数学的三个时代之二—变量的数学(1)
1. 变量和函数：在16世纪，运动的研究是物理学的核心问题。由于实践的需要和科学本身的整体发展，物理科学导致这个问题并导致对涉及变量相互依存的各种其它问题的研究。
作为变化的量一般性质的反映，数学中出现变量和函数的概念，正是数学主题的这种基本延伸决定向新阶段的过渡，即变量的数学的过渡。物体在给定轨迹中的运动规律，例如沿直线由物体所覆盖的距离随时间增加的方式定义。因此伽利略(1564-1642)通过确定下落距离与时间的平方成正比增加发现自由落体定律。这个事实用众所周知的公式表示为：
s = g·t^2/2，(1);
其中g大约等于9.81m/s(米每秒)。一般而言，运动定律表示在时间t内经过的距离。这里时间t和距离s分别是自变量-独立变量(independent variable)和因变量-非独立变量(dependent variable)，每个时间t对应一个确定的距离s的意思是说距离s是时间t的函数。
变量和函数这两个数学概念无非是对具体变量(如时间、距离、速度、旋转角度、所绘出的面积)及它们之间的相互依存关系(距离取决于时间等)的抽象概括。正如实数的概念是任意大小的实际值的抽象图像一样，变量是变化大小的抽象图像，它在所考虑的过程中假定各种值。数学变量x是无非就是某量或更准确地说是可具有各种数值的任何东西。这是一般变量的含义；特别的，我们能通过它理解时间、距离或任何其它变量。
函数完全一样，函数是一个变量对另一个变量的依赖性的抽象图像。 y是x的函数的断言在数学上仅意味着x的每个可能值都对应一个确定的y值。 y值和x值之间的这种对应关系称为函数。例如，根据落体定律，通过公式(1)，所经过的距离对应于落体的时间。距离是时间的函数。让我们看看其它一些例子。
下落物体的能量由其质量和速度表示，根据公式如下。
E = m·υ^2/2，(2);
对于给定的物体，能量E是速度υ的函数。
根据熟悉的定律，单位时间内通过电流在导体中产生的热量由公式表示
Q = R·I^2/2， (3);
其中I是电流的大小，R是导体的电阻。对于给定的电阻，单位时间内产生的每个电流I都对应一定量的热量Q，即Q是I的函数。
给定锐角α和对应边为x的直角三角形S的面积(见图5)由以下公式表示
S = 1/2·x^2·tanα, (4)；
对于给定的角度α，面积是边x的函数。所有这些公式(1)-(4)可统一为如下函数：
y = 1/2·a·x^2, (5);
这个通用公式表示从具体变量大小t、s、E、Q、υ等过渡到一般变量x和y及从具体依赖关系(1)、(2)、(3)、(4))到它们的一般形式(5)。力学和电学与具体的公式(1)、(2)、(3)有关，把具体的量级相互关联，但函数的数学理论处理一般公式(5)，没有把这个公式与任何具体的量联系起来。
对具体事物的下一个抽象程度在于检查的不是y对x的给定依赖性，如y= 1/2·a·x^2、y = sinx、y = logx等，而是y的一般依赖性在用抽象公式表示的x上
y = f(x);
这个公式表明y的大小通常是x的某个函数；换言之，对于x假定的每个值，都以某种方式对应一个确定的值y。因此数学主题不仅包括某些给定的函数(y = 1/2·x^2,，y = sinx等)，而且包括任意(更准确地说或多或少任意)函数。这些抽象程度，首先是舍弃具体量，然后舍弃具体函数的抽象步骤与整数概念形成的抽象步骤蕾丝：首先，从具体对象集合的抽象导致整数的概念(1、3、12等)，然后进一步的抽象导致一般的任意整数的概念。这种概括是分析和综合之间深刻相互作用的结果：以新概念的形式分析单独的相互关系和综合，分析它们的共同特征。
致力于研究函数的数学分支称为分析或通常称为无穷小分析，因为函数研究中最重要的元素之一是无穷小的概念。
由于函数是一个量对另一个量的依赖的抽象图像，我们说，数学分析把变量之间的依赖关系作为其主题，不是在一个具体的量和另一个量之间，而是在一般变量之间，从其内容中抽象出来。这种抽象保证广泛的应用，因为一个公式或一个定理包含无数可能的具体情况。我们的简单公式(1)--(5)给出一个实例。因此，分析与算术和代数的完全类比变得明显。它们都起源于一定的实际问题，对现实世界中的具体关系给出一般的抽象表达。
2. 因此，始于17世纪的数学新时期可定义为分析的诞生和发展时期。 这是前面提到的三个重要时期中的第三个。当然，可以理解的是，没有理论是由于新概念的形成而产生的，分析不能仅来自概念的存在—变量和函数。为了建立一个理论，尤其是像数学分析这样一个完整的科学分支，新概念必须变得活跃，可以说，在它们之间发现新的关系且它们允许解决方案的新问题。
但更重要的是新概念能产生和发展并变得更加普遍和精确，只有基于它们使我们能解决的问题，只有通过它们构成一部分的那些定理。变量和函数的概念并没有在伽利略、笛卡尔、牛顿或其他任何人的头脑中以完整的形式出现。许多数学家都想到它们(例如与对数有关的纳皮尔)，并逐渐采用牛顿和莱布尼茨的或多或少清晰但绝不是最终的形式，在随后的分析发展中变得更加精确和普遍。变量和函数现在的定义是在19世纪才制定的，但即使它也不是绝对严格的或完全是最终的。即使在目前，函数概念的发展仍在继续。
数学分析基于新力学科学提供的材料以及几何和代数问题。 1637年，笛卡尔的几何学出现，这为所谓的解析几何奠定基础。笛卡尔的基本思想如下。假设我们给出的方程如下
x^2 + y^2 = a^2, (6);
在代数中x和y被理解为未知数且由于给定的方程不允许确定它们，因此它对代数没有任何本质意义。笛卡尔没有把x和y视为未知数，可从方程中找到，而是把它视为变量；这样给定的方程表达两个变量的相互依赖关系。这样的方程可写成一般形式，把它的所有项都放在左边，因此：
F(x,y) = 0;
此外，笛卡尔把坐标x、y引入平面，我们现在称为笛卡尔坐标(图 6)。这样，每对值x和y对应一个点，反之，每个点对应一对坐标x,y。因此方程F(x, y) = 0确定平面上坐标满足方程的那些点的几何轨迹。一般来说，这是一条曲线。例如，等式(6)确定以原点为圆心、半径为a的圆的周长。实际上，从图7明显看出，根据毕达哥拉斯定理，x^2 + y^2是坐标为x和y 的原点O到点M的距离的平方。所以等式(6)表示那些到原点的距离等于a的点的几何轨迹，a是圆的周长。
与此相反，由几何条件给出的点的几何轨迹也可以由用坐标表示代数语言中相同条件的方程给出。例如，定义圆的周长的几何条件，即它是与给定点等距的点的几何轨迹，能用等式(6)用代数语言表达。
因此解析几何的一般问题和方法如下：我们用平面上的曲线表示两个变量的给定方程，并从方程的代数性质研究相应曲线的几何性质；反之，由曲线的几何性质求出方程，再由方程的代数性质研究曲线的几何性质。通过这种方式，几何问题能简化为代数问题，并最终简化为计算问题。
解析几何的内容在C3详细讨论。我们现在希望把注意力集中在一个事实上，从我们的简短解释中可明显看出，它起源于几何、代数和可变幅度的一般概念的结合。解析几何早期的主要几何内容是圆锥曲线、椭圆、双曲线和抛物线的理论。正如我们所指出的，这个理论是由古希腊人发展起来的。 Apollonius的结果以几何形式包含圆锥截面的方程。这种几何内容与希腊人时代之后发展的代数形式的结合以及运动研究中产生的可变大小的一般概念，产生解析几何。
古希腊人感兴趣的圆锥曲线是纯数学兴趣的主题，但到笛卡尔时代，它们对天文学、力学和技术驱动的大航海时代具有实际重要性。开普勒(1571–1630)发现行星以椭圆形绕太阳运动，伽利略确立一个事实，即抛在空中的物体，无论是石头还是炮弹，都沿抛物线运动(至一阶近似，如果我们可忽略空气阻力)。于是，参考圆锥曲线的各种量级的计算就成为当务之急，而笛卡尔的方法正好解决这个问题。因此，他的方法是由数学的先前发展为他的方法准备的，而方法本身是由科学技术的不断要求而产生的。
3. 微分和积分: 牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶在微积分和积分的建立中迈出变量数学的第二个决定性步骤。这是分析的真正开始，因为微积分的主题是函数本身的属性，与解析几何的主题不同，即几何图形。事实上，牛顿和莱布尼茨只是完成大量的准备工作，许多数学家共享这些工作，并回到古希腊人制定的确定面积和体积的方法。
这里不解释微积分和积分的基本概念以及它们之后的分析理论，因为这在专门讨论这些理论的章节中完成。我们只想提请注意微积分的来源，主要是力学的新问题和几何的旧问题，后者包括绘制给定曲线的切线及确定面积和体积。这些几何问题早在17世纪初就已被古人研究过(知道提到阿基米德就足够了)，开普勒、卡瓦列里等人也曾研究过。但决定性的事件是发现这两类问题之间的显著关系并提出解决它们的一般方法。这是牛顿和莱布尼茨的成就。
这种关系使我们能把力学问题与几何学问题联系起来，因为坐标方法有可能对一个变量对另一个变量的依赖性进行图形表示，或换句话说函数。借助这种图形表示，我们很容易把前面提到的力学和几何问题之间的关系公式化，这是微积分和积分的来源，从而描述这两种类型的一般内容的微积分。
当我们知道在任何给定时间经过的距离时，微积分基本上是一种求运动速度的方法。这个问题是通过微分法解决的。事实证明，这个问题完全等同于在表示距离对时间的依赖性的曲线上画一条切线。t时刻的速度等于曲线在t对应点处的切线斜率(图8)。
积分学基本上是一种在速度已知的情况下求出所经过的距离的方法，或者更一般地说，是求出变量作用的总结果的方法。这个问题显然是微分问题(求速度的问题)的反面；它是通过积分解决的。事实证明，积分问题完全等同于找到表示速度与时间相关性的曲线下面积的问题。从时刻t1到时刻t2的时间间隔内所覆盖的距离等于图上与值t1和t2对应的直线之间的曲线下面积(图9)。
通过从微积分问题的机械公式中抽象出来，并通过处理函数而不是距离或速度对时间的依赖，我们以抽象的形式获得微分和积分问题的一般概念。
微积分的基础，以及整个分析的后续发展是极限的概念，它比变量和函数的其它基本概念形成得稍晚。在分析的早期，极限后来扮演的角色被无穷小这个有点模糊的概念所取代。按照鹿路程变化规律，实际计算速度的方法是微分法，按照给定速度计算路程是积分法，都是建立在代数与极限概念的联合的基础上。分析起源于把这些概念和方法应用于上述力学和几何问题(以及某些其它问题如极大值和极小值问题)。反过来，分析对于力学的发展是绝对必要的。在力学定律的表述中，它的概念已经以潜在的形式出现。例如，由牛顿自己制定的牛顿第二定律指出动量的变化与作用力成正比(更准确地说动量的变化率与作用力成正比)。如果想利用这个定律，那么我们必须能定义一个变量的变化率即微分(如果我们以加速度与力成正比的形式陈述定律，那么问题保持不变—因为加速度与动量的变化率成正比)。此外，很明显，为陈述支配定律当力是可变的(换句话说，运动以可变的加速度进行)时，我们必须能解决给定其变化率的大小的逆问题；换言之，我们必须能积分。因此有人可能会说牛顿只是被迫发明微积分以发展力学。
1. 变量和函数：在16世纪，运动的研究是物理学的核心问题。由于实践的需要和科学本身的整体发展，物理科学导致这个问题并导致对涉及变量相互依存的各种其它问题的研究。
作为变化的量一般性质的反映，数学中出现变量和函数的概念，正是数学主题的这种基本延伸决定向新阶段的过渡，即变量的数学的过渡。物体在给定轨迹中的运动规律，例如沿直线由物体所覆盖的距离随时间增加的方式定义。因此伽利略(1564-1642)通过确定下落距离与时间的平方成正比增加发现自由落体定律。这个事实用众所周知的公式表示为：
s = g·t^2/2，(1);
其中g大约等于9.81m/s(米每秒)。一般而言，运动定律表示在时间t内经过的距离。这里时间t和距离s分别是自变量-独立变量(independent variable)和因变量-非独立变量(dependent variable)，每个时间t对应一个确定的距离s的意思是说距离s是时间t的函数。
变量和函数这两个数学概念无非是对具体变量(如时间、距离、速度、旋转角度、所绘出的面积)及它们之间的相互依存关系(距离取决于时间等)的抽象概括。正如实数的概念是任意大小的实际值的抽象图像一样，变量是变化大小的抽象图像，它在所考虑的过程中假定各种值。数学变量x是无非就是某量或更准确地说是可具有各种数值的任何东西。这是一般变量的含义；特别的，我们能通过它理解时间、距离或任何其它变量。
函数完全一样，函数是一个变量对另一个变量的依赖性的抽象图像。 y是x的函数的断言在数学上仅意味着x的每个可能值都对应一个确定的y值。 y值和x值之间的这种对应关系称为函数。例如，根据落体定律，通过公式(1)，所经过的距离对应于落体的时间。距离是时间的函数。让我们看看其它一些例子。
下落物体的能量由其质量和速度表示，根据公式如下。
E = m·υ^2/2，(2);
对于给定的物体，能量E是速度υ的函数。
根据熟悉的定律，单位时间内通过电流在导体中产生的热量由公式表示
Q = R·I^2/2， (3);
其中I是电流的大小，R是导体的电阻。对于给定的电阻，单位时间内产生的每个电流I都对应一定量的热量Q，即Q是I的函数。
给定锐角α和对应边为x的直角三角形S的面积(见图5)由以下公式表示
S = 1/2·x^2·tanα, (4)；
对于给定的角度α，面积是边x的函数。所有这些公式(1)-(4)可统一为如下函数：
y = 1/2·a·x^2, (5);
这个通用公式表示从具体变量大小t、s、E、Q、υ等过渡到一般变量x和y及从具体依赖关系(1)、(2)、(3)、(4))到它们的一般形式(5)。力学和电学与具体的公式(1)、(2)、(3)有关，把具体的量级相互关联，但函数的数学理论处理一般公式(5)，没有把这个公式与任何具体的量联系起来。
对具体事物的下一个抽象程度在于检查的不是y对x的给定依赖性，如y= 1/2·a·x^2、y = sinx、y = logx等，而是y的一般依赖性在用抽象公式表示的x上
y = f(x);
这个公式表明y的大小通常是x的某个函数；换言之，对于x假定的每个值，都以某种方式对应一个确定的值y。因此数学主题不仅包括某些给定的函数(y = 1/2·x^2,，y = sinx等)，而且包括任意(更准确地说或多或少任意)函数。这些抽象程度，首先是舍弃具体量，然后舍弃具体函数的抽象步骤与整数概念形成的抽象步骤蕾丝：首先，从具体对象集合的抽象导致整数的概念(1、3、12等)，然后进一步的抽象导致一般的任意整数的概念。这种概括是分析和综合之间深刻相互作用的结果：以新概念的形式分析单独的相互关系和综合，分析它们的共同特征。
致力于研究函数的数学分支称为分析或通常称为无穷小分析，因为函数研究中最重要的元素之一是无穷小的概念。
由于函数是一个量对另一个量的依赖的抽象图像，我们说，数学分析把变量之间的依赖关系作为其主题，不是在一个具体的量和另一个量之间，而是在一般变量之间，从其内容中抽象出来。这种抽象保证广泛的应用，因为一个公式或一个定理包含无数可能的具体情况。我们的简单公式(1)--(5)给出一个实例。因此，分析与算术和代数的完全类比变得明显。它们都起源于一定的实际问题，对现实世界中的具体关系给出一般的抽象表达。
2. 因此，始于17世纪的数学新时期可定义为分析的诞生和发展时期。 这是前面提到的三个重要时期中的第三个。当然，可以理解的是，没有理论是由于新概念的形成而产生的，分析不能仅来自概念的存在—变量和函数。为了建立一个理论，尤其是像数学分析这样一个完整的科学分支，新概念必须变得活跃，可以说，在它们之间发现新的关系且它们允许解决方案的新问题。
但更重要的是新概念能产生和发展并变得更加普遍和精确，只有基于它们使我们能解决的问题，只有通过它们构成一部分的那些定理。变量和函数的概念并没有在伽利略、笛卡尔、牛顿或其他任何人的头脑中以完整的形式出现。许多数学家都想到它们(例如与对数有关的纳皮尔)，并逐渐采用牛顿和莱布尼茨的或多或少清晰但绝不是最终的形式，在随后的分析发展中变得更加精确和普遍。变量和函数现在的定义是在19世纪才制定的，但即使它也不是绝对严格的或完全是最终的。即使在目前，函数概念的发展仍在继续。
数学分析基于新力学科学提供的材料以及几何和代数问题。 1637年，笛卡尔的几何学出现，这为所谓的解析几何奠定基础。笛卡尔的基本思想如下。假设我们给出的方程如下
x^2 + y^2 = a^2, (6);
在代数中x和y被理解为未知数且由于给定的方程不允许确定它们，因此它对代数没有任何本质意义。笛卡尔没有把x和y视为未知数，可从方程中找到，而是把它视为变量；这样给定的方程表达两个变量的相互依赖关系。这样的方程可写成一般形式，把它的所有项都放在左边，因此：
F(x,y) = 0;
此外，笛卡尔把坐标x、y引入平面，我们现在称为笛卡尔坐标(图 6)。这样，每对值x和y对应一个点，反之，每个点对应一对坐标x,y。因此方程F(x, y) = 0确定平面上坐标满足方程的那些点的几何轨迹。一般来说，这是一条曲线。例如，等式(6)确定以原点为圆心、半径为a的圆的周长。实际上，从图7明显看出，根据毕达哥拉斯定理，x^2 + y^2是坐标为x和y 的原点O到点M的距离的平方。所以等式(6)表示那些到原点的距离等于a的点的几何轨迹，a是圆的周长。
与此相反，由几何条件给出的点的几何轨迹也可以由用坐标表示代数语言中相同条件的方程给出。例如，定义圆的周长的几何条件，即它是与给定点等距的点的几何轨迹，能用等式(6)用代数语言表达。
因此解析几何的一般问题和方法如下：我们用平面上的曲线表示两个变量的给定方程，并从方程的代数性质研究相应曲线的几何性质；反之，由曲线的几何性质求出方程，再由方程的代数性质研究曲线的几何性质。通过这种方式，几何问题能简化为代数问题，并最终简化为计算问题。
解析几何的内容在C3详细讨论。我们现在希望把注意力集中在一个事实上，从我们的简短解释中可明显看出，它起源于几何、代数和可变幅度的一般概念的结合。解析几何早期的主要几何内容是圆锥曲线、椭圆、双曲线和抛物线的理论。正如我们所指出的，这个理论是由古希腊人发展起来的。 Apollonius的结果以几何形式包含圆锥截面的方程。这种几何内容与希腊人时代之后发展的代数形式的结合以及运动研究中产生的可变大小的一般概念，产生解析几何。
古希腊人感兴趣的圆锥曲线是纯数学兴趣的主题，但到笛卡尔时代，它们对天文学、力学和技术驱动的大航海时代具有实际重要性。开普勒(1571–1630)发现行星以椭圆形绕太阳运动，伽利略确立一个事实，即抛在空中的物体，无论是石头还是炮弹，都沿抛物线运动(至一阶近似，如果我们可忽略空气阻力)。于是，参考圆锥曲线的各种量级的计算就成为当务之急，而笛卡尔的方法正好解决这个问题。因此，他的方法是由数学的先前发展为他的方法准备的，而方法本身是由科学技术的不断要求而产生的。
3. 微分和积分: 牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶在微积分和积分的建立中迈出变量数学的第二个决定性步骤。这是分析的真正开始，因为微积分的主题是函数本身的属性，与解析几何的主题不同，即几何图形。事实上，牛顿和莱布尼茨只是完成大量的准备工作，许多数学家共享这些工作，并回到古希腊人制定的确定面积和体积的方法。
这里不解释微积分和积分的基本概念以及它们之后的分析理论，因为这在专门讨论这些理论的章节中完成。我们只想提请注意微积分的来源，主要是力学的新问题和几何的旧问题，后者包括绘制给定曲线的切线及确定面积和体积。这些几何问题早在17世纪初就已被古人研究过(知道提到阿基米德就足够了)，开普勒、卡瓦列里等人也曾研究过。但决定性的事件是发现这两类问题之间的显著关系并提出解决它们的一般方法。这是牛顿和莱布尼茨的成就。
这种关系使我们能把力学问题与几何学问题联系起来，因为坐标方法有可能对一个变量对另一个变量的依赖性进行图形表示，或换句话说函数。借助这种图形表示，我们很容易把前面提到的力学和几何问题之间的关系公式化，这是微积分和积分的来源，从而描述这两种类型的一般内容的微积分。
当我们知道在任何给定时间经过的距离时，微积分基本上是一种求运动速度的方法。这个问题是通过微分法解决的。事实证明，这个问题完全等同于在表示距离对时间的依赖性的曲线上画一条切线。t时刻的速度等于曲线在t对应点处的切线斜率(图8)。
积分学基本上是一种在速度已知的情况下求出所经过的距离的方法，或者更一般地说，是求出变量作用的总结果的方法。这个问题显然是微分问题(求速度的问题)的反面；它是通过积分解决的。事实证明，积分问题完全等同于找到表示速度与时间相关性的曲线下面积的问题。从时刻t1到时刻t2的时间间隔内所覆盖的距离等于图上与值t1和t2对应的直线之间的曲线下面积(图9)。
通过从微积分问题的机械公式中抽象出来，并通过处理函数而不是距离或速度对时间的依赖，我们以抽象的形式获得微分和积分问题的一般概念。
微积分的基础，以及整个分析的后续发展是极限的概念，它比变量和函数的其它基本概念形成得稍晚。在分析的早期，极限后来扮演的角色被无穷小这个有点模糊的概念所取代。按照鹿路程变化规律，实际计算速度的方法是微分法，按照给定速度计算路程是积分法，都是建立在代数与极限概念的联合的基础上。分析起源于把这些概念和方法应用于上述力学和几何问题(以及某些其它问题如极大值和极小值问题)。反过来，分析对于力学的发展是绝对必要的。在力学定律的表述中，它的概念已经以潜在的形式出现。例如，由牛顿自己制定的牛顿第二定律指出动量的变化与作用力成正比(更准确地说动量的变化率与作用力成正比)。如果想利用这个定律，那么我们必须能定义一个变量的变化率即微分(如果我们以加速度与力成正比的形式陈述定律，那么问题保持不变—因为加速度与动量的变化率成正比)。此外，很明显，为陈述支配定律当力是可变的(换句话说，运动以可变的加速度进行)时，我们必须能解决给定其变化率的大小的逆问题；换言之，我们必须能积分。因此有人可能会说牛顿只是被迫发明微积分以发展力学。
上完一次课，下一次课的备课压力又来了，心里没底，只好多花时间准备。好在课程组的姐妹抱团齐心，都认真，也不计较多干，都把自己准备的材料做好发到备课群里大家共享。我今天看完资料做好一个PPT，心中稍安。昨天给学生安排第二单元的材料和问题，今晚确定选题，不选的由我指定，有一些组又预定后面的单元，一一记录；加上中秋和国庆的两次调课让人犯晕，题目选好后我再把各班做各题的时间写明。
学生反映课程较难，确实难，我也是要教这门课才新学。不过，我觉得各个单元的题材，与我教的五个班的专业各有接近之处（弘毅学堂，武汉大学的火箭班）：
• The Republic --- 哲学（哲学跟所有单元均有牵涉，可能都熟悉）
• Discourse on Method --- 计算机（笛卡尔，平面直角坐标系）
• The Spirit of Laws --- 文科试验班（PPE, Politics，法治）
• The Origin of Species --- 化学（进化论）
• The Third Wave --- 先进制造（智能时代）
各有侧重，寻找突破点，同舟共济，迎难而进。
学生反映课程较难，确实难，我也是要教这门课才新学。不过，我觉得各个单元的题材，与我教的五个班的专业各有接近之处（弘毅学堂，武汉大学的火箭班）：
• The Republic --- 哲学（哲学跟所有单元均有牵涉，可能都熟悉）
• Discourse on Method --- 计算机（笛卡尔，平面直角坐标系）
• The Spirit of Laws --- 文科试验班（PPE, Politics，法治）
• The Origin of Species --- 化学（进化论）
• The Third Wave --- 先进制造（智能时代）
各有侧重，寻找突破点，同舟共济，迎难而进。
我女朋友的男朋友是我 我竟然在这个雨天没有什么话可对她说的我是张之焕的彼氏这件事雨天的话会出现一个笛卡尔坐标系的平面与立体之间 我会画出爱情的三维轮廓是以X轴Y轴二维空间为前提所谓「下雨Y轴」。。。然后然可能我会把这把伞即使是放在地上形成一个横坐标我也不想错过这么好的淋雨天气 https://t.cn/z8yjzcQ
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