+2)-(a+b+c))
print(yuan(12,20,25),rn)
print(qiu(12,20,25),rn)
运行结果:
Python3IDE(Python 3.7) running!
(mpf('0.19231802719341'), mpf('0.091107290257496'), mpf('4.8000946072789'), mpf('15.385148055037'))
(mpf('0.16507055607961'), mpf('0.076424040881472'), mpf('2.5839653811418'), mpf('15.268440309097'))
Pytho3IDE run end!
圆心0点,半径为r,两垂直直线方向分别未xy轴,交点坐标(x,y)。四个面积依次分别为abcd。
有:
A=1/2(y*(r^2-y^2)^0.5+r^2*asin(y/r))
B=1/2(x*(r^2-x^2)^0.5+r^2*asin(x/r))
pi/4*r^2-A-B+xy=a
pi/4*r^2-A+B-xy=b
pi/4*r^2+A+B+xy=c
pi/4*r^2+A-B-xy=d
xyrabcd总共7个未知数,4个方程,所以三个自由度。知道3个就可以求出别的。
有意思的就是图中这样已知3个面积求另1个面积。
不过如果数据不是特殊值不太好解方程,只能是数值解了。
Python 代码如下:
from sympy import *
x,y,r,a,b,c,d=symbols('x y r a b c d',real=True)
'''
A=1/2(y*(r^2-y^2)^0.5+r^2*asin(y/r))
B=1/2(x*(r^2-x^2)^0.5+r^2*asin(x/r))
pi/4*r^2-A-B+xy=a
pi/4*r^2-A+B-xy=b
pi/4*r^2+A+B+xy=c
pi/4*r^2+A-B-xy=d
'''
A=(y*sqrt(r*r-y*y)+r*r*asin(y/r))/2
B=(x*sqrt(r*r-x*x)+r*r*asin(x/r))/2
a=12
b=20
c=25
aa=pi/4*r*r-A-B+x*y-a
bb=pi/4*r*r-A+B-x*y-b
cc=pi/4*r*r+A+B+x*y-c
dd=pi/4*r*r+A-B-x*y-d
eq1=Eq(0,aa)
eq2=Eq(0,bb)
eq3=Eq(0,cc)
eq4=Eq(0,dd)
res=nsolve((eq1,eq2,eq3,eq4),(x,y,r,d),(0,0,1,12))
print(res)
得到数值解结果:
Python3IDE(Python 3.7) running!
Matrix([[0.923144725213288], [0.437323612648651], [4.80009460727725], [15.3851480550887]])
Pytho3IDE run end!
面积15.385
有:
A=1/2(y*(r^2-y^2)^0.5+r^2*asin(y/r))
B=1/2(x*(r^2-x^2)^0.5+r^2*asin(x/r))
pi/4*r^2-A-B+xy=a
pi/4*r^2-A+B-xy=b
pi/4*r^2+A+B+xy=c
pi/4*r^2+A-B-xy=d
xyrabcd总共7个未知数,4个方程,所以三个自由度。知道3个就可以求出别的。
有意思的就是图中这样已知3个面积求另1个面积。
不过如果数据不是特殊值不太好解方程,只能是数值解了。
Python 代码如下:
from sympy import *
x,y,r,a,b,c,d=symbols('x y r a b c d',real=True)
'''
A=1/2(y*(r^2-y^2)^0.5+r^2*asin(y/r))
B=1/2(x*(r^2-x^2)^0.5+r^2*asin(x/r))
pi/4*r^2-A-B+xy=a
pi/4*r^2-A+B-xy=b
pi/4*r^2+A+B+xy=c
pi/4*r^2+A-B-xy=d
'''
A=(y*sqrt(r*r-y*y)+r*r*asin(y/r))/2
B=(x*sqrt(r*r-x*x)+r*r*asin(x/r))/2
a=12
b=20
c=25
aa=pi/4*r*r-A-B+x*y-a
bb=pi/4*r*r-A+B-x*y-b
cc=pi/4*r*r+A+B+x*y-c
dd=pi/4*r*r+A-B-x*y-d
eq1=Eq(0,aa)
eq2=Eq(0,bb)
eq3=Eq(0,cc)
eq4=Eq(0,dd)
res=nsolve((eq1,eq2,eq3,eq4),(x,y,r,d),(0,0,1,12))
print(res)
得到数值解结果:
Python3IDE(Python 3.7) running!
Matrix([[0.923144725213288], [0.437323612648651], [4.80009460727725], [15.3851480550887]])
Pytho3IDE run end!
面积15.385
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