求圆内接正方形面积一例
大罕

【题目】设P是正方形ABCD的外接圆上一点，满足PA×PC=56，PB×PD=90，求ABCD的面积.

【解1】记正方形ABCD的外接圆直径为d，连接AC、BD，则AC=BD=d，

作PM⊥AC、PN⊥BD，垂足为M、N，如图1，
在矩形OMPN中，PM^2+PN^2=OP^2=(d/2)^2，
56=PA×PC=AC×PM=PM×d
90=PB×PD=BD×PN=PN×d，

∴56^2+90^2=d^2×(PM^2+PN^2) =(d^2) (d/2)^2=(d^4)/4=AB^4，
∴正方形ABCD面积＝AB^2=(11236)^(1/2)=106.

【解2】设∠PAC=α，∠PBD=β，直径AC=BD=d，如图2，则

PA×PC=(d^2)sinαcosα=(1/2)(d^2)sin2α，

PB×PD=(1/2)(d^2)sin2β，
∵α+β所对的弧是(1/4)圆周，∴2α+2β=π/2，
∴56^2+90^2=(1/4)(d^4)[(sin2α)^2+(cos2α)^2] =(1/4)(d^4)，
∴正方形ABCD面积=(1/2)(d^2)
=(56^2+90^2)^(1/2)=106.

注：本题是基础题.

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项目信息

项目名称：HUALUXE北京西南华邑（洲际）酒店

项目地点：北京

发展商：北京市海淀区玉渊潭农工商总公司

酒店管理：洲际酒店集团 (IHG)

总建筑面积：45,000 ㎡

完工时间：2021年

室内设计：P A L DESIGN GROUP

主创设计师：梁景华 Patrick Leung

项目管理：单子忠 John Sin

设计团队：蔡志华Steven Choy、桂超、车萌

摄影师：史云峰

照片版权：P A L DESIGN GROUP

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