上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
宿命论的简义
所谓宿命论(Fatalism)，是指现在这一世的生命发展及变化都是前世注定的。所以，很多人信算命。而且，在有不幸事故之后，常常以‘命里如此’而得心安，这的确是宿命论具有实用值之处。俗言‘听天由命’，很多善良的人，就是靠所谓‘天命’或‘命运’在安定中生活，确有它的道德价值在。
宿命论的人生观，是一种决定性(Deterministic)的人生观， 而决定这一世的因素，却是前一世的一切。前世的一切，我们显然不清楚是些甚么，所以这种理论不可能有不变的预期值。喜欢算命的人，常常喜欢‘改运’；命上缺火的人，小时候取名字，长辈常常在名字上用火字或火字旁的字。其实，这种改运、补运的行为，已经表示宿命论不是一定。因为既然可以改运，就已经是非决定性（Indeterministic）的人生观了。
二·因果律的简义
所谓因果律，表示任何一种现象或事物都必然有其原因，即‘物有本末，事有终始’、‘种瓜得瓜，种豆得豆’之意。这与宿命论截然不同。这一世的生命发展，可以由不同的努力（即种不同的因），而得到不同的发展（不同的果）。俗云‘事在人为’、‘人定胜天’，就是这种因果看法的说辞。
佛家最注重因果。辟支佛修证的十二因缘法，可说是因果律中最深入内心的一种理念。
但佛家果律特别著重‘缘’这个字，即所谓的‘因、缘、果’。有‘因’无‘缘’，仍不能成‘果’。例如，种子为因，空气、阳光、水分等为缘，开花结果才为果。换句话说，‘因’能不能发展为‘果’，要看客观环境条件来决定。从‘因’到‘果’要看机会，不一定会出现‘果’，它是有机率性的。
如‘因’‘果’中间的‘缘’十分简单，简单得趋近于零，则这种因果律是一种决定性的因果关系，可以包含宿命论，不过它只是特例而已。如‘缘’十分复杂，这种因果关系可以是机率性的（如前段的例子）。宿命论中的改运、补运等作法，可以看成是在‘缘’字上下功夫，以趋吉避凶，不让恶果出现。算命师、看相师是用宿命论来作推算，实际上就是用因果律的理念作改运等修正。
三·科学界的决定性理论
谈到科学界，我们可以物理学的内涵来作考虑。在古典物理中，一物理现象总是有必然的、决定性的因果关系存在。例如，我们手中拿一颗石头，我们一松手它就自由下落，落到地面某处一定的位置。在这‘因’（松手放它）与‘果’（掉落到地面某确定位置）中间的连系，是由大自然中的物理定律所支配在这个自由落体的因果中，自然定律是牛顿的万有引力或地心吸力定律。
如果比较一下日常生活与科学上的因果律，可以很明显地看出：科学上的因果，有十分明确的因果关系，即是大自然的自然定律；生活中谈的因果，则没有十分严密明确的因果关系，更不易用数学公式写出来，甚至常常在因果关系中掺杂著心理的因素，在因果关系的认定上，也有很大的出入。
一定的因，会导致一定的果，表示因果关系是决定性的。这是古典物理的要求。但古典物理中有统计物理的部分，这时的因果关系是属于统计性的。在古典统计物理内，通常考虑很多个相同的系统，虽然我们有一定的因（起始条件），但后来的果却是机率性的，而不是决定性的。
四·科学界的机率性理论
上面一段已经谈到了机率性的因果关系，但仍局限于古典统计物理的范围，其根本来源应该是我们所考虑的系统无法作到真正隔离系统；而且观察所需的时间不能是无穷小，在这时段内，我们只能观察到某物理量的平均值。因此，严格说来，因果关系虽然是机率性的，但因与果间的物理性质仍是决定性的。
现在让我们谈谈量子物理（非古典物理）的机率性因果律。这种因果关系，根本上就是机率性的（Probablistic），表示因果间的物理性质具有机率性的特征。举例来说，我们掉落一颗石头，是决定性的因果关系，已如前述。但如果所掉落的，不是石头，而是质量很小的电子，那么这种属于‘微观’世界的物理量，会出现‘波’的性质，于是就有‘测不准原理’等现象发生；它的掉落路线不能确定，更不用说它落到地面的位置了。这时，因果律本质上就是机率性的。这与前述统计式的机率性，在观念上完全不同。因此，严格讲，物理现象的因果关系，是受著波动式和统计式双重机率性的管制。（详参作者的《物理与佛学》，慧炬文库五○一六）。
这里面有一个明显的问题存在。石头只是比电子重若干倍，何以有这么大的差别？其实，石头也是有波的性质，只是我们不容易察觉而已。因此，最正确的因果律，应是微观性的机率性的因果关系。只是在简单的情形下，或者说机率很大（趋近于1）的情形下， 因果律变成是决定性的因果关系。这里我想引述一个著名而有趣的例子：爱因斯坦早年曾经不赞同量子理论，他曾带著嘲弄的语气，问与他辩论的人们，是否真正相信神灵的权威，是否会求助于掷骰游戏。这表示他不相信机率论，掷骰子是求机率的方法之一。但是到了现在，量子理论几乎已经完全被接受了，机率性的因果关系也已然是充分确定了。
五·楞严经的‘非因缘非自然性’
由以上的种种讨论，我们也许会问，在人生的经验里，有不受因果律（决定性或机率性的因果关系）支配的例子？关于这一点，我想将宇宙万法分为现象（有为法）与本体（无为法）二部分来谈。我以为，现象可以用机率性的因果律（机率性因果律包括决定性因果律）来描叙，但本体则不是简单的问题。对于人的本体或本来面目，当代人能够亲证到的，实在是少之又少，因此如何能在多数人的共识下谈其因果法则？但是《楞严经》卷二说：‘阿难，汝虽先悟本觉妙明，性非因缘，非自然性；而犹未明如是觉元，非和合生及不和合。’在这段经文中，释迦牟尼佛告诉阿难，虽然他对他的本觉（能觉的本体，具有妙明的特性）已经能够悟到不是可以由因缘法则求得了解，也不是自然就有的；但尚未能了悟这种本觉既不是和合（因缘和合）能生出的，也不是不和合能生出的。换句话说，本体（自性）的存在问题，不是任何因缘法则或因果关系所能诠释的。它是超出世间因果法则的。
当我们追求我们的本来面目时，我们不断离开现象界而趋向本体。追到极处的时候，就进入一种从未有过的经验境界，就是所谓‘不生不灭、不垢不净’、‘不起我相人相’的境界，也就是涅槃的境界。假如我们问这种涅槃境界（可以视为我们的本来面目）是怎样存在的？它的因果又是怎样？这只有证到的人才知道。证到的人，可能会说‘当时’无我相无人相，不起思维或念头，而且也超越了时间（不生不灭即不变化）及空间（不起分别无垢无净），当然没有甚么因果法则等理念。但是‘事后’来检讨这种涅槃境界的何以存在，我们也只能以超因果的看法，来规范这种出世法或无为法的人生经验。关于这一点，我们可以举《六祖坛经》自序品内的一段经文来作说明：‘何期自性本自清净，何期自性本不生灭，何期自性本自具足，何期自性本无动摇，何期自性能生万法。’文中的‘何期’，表示六祖对这些自性的特征感到惊叹，不知怎样会有这些出人预期的特殊境界。换言之，他只是‘发现’了有这种本来面目的存在，而不是诠释这种存在。
六·金刚经的无有定法
上面说明，自性的‘存在’问题，不能用世间的因果律来解释。但这并不表示出世法（无为法）没有因果关系。出世法的因果关系，比起世间法（有为法）的机率性还要来得不确定。因此，我想用《金刚经》的‘无有定法’来描叙它。
《金刚经》无得无说分第七，佛陀说：‘须菩提，于意云何？如来得阿耨多罗三藐三菩提耶？如来有所说法耶？须菩提言：“如我解佛所说义，无有定法名阿耨多罗三藐三菩提，亦无有定法如来可说。何以故？如来所说法，皆不可取，不可说，非法非非法。所以者何？一切贤圣皆以无为法而有差别！”’
意思是说，佛陀问须菩提如来得到无上正等正觉吗？如来有说甚么法吗？须菩提的回答是：如照他所了解的来说，没有一定的法是无上正等正觉（即不执著某种一定的境界，即不能有所‘确定’或‘认定’），也没有一定的佛法是如来可以说的。为甚么呢？如来所说的法，都是不可以执取的（执取即有相，即不能有所‘确定’或‘认定’），甚至也不可说，它不是‘法’，也不是‘不是法’（不能有定见，即不能有所‘确定’或‘认定’）。这又是为甚么呢？所有修道有成的人，都是在‘无相’或‘空’的方面（无为法方面），显现其不同成就的差别。
换言之，这里所涉及的因果，是属于‘空’或‘无’方面的无为法，因此无有定法，也就是不能有所‘确定’或‘认定’。类似这种情形，在《金刚经》的一相无相分第九中，佛陀说：‘须菩提，于意云何？须陀洹能作是念──“我得须陀洹果”不？须菩提言：“不也，世尊。”’这种不能确定的情形，有些类似科学界中的测不准原理。当你要‘确定’一电子的位置时，这一确定就给了这个电子极严重的影响，它的动量立刻变到无穷大，它再也不是原来电子的行为了。在出世法里，只要你一有‘认定’或心上有‘确定’，即是心中有相，不是无相，这就离开了出世法或无为法的范围，严重影响到无为法的因果关系。
《金刚经》常常出现‘三句话’的句型，如‘佛说波罗密，即非波罗密，是名波罗密。’这三句话本质上应是顿修顿证的特殊修行方法（请参考拙著《我们的摩尼宝珠》书中的‘甚么是般若法门’，慧炬文库三○一三）；但更详尽扎实的解法，是把它看成一心三观的修行方式。 [参考：吴润江先生注释的《金刚般若波罗密经讲义》]。
当然，也可以作其他解法（《金刚经》注解者凡八百余家）。不过，这三句话是否包含因果关系呢？我想应该是可以的。譬如说，第一句（假观）可以当作因地法行的因，第三句（中观）可以当作果地成就的果。这因与果的关系，也是很不确定的；修一心三观的人很多，成就中观的人却是很少。
世出世间的因果不单是不确定，无有定法，甚至当事人还不一定清楚。现举一个类似神话的例子来谈吧！假设有一位经营大事业的某人，平日助人信佛作了不少功德，这时候事业遇上了挫折，身体健康也发生了严重问题，颇难度过。另有一位修行极高的人，由于某种因缘受其所感，于是在‘定’中给他甘露，使他的健康日形增进，但他只是诧异，不知是吃甚么药好的。他种了些好因（作功德），也得了好的果报，但他完全是不知情的。这种因果很不确定，因为感动这样的高人，需要相当巧的缘份，不是每个好心人都能得到的。
用‘无有定法’来描叙出世法的因果关系，就‘不确定’的程度而言，比机率性的因果律还要来得不确定，已如上述。但如果用肯定性的文字来表达，则《楞严经》的‘循业显现’，描述得入木三分。例如，前一段所谈到的某人，做好事能得好报，其实可说是他的业力召感所致。别人的业力 [共业与别业，请参考《我们的摩尼宝珠》，王智益著（慧炬文库三○一三，慧炬出版社一九八九年十月出版）。]
不同，虽‘种因’相同，不一定能得到同种果报。诸佛在毗卢性海放光不断加持我们，但我们能否得到？或得到多少？则须看我们的修为了，这也就是循业显现的因果。 https://t.cn/RI9Efi9
所谓宿命论(Fatalism)，是指现在这一世的生命发展及变化都是前世注定的。所以，很多人信算命。而且，在有不幸事故之后，常常以‘命里如此’而得心安，这的确是宿命论具有实用值之处。俗言‘听天由命’，很多善良的人，就是靠所谓‘天命’或‘命运’在安定中生活，确有它的道德价值在。
宿命论的人生观，是一种决定性(Deterministic)的人生观， 而决定这一世的因素，却是前一世的一切。前世的一切，我们显然不清楚是些甚么，所以这种理论不可能有不变的预期值。喜欢算命的人，常常喜欢‘改运’；命上缺火的人，小时候取名字，长辈常常在名字上用火字或火字旁的字。其实，这种改运、补运的行为，已经表示宿命论不是一定。因为既然可以改运，就已经是非决定性（Indeterministic）的人生观了。
二·因果律的简义
所谓因果律，表示任何一种现象或事物都必然有其原因，即‘物有本末，事有终始’、‘种瓜得瓜，种豆得豆’之意。这与宿命论截然不同。这一世的生命发展，可以由不同的努力（即种不同的因），而得到不同的发展（不同的果）。俗云‘事在人为’、‘人定胜天’，就是这种因果看法的说辞。
佛家最注重因果。辟支佛修证的十二因缘法，可说是因果律中最深入内心的一种理念。
但佛家果律特别著重‘缘’这个字，即所谓的‘因、缘、果’。有‘因’无‘缘’，仍不能成‘果’。例如，种子为因，空气、阳光、水分等为缘，开花结果才为果。换句话说，‘因’能不能发展为‘果’，要看客观环境条件来决定。从‘因’到‘果’要看机会，不一定会出现‘果’，它是有机率性的。
如‘因’‘果’中间的‘缘’十分简单，简单得趋近于零，则这种因果律是一种决定性的因果关系，可以包含宿命论，不过它只是特例而已。如‘缘’十分复杂，这种因果关系可以是机率性的（如前段的例子）。宿命论中的改运、补运等作法，可以看成是在‘缘’字上下功夫，以趋吉避凶，不让恶果出现。算命师、看相师是用宿命论来作推算，实际上就是用因果律的理念作改运等修正。
三·科学界的决定性理论
谈到科学界，我们可以物理学的内涵来作考虑。在古典物理中，一物理现象总是有必然的、决定性的因果关系存在。例如，我们手中拿一颗石头，我们一松手它就自由下落，落到地面某处一定的位置。在这‘因’（松手放它）与‘果’（掉落到地面某确定位置）中间的连系，是由大自然中的物理定律所支配在这个自由落体的因果中，自然定律是牛顿的万有引力或地心吸力定律。
如果比较一下日常生活与科学上的因果律，可以很明显地看出：科学上的因果，有十分明确的因果关系，即是大自然的自然定律；生活中谈的因果，则没有十分严密明确的因果关系，更不易用数学公式写出来，甚至常常在因果关系中掺杂著心理的因素，在因果关系的认定上，也有很大的出入。
一定的因，会导致一定的果，表示因果关系是决定性的。这是古典物理的要求。但古典物理中有统计物理的部分，这时的因果关系是属于统计性的。在古典统计物理内，通常考虑很多个相同的系统，虽然我们有一定的因（起始条件），但后来的果却是机率性的，而不是决定性的。
四·科学界的机率性理论
上面一段已经谈到了机率性的因果关系，但仍局限于古典统计物理的范围，其根本来源应该是我们所考虑的系统无法作到真正隔离系统；而且观察所需的时间不能是无穷小，在这时段内，我们只能观察到某物理量的平均值。因此，严格说来，因果关系虽然是机率性的，但因与果间的物理性质仍是决定性的。
现在让我们谈谈量子物理（非古典物理）的机率性因果律。这种因果关系，根本上就是机率性的（Probablistic），表示因果间的物理性质具有机率性的特征。举例来说，我们掉落一颗石头，是决定性的因果关系，已如前述。但如果所掉落的，不是石头，而是质量很小的电子，那么这种属于‘微观’世界的物理量，会出现‘波’的性质，于是就有‘测不准原理’等现象发生；它的掉落路线不能确定，更不用说它落到地面的位置了。这时，因果律本质上就是机率性的。这与前述统计式的机率性，在观念上完全不同。因此，严格讲，物理现象的因果关系，是受著波动式和统计式双重机率性的管制。（详参作者的《物理与佛学》，慧炬文库五○一六）。
这里面有一个明显的问题存在。石头只是比电子重若干倍，何以有这么大的差别？其实，石头也是有波的性质，只是我们不容易察觉而已。因此，最正确的因果律，应是微观性的机率性的因果关系。只是在简单的情形下，或者说机率很大（趋近于1）的情形下， 因果律变成是决定性的因果关系。这里我想引述一个著名而有趣的例子：爱因斯坦早年曾经不赞同量子理论，他曾带著嘲弄的语气，问与他辩论的人们，是否真正相信神灵的权威，是否会求助于掷骰游戏。这表示他不相信机率论，掷骰子是求机率的方法之一。但是到了现在，量子理论几乎已经完全被接受了，机率性的因果关系也已然是充分确定了。
五·楞严经的‘非因缘非自然性’
由以上的种种讨论，我们也许会问，在人生的经验里，有不受因果律（决定性或机率性的因果关系）支配的例子？关于这一点，我想将宇宙万法分为现象（有为法）与本体（无为法）二部分来谈。我以为，现象可以用机率性的因果律（机率性因果律包括决定性因果律）来描叙，但本体则不是简单的问题。对于人的本体或本来面目，当代人能够亲证到的，实在是少之又少，因此如何能在多数人的共识下谈其因果法则？但是《楞严经》卷二说：‘阿难，汝虽先悟本觉妙明，性非因缘，非自然性；而犹未明如是觉元，非和合生及不和合。’在这段经文中，释迦牟尼佛告诉阿难，虽然他对他的本觉（能觉的本体，具有妙明的特性）已经能够悟到不是可以由因缘法则求得了解，也不是自然就有的；但尚未能了悟这种本觉既不是和合（因缘和合）能生出的，也不是不和合能生出的。换句话说，本体（自性）的存在问题，不是任何因缘法则或因果关系所能诠释的。它是超出世间因果法则的。
当我们追求我们的本来面目时，我们不断离开现象界而趋向本体。追到极处的时候，就进入一种从未有过的经验境界，就是所谓‘不生不灭、不垢不净’、‘不起我相人相’的境界，也就是涅槃的境界。假如我们问这种涅槃境界（可以视为我们的本来面目）是怎样存在的？它的因果又是怎样？这只有证到的人才知道。证到的人，可能会说‘当时’无我相无人相，不起思维或念头，而且也超越了时间（不生不灭即不变化）及空间（不起分别无垢无净），当然没有甚么因果法则等理念。但是‘事后’来检讨这种涅槃境界的何以存在，我们也只能以超因果的看法，来规范这种出世法或无为法的人生经验。关于这一点，我们可以举《六祖坛经》自序品内的一段经文来作说明：‘何期自性本自清净，何期自性本不生灭，何期自性本自具足，何期自性本无动摇，何期自性能生万法。’文中的‘何期’，表示六祖对这些自性的特征感到惊叹，不知怎样会有这些出人预期的特殊境界。换言之，他只是‘发现’了有这种本来面目的存在，而不是诠释这种存在。
六·金刚经的无有定法
上面说明，自性的‘存在’问题，不能用世间的因果律来解释。但这并不表示出世法（无为法）没有因果关系。出世法的因果关系，比起世间法（有为法）的机率性还要来得不确定。因此，我想用《金刚经》的‘无有定法’来描叙它。
《金刚经》无得无说分第七，佛陀说：‘须菩提，于意云何？如来得阿耨多罗三藐三菩提耶？如来有所说法耶？须菩提言：“如我解佛所说义，无有定法名阿耨多罗三藐三菩提，亦无有定法如来可说。何以故？如来所说法，皆不可取，不可说，非法非非法。所以者何？一切贤圣皆以无为法而有差别！”’
意思是说，佛陀问须菩提如来得到无上正等正觉吗？如来有说甚么法吗？须菩提的回答是：如照他所了解的来说，没有一定的法是无上正等正觉（即不执著某种一定的境界，即不能有所‘确定’或‘认定’），也没有一定的佛法是如来可以说的。为甚么呢？如来所说的法，都是不可以执取的（执取即有相，即不能有所‘确定’或‘认定’），甚至也不可说，它不是‘法’，也不是‘不是法’（不能有定见，即不能有所‘确定’或‘认定’）。这又是为甚么呢？所有修道有成的人，都是在‘无相’或‘空’的方面（无为法方面），显现其不同成就的差别。
换言之，这里所涉及的因果，是属于‘空’或‘无’方面的无为法，因此无有定法，也就是不能有所‘确定’或‘认定’。类似这种情形，在《金刚经》的一相无相分第九中，佛陀说：‘须菩提，于意云何？须陀洹能作是念──“我得须陀洹果”不？须菩提言：“不也，世尊。”’这种不能确定的情形，有些类似科学界中的测不准原理。当你要‘确定’一电子的位置时，这一确定就给了这个电子极严重的影响，它的动量立刻变到无穷大，它再也不是原来电子的行为了。在出世法里，只要你一有‘认定’或心上有‘确定’，即是心中有相，不是无相，这就离开了出世法或无为法的范围，严重影响到无为法的因果关系。
《金刚经》常常出现‘三句话’的句型，如‘佛说波罗密，即非波罗密，是名波罗密。’这三句话本质上应是顿修顿证的特殊修行方法（请参考拙著《我们的摩尼宝珠》书中的‘甚么是般若法门’，慧炬文库三○一三）；但更详尽扎实的解法，是把它看成一心三观的修行方式。 [参考：吴润江先生注释的《金刚般若波罗密经讲义》]。
当然，也可以作其他解法（《金刚经》注解者凡八百余家）。不过，这三句话是否包含因果关系呢？我想应该是可以的。譬如说，第一句（假观）可以当作因地法行的因，第三句（中观）可以当作果地成就的果。这因与果的关系，也是很不确定的；修一心三观的人很多，成就中观的人却是很少。
世出世间的因果不单是不确定，无有定法，甚至当事人还不一定清楚。现举一个类似神话的例子来谈吧！假设有一位经营大事业的某人，平日助人信佛作了不少功德，这时候事业遇上了挫折，身体健康也发生了严重问题，颇难度过。另有一位修行极高的人，由于某种因缘受其所感，于是在‘定’中给他甘露，使他的健康日形增进，但他只是诧异，不知是吃甚么药好的。他种了些好因（作功德），也得了好的果报，但他完全是不知情的。这种因果很不确定，因为感动这样的高人，需要相当巧的缘份，不是每个好心人都能得到的。
用‘无有定法’来描叙出世法的因果关系，就‘不确定’的程度而言，比机率性的因果律还要来得不确定，已如上述。但如果用肯定性的文字来表达，则《楞严经》的‘循业显现’，描述得入木三分。例如，前一段所谈到的某人，做好事能得好报，其实可说是他的业力召感所致。别人的业力 [共业与别业，请参考《我们的摩尼宝珠》，王智益著（慧炬文库三○一三，慧炬出版社一九八九年十月出版）。]
不同，虽‘种因’相同，不一定能得到同种果报。诸佛在毗卢性海放光不断加持我们，但我们能否得到？或得到多少？则须看我们的修为了，这也就是循业显现的因果。 https://t.cn/RI9Efi9
心变了，风水就变了！

很多人都感觉“风水”神秘莫测，但是我所理解的风水其实很简单。我没有学过风水，但是当我领悟了一点佛法的时候，我好像就知道风水是什么、风水在哪里了。
在2011年6月行脚朝拜普陀山的湖北路上，易坛泰斗邵伟华的女儿邵珺曾跟随我一起行脚，我向她请教我对风水的认识对不对，她表示很认可。
在我看来，“风”就是气氛和场能，“水”就是流动和变化。风水有五个方面：
第一个方面就是眼睛。看到的地方是不是美丽，是不是让我们感到舒服。如果看到的地方是美好的、舒服的，这个地方的风水就好。
第二个方面就是耳朵。听到的是声音是悦耳的还是噪音。声音好听，风水就好，有噪音风水就不好。比如靠近高速公路旁边的房子噪音很大，风水自然就不怎么好。其实，最大的噪音是在屋子里发生的，那就是家庭不和——吵架，这对人的伤害很大，对命运的障碍很大，对孩子的成长影响更大。所以，家一定要和，家人之间要彼此沟通，这样才没有障碍，才是好风水。所以古人说，家和(好风水)万事兴。
第三个方面就是鼻子。闻到的气味好不好闻。如果家里面能常常燃香，或者摆放芬芳的鲜花，一进家门闻到的味道很好，风水自然就好。如果所处的地方气味不好，就不是好风水。
第四个方面就是身体。看看家里有没有太多的不锈钢、太多的玻璃和太多尖锐的东西?不锈钢给人的感觉是冰凉的，玻璃也是冰凉的而且易碎，这些东西很容易伤害到我们的身体，所以不是好风水，家里这些东西不能太多。家里养的植物也要特别注意，要养阔叶植物，养针叶植物很容易刺伤身体。我曾经在一个公司看到几盆仙人球养在那里，就问：“养它有什么好处?”他们回答说：“仙人球辟邪。”我说：“你一屁股坐在上面就辟邪了。”其实，真正辟邪的是什么?是正知、正见、正念!如果没有这些，靠仙人球辟邪能有什么用呢?
第五个方面就是意识。就是闭着眼睛用心感觉一个地方是不是祥和，是不是舒服。这是对有形意外的磁场和气息的感觉。比如一个房间，布置得整洁美观，能够让人们感觉到心里很喜悦，很美好，这个房子的风水就很好。如果里面杂乱无章，让人一看就感觉到压抑和烦躁，这就是糟糕的风水。这也就提醒我们平时一定要注意保持家里和工作环境的洁净有序，整洁本身就是一种正面的能量。
总得来说，就是通过这五个方面来判断风水：眼、耳、鼻、身、意。就是佛教说的六根除去舌根后剩下的五根，这个方法人人都能学会。
那么，家里最容易改变的风水是什么呢?很多人喜欢把鞋架放在门口，让家人和客人一进门就看见一堆破鞋子，好看不好看?不好看就知道不是好风水。所以我到一个居士家，把他们家的鞋柜移到了卫生间，门口挂了一幅弥勒菩萨像，所有的人一进门先看到笑嘻嘻的弥勒菩萨，就跟我们的寺院布置一样。一看到弥勒菩萨，我们的心怀就广阔了，心情就欢喜了，这就是好风水。房间里的摆设也很重要，要在公司里或者家里多放些阔叶的植物，让人感觉到有生机，有生机就有生意，这就是好风水。
2004年我云游到黄山的时候，住在黄山下面的一个小庙。遇到一个人，他告诉我他对风水有研究，然后就指责批评社会不好，某人不好，这个地方不好，主人修建得不好……。我对他说，“我感觉你不懂风水。”他认真地强调说他真的懂风水。我又强调回去说“你真的不懂风水。”……
为什么呢?他懂的都是风水的外相，不懂风水的心法。在佛法看来，凡是停留在事物外相而不明事物本质真相的人都是迷信。他还不懂，一个人眼睛去看什么也是风水(看人缺点还是看人优点，看暴力电影还是慈悲电影)，耳朵去听什么也是风水(听是非还是听正能量)，嘴巴去说什么也是风水(说恶还是说善)，身体去干什么也是风水(是杀盗淫还是真善美)，心里去想什么更是大大的风水(贪嗔痴还是戒定慧)。一个人只讲方位、摆设，不讲人的因素，实际上还不算完全懂风水。
所有的风水中，第一风水是什么?是人。人的第一风水是什么?是心。人的第二风水是什么?是嘴巴。人的第三风水是什么?是行为。人的第四风水是什么?是表情和形象，也就是说包括我们的发型和穿着也是风水。所以，最重要的风水要从自己改变，自己改变了，心改变了，由风水引起的各种问题，如不顺利和疾病也就自然消失了。
风水的原理是什么呢?就是佛法中非常核心的四个字——“心生万法”，非常简单，但是大道至简。外在的事物影响了心，心反过来就会影响一切，所以改变风水从根本上讲就是改变心，只要能够让心感到美好，感到喜悦，就是好风水。

很多人都感觉“风水”神秘莫测，但是我所理解的风水其实很简单。我没有学过风水，但是当我领悟了一点佛法的时候，我好像就知道风水是什么、风水在哪里了。
在2011年6月行脚朝拜普陀山的湖北路上，易坛泰斗邵伟华的女儿邵珺曾跟随我一起行脚，我向她请教我对风水的认识对不对，她表示很认可。
在我看来，“风”就是气氛和场能，“水”就是流动和变化。风水有五个方面：
第一个方面就是眼睛。看到的地方是不是美丽，是不是让我们感到舒服。如果看到的地方是美好的、舒服的，这个地方的风水就好。
第二个方面就是耳朵。听到的是声音是悦耳的还是噪音。声音好听，风水就好，有噪音风水就不好。比如靠近高速公路旁边的房子噪音很大，风水自然就不怎么好。其实，最大的噪音是在屋子里发生的，那就是家庭不和——吵架，这对人的伤害很大，对命运的障碍很大，对孩子的成长影响更大。所以，家一定要和，家人之间要彼此沟通，这样才没有障碍，才是好风水。所以古人说，家和(好风水)万事兴。
第三个方面就是鼻子。闻到的气味好不好闻。如果家里面能常常燃香，或者摆放芬芳的鲜花，一进家门闻到的味道很好，风水自然就好。如果所处的地方气味不好，就不是好风水。
第四个方面就是身体。看看家里有没有太多的不锈钢、太多的玻璃和太多尖锐的东西?不锈钢给人的感觉是冰凉的，玻璃也是冰凉的而且易碎，这些东西很容易伤害到我们的身体，所以不是好风水，家里这些东西不能太多。家里养的植物也要特别注意，要养阔叶植物，养针叶植物很容易刺伤身体。我曾经在一个公司看到几盆仙人球养在那里，就问：“养它有什么好处?”他们回答说：“仙人球辟邪。”我说：“你一屁股坐在上面就辟邪了。”其实，真正辟邪的是什么?是正知、正见、正念!如果没有这些，靠仙人球辟邪能有什么用呢?
第五个方面就是意识。就是闭着眼睛用心感觉一个地方是不是祥和，是不是舒服。这是对有形意外的磁场和气息的感觉。比如一个房间，布置得整洁美观，能够让人们感觉到心里很喜悦，很美好，这个房子的风水就很好。如果里面杂乱无章，让人一看就感觉到压抑和烦躁，这就是糟糕的风水。这也就提醒我们平时一定要注意保持家里和工作环境的洁净有序，整洁本身就是一种正面的能量。
总得来说，就是通过这五个方面来判断风水：眼、耳、鼻、身、意。就是佛教说的六根除去舌根后剩下的五根，这个方法人人都能学会。
那么，家里最容易改变的风水是什么呢?很多人喜欢把鞋架放在门口，让家人和客人一进门就看见一堆破鞋子，好看不好看?不好看就知道不是好风水。所以我到一个居士家，把他们家的鞋柜移到了卫生间，门口挂了一幅弥勒菩萨像，所有的人一进门先看到笑嘻嘻的弥勒菩萨，就跟我们的寺院布置一样。一看到弥勒菩萨，我们的心怀就广阔了，心情就欢喜了，这就是好风水。房间里的摆设也很重要，要在公司里或者家里多放些阔叶的植物，让人感觉到有生机，有生机就有生意，这就是好风水。
2004年我云游到黄山的时候，住在黄山下面的一个小庙。遇到一个人，他告诉我他对风水有研究，然后就指责批评社会不好，某人不好，这个地方不好，主人修建得不好……。我对他说，“我感觉你不懂风水。”他认真地强调说他真的懂风水。我又强调回去说“你真的不懂风水。”……
为什么呢?他懂的都是风水的外相，不懂风水的心法。在佛法看来，凡是停留在事物外相而不明事物本质真相的人都是迷信。他还不懂，一个人眼睛去看什么也是风水(看人缺点还是看人优点，看暴力电影还是慈悲电影)，耳朵去听什么也是风水(听是非还是听正能量)，嘴巴去说什么也是风水(说恶还是说善)，身体去干什么也是风水(是杀盗淫还是真善美)，心里去想什么更是大大的风水(贪嗔痴还是戒定慧)。一个人只讲方位、摆设，不讲人的因素，实际上还不算完全懂风水。
所有的风水中，第一风水是什么?是人。人的第一风水是什么?是心。人的第二风水是什么?是嘴巴。人的第三风水是什么?是行为。人的第四风水是什么?是表情和形象，也就是说包括我们的发型和穿着也是风水。所以，最重要的风水要从自己改变，自己改变了，心改变了，由风水引起的各种问题，如不顺利和疾病也就自然消失了。
风水的原理是什么呢?就是佛法中非常核心的四个字——“心生万法”，非常简单，但是大道至简。外在的事物影响了心，心反过来就会影响一切，所以改变风水从根本上讲就是改变心，只要能够让心感到美好，感到喜悦，就是好风水。
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