为师所感(一)

写这篇文章之前我得先声明,我以下发的图片并非显摆。我的生命早已进入倒计时,曾经的的荣誉早已成为过眼云烟。但对我来说,这些图片都清楚地留下了我大半辈子辛勤耕耘的足迹。每一个足迹里都盛满了辛劳的汗水。在我告别人世后,这图片上的一切今后也会如我一样,化为灰烬。今天展示这些图片,我只想告诉所有初为入师、或高考失利、或刚参加工作、或初始创业的年轻人一个道理:有耕耘就有收获,收多收少各异,但只要耕耘了,就不会颗粒无收。

题记

我是一个教师。我很平凡,平凡得30余年来从未离开过讲台。1968年5月,国营新州县红星原种场职工子弟学校唯一的那位教师,扔下几十个学生,另攀高枝了。领导将学校交给了我。我当时只有21岁,从未教过书,也未曾上过师范学院。

这是一所什么样的学校呵!一间办公室,一扇钉着塑料薄膜的窗户,一把摇铃,一个闹钟,一盒粉笔,一块板擦,几本书,如此而己。我不愿教书,也从未想过要当老师。但我看到了教室里那几十个孩子求知如渴的目光时,我心动了,我来到了学校。

我买来了石灰,将教室粉刷一新,装上了玻璃。我发动学生挖了一个大坑,用挖出来的土将教室里坑坑洼洼的地面填平;然后又用推车运来黄沙倒进坑里,砍了几根竹子当跳竿,形成了一个运动沙坑。没有体育器械,我又向我的母校一一武汉二十八中求援。我艰苦创业的精神感动了母校的每一位老师,那位曾给我当过数学老师的校长大笔一挥,“借”给了原种坜学校篮球架、单杠、双杠各一付,宽阔的操场上平添了这些体育器材,顿时显得生机勃勃。当然,这些“借”的东西直到我离开学校时也没有还,它们已成为我当年在原种场职工子弟学校艰苦创业的见证。

如果说建校困难的话,那么教学工作对于我更加艰难。我接手的学校共37名学生,分四、五两个年级,复制班。当时,前任教师留给我的只有几本课本。

没有教具,我动手做,竹子把手戳得鲜血直流,至今手上仍留有疤痕;没有《教参》,我背着才几个月大的孩子往返30多里路到阳逻镇上的小学去借。人家不让我将《教参》带走,我就背着孩子趴在阳逻候船室的椅子上借着候船室里微弱的灯光整整抄了一夜。天亮后当我返回学校时,孩子的一双小腿肿得像柱子,我浑身也湿透了。遇到难题我就不耻下问,跑遍了附近的学校,向有经验的老师请教。同行们都很喜欢我,为我的虚心好学精神所感动,都愿意教我。偶尔回一次武汉看父母,第一件事就是逛书店,可逛书店也只是看看而已,我那时穷得连买盐的钱也没有,哪有钱买书?

我的心血没有白流,我的学生很争气,那一年我所带的毕业班在全区的统考中名列第一。初次的成功增强了我的信心,坚定了我终身献身教育事业的信念,正是这坚定不移的信念支撑着我走过了艰难曲折的大半生。

在我的努力下,学校的规模日益扩大,在我的推荐下,又从原种场内部选拔了两个人担任教师。正在这时,县里分来了两个教师转正名額,我当时尚未转正,占有其中一个转正名额是名正言顺的事,但当领导将表格交给我时,我将两张表格交给了刚来学校的两位女教师。我滿以为今后还会有这样的机遇,哪想到,十五年过去了,再也没有这样的机遇了,而机遇决定命运呵!不久,这两位幸运的女教师转正了,成了名副其实的国家教师,一位进了师范进修,一位堂而皇之成了学校的校长,而我却成了这位校长领导下的一名“以工代教”的民办教师!

多少人为我不平,多少人为我叫屈,有人甚至怂恿我到场里吵闹。我没有闹,因为我是我自己将两张表格给别人的,能怪谁?再说,生活给予我们每个人的不可能像天平称量过的那么均衡,千万不要因为自己得不到就去诋毁,更不要出于自卑而使自己变得凶悍泼辣。而要凭着自己的深沉宽宏的爱,凭着自己做人的尊严和人格的力量,使自己和别人一样。

我不改初衷,一如既往地诚实地生活,默默地耕耘,踏踏实实地尽己所能,埋头于自己所挚爱的事业。从1972年起,我除了担任小学毕业班的课,还担任了初中一个班的语文课。教学、家务两副重担压得我喘不过气来,但我仍然坚持自学不辍。

清晨,当人们还在甜蜜的梦中,我便起床了,担水、做饭......一边干家务,一边啃那些诘屈聱牙的古文;通读全篇,熟悉注解,朗读背诵,一遍、两遍、三遍......直到流畅于口,栏熟于心。

晚上,我孤灯一盏,专心夜读。夜读也是很苦的,当时煤油很紧张,我只能从机务队里找来用过的废柴油点灯,昏黄的火苗伴着缕缕的黑烟跳动,一晚上下来,脸上、鼻孔里全是黑的,连吐的痰也是黑的。但是,书籍的希望之光照亮了我的心头,不尽的知识源泉荡涤了煤油灯带来的污浊,我忘却了尘世的烦恼,获得的却是一种全身心的陶醉和享受。在书里,我找到了精神力量,靠着这种精神力量,我再苦再难也能咬牙支撑下去。我一头扎进教学中,扎进自学的苦海里。

自学是很艰苦的,没有钱买资料,我就用手抄,为了参加面授,我用从嘴里抠出的那点钱将小女儿寄养在旅社附近的居民家里,晚上住最廉价的旅店,啃着干粮,喝着凉水,在昏黄的烛光中,通宵达旦地抄写笔记和讲义......我终于以优异的成绩考取了华中师范学院中文系。遗憾的是,为了让丈夫在前线安心作战,我必须在教好学生的同时照顾好家庭,我必须挑起这副重担,完成这个义务。我又一次忍痛放弃了这一用辛劳的汗水赢来的机遇。

然而,功夫不负苦心人,在经过了漫长的15年孜孜不倦的刻苦自学后,我的文化水平和业务水平有了质的飞跃,对于教育这门课题已是轻车熟路,驾驭自如。

(此文未完,这只是我教学生涯的前15年,后15年的教学生涯待续,) https://t.cn/R2Wxau6

【梁启超98年前谈教育丨这才是真正的开学第一课!】

做一个不惑、不忧、不惧的完整的人

01

如果我问诸君,“为什么进学校?”

我想人人都会众口一词的答道:“为的是求学问”。

再问:“你为什么要求学问?”“你想学些什么?”恐怕各人的答案就很不相同,或者竟自答不出来了。

诸君啊!我替你们回答一句罢:“为的是学做人。”

你在学校里头学的什么数学、几何、物理、化学、生理、心理、历史、地理、国文、英语,乃至什么哲学、文学、科学、政治、法律、经济、教育、农业、工业、商业等等,不过是做人所需的一种手段,不能说专靠这些便达到做人的目的,任凭你把这些件件学的精通,你能够成个人不成个人还是个问题。

孔子说:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”所以教育应分为知育、情育、意育三方面——现在讲的智育、德育、体育,不对,德育范围太笼统,体育范围太狭隘——知育要教到人不惑,情育要教到人不忧,意育要教到人不惧。教育家教育学生,应该以这三件为究竟,我们自动的自己教育自己,也应该以这三件为究竟。

02

怎么样才能不惑呢?最要紧的是养成我们的判断力。想要养成判断力,第一步,最少须有相当的常识,进一步,对于自己要做的事须有专门智识,再进一步,还要有遇事能断的智慧。

假如一个人连常识都没有,听见打雷,说是雷公发威,看见月蚀,说是蛤蟆贪嘴。那么,一定闹到什么事都没有主意,碰到一点疑难问题,就靠求神问卜看相算命去解决,真所谓“大惑不解”,成了最可怜的人了。学校里小学中学所教,就是要人有了许多基本的知识,免得凡事都暗中摸索。

但仅仅有点常识还不够,我们做人,总要各有一件专门职业。这门职业,也并不是我一人破天荒去做,从前已经许多人做过,他们积累了无数经验,发现出好些原理原则,这就是专门学识。

我打算做这项职业,就应该有这项专门的学识。例如我想做农吗,怎么的改良土壤,怎么的改良种子,怎么的防御水旱病虫,等等,都是前人经验有得成为学识的;我们有了这种学识,应用他来处置这些事,自然会不惑,反是则惑了。

做工、做商等等都各有他的专门学识,也是如此。我想做财政家吗,何种租税可以生出何样结果,何种公债可以生出何样结果等等,都是前人经验有得成为学识的;我们有了这种学识,应用他来处置这些事,自然会不惑,反是则惑了。教育家、军事家等等,都各有他的专门学说,也是如此。

我们在高等以上学校所求的知识,就是这一类。但专靠这种常识和学识就够吗?还不能。宇宙和人生是活的不是呆的,我们每日碰见的事理是复杂的变化的,不是单纯的刻板的,倘若我们只是学过这一件,才懂这一件,那么,碰着一件没有学过的事来到跟前,便手忙脚乱了。

所以还要养成总体的智慧,才能有根本的判断力。

这种总的智慧如何才能养成呢?第一件,要把我们向来粗浮的脑筋着实磨炼他,叫他变成细密而且踏实。那么,无论遇着如何繁难的事,我都可以彻头彻尾想清楚他的条理,自然不至于惑了。

第二件,要把我们向来浑浊的脑筋,着实将养他,叫他变成清明。那么,一件事理到跟前,我才能很从容很莹澈的去判断他,自然不至于惑了。以上所说常识学识和总体的智慧,都是知育的要件,目的是教人做到“知者不惑”。

03

怎么样才能不忧呢?

为什么仁者便会不忧呢?想明白这个道理,先要知道中国先哲的人生观是怎么样。

“仁”之一字,儒家人生观的全体大用都包在里头。“仁”到底是什么?很难用言语说明,勉强下个解释,可以说是:“普遍人格之实现。”孔子说:“仁者人也。”意思是说人格完成就叫做“仁”。

但我们要知道,人格不是单独一个人可以表现的,要从人和人的关系上来看。所以“仁”字从二人,郑康成解他做“相人偶”。总而言之,要彼此交感互发,成为一体,然后我的人格才能实现。所以我们若不讲人格主义,那便无话可说;讲到这个主义,当然归宿到普遍人格。

换句话说,宇宙即是人生,人生即是宇宙,我们的人格,和宇宙无二区别,体验得这个道理,就叫做“仁者”。然则这种仁者为什么就会不忧呢?大凡忧之所从来,不外两端,一曰忧成败,二曰忧得失。我们得着“仁”的人生观,就不会忧成败。为什么呢?因为我们知道宇宙和人生是永远不会圆满的,所以《易经》六十四卦,始“乾”而终“未济”。正为在这永远不会圆满的宇宙中,才永远容得我们创造进化。

我们所做的事,不过在宇宙进化几万万里的长途中,往前挪一寸,两寸,那里配说成功呢?然则不做怎么样呢?不做便连这一寸都不往前挪,那可真是失败了。

“仁者”看透这种道理,信得过只有不做事才算失败,肯做事便不会失败。所以《易经》说:“君子以自强不息。”换一方面来看,他们又信得过凡事不会成功的几万万里路挪了一两寸,算成功吗?所以《论语》:“知其不可而为之。”你想,有这种人生观的人,还有什么成败可忧呢?

再者,我们得着“仁”的人生观,便不会忧得失。为什么呢?因为认定这件东西是我的,才有得失之可言。连人格都不是单独存在,不能明确的画出这一部分是我的,那一部分是人家的,然则哪里有东西可以为我们所得?既已没有东西为我所得,当然也没有东西为我所失。

我只是为学问而学问,为劳动而劳动,并不是拿学问劳动等做手段来达某种目的——可以为我们“所得”得。所以老子说:“生而不有,为而不恃。”“既以为人已愈有,既以与人已愈多。”你想,有这种人生观的人,还有什么得失可忧呢?总而言之,有了这种人生观,自然会觉得“天地与我并生,而万物与我为一”,自然会“无人而不自得”。他的生活,纯然是趣味化艺术化。这是最高的情感教育,目的教人做到“仁者不忧”。

04

怎么样才能不惧呢?

有了不惑不忧功夫,惧当然会减少许多了。但这是属于意志方面的事。一个人若是意志力薄弱,便会有丰富的智识,临时也会用不着,便有优美的情操,临时也会变了卦。

然则,意志怎么会才坚强呢?头一件须要心地光明,孟子说:“浩然之气,至大至刚。行有不慊于心,则馁矣。”又说:“自反而不缩,虽褐宽博,吾不惴焉;自反而缩,虽千万人,吾往矣。”

俗话说得好:“生平不作亏心事,夜半敲门心不惊。”一个人要保持勇气,须要从一切行为可以公开做起,这是第一着。第二件要不为劣等欲望之所牵制。

《论语》记:子曰:“吾未见刚者。”或对曰伸枨。子曰:“枨也欲,焉刚。”一被物质上无聊得嗜欲东拉西扯,那么百炼成刚也会变成绕指柔了。总之,一个人的意志,由刚强变为薄弱极易,由薄弱返到刚强极难。一个人有了意志薄弱的毛病,这个人可就完了。

自己作不起自己的主,还有什么事可做?受别人压制,做别人奴隶,自己只要肯奋斗,终必能恢复自由。自己的意志做了自己情欲的奴隶,那么,真是万劫沉沦,永无恢复自由的余地,终身畏首畏尾,成了个可怜人了。

孔子说:“和而不流,强哉矫;中立而不倚,强哉矫。国有道,不变塞焉,强哉矫;国无道,至死不变,强哉矫。”我老实告诉诸君说罢,做人不做到如此,决不会成一个人。但做到如此真是不容易,非时时刻刻做磨炼意志的功夫不可,意志磨炼得到家,自然是看着自己应做得事,一点不迟疑,扛起来便做,“虽千万人吾往矣。”这样才算顶天立地做一世人,绝不会有藏头躲尾左支右绌的丑态。这便是意育的目的,要教人做到“勇者不惧”。

05

我们拿这三件事作做人的标准,请诸君想想,我自己现时做到哪一件——哪一件稍微有一点把握。倘若连一件都不能做到,连一点把握都没有,嗳哟!那可真危险了,你将来做人恐怕做不成。讲到学校里的教育吗,第二层的情育,第三层的意育,可以说完全没有,剩下的只有第一层的知育。就算知育罢,又只有所谓常识和学识,至于我所讲的总体智慧靠来养成根本判断力的,却是一点儿也没有。

这种“贩卖知识杂货店”的教育,把他前途想下去,真令人不寒而栗!现在这种教育,一时又改革不来,我们可爱的青年,除了他更没有可以受教育的地方。诸君啊!你到底还要做人不要?你要知道危险呀,非你自己抖擞精神方法自救,没有人救你呀!

诸君啊!你千万别要以为得些断片的智识,就算是有学问呀。我老实不客气告诉你罢;你如果做成一个人,知识自然是越多越好:你如果做不成一个人,知识却是越多越坏。

你不信吗?试想想全国人所唾骂的卖国贼某人某人,是有智识的呀,还是没有智识的呢?试想想全国人所痛恨的官僚政客——专门助军阀作恶鱼肉良民的人,是有智识的呀,还是没有智识的呢?诸君须知道啊,这些人当十几年前在学校的时代,意气横历,天真烂漫,何尝不和诸君一样?为什么就会堕落到这样的田地呀?

屈原说:“何昔日之芳草兮,今直为此萧艾也!岂其有他故兮,莫好修之害也。”天下最伤心的事,莫过于看着一群好好的青年,一步一步的往坏路上走。诸君猛醒啊!现在你所厌所恨的人,就是你前车之鉴了。

诸君啊!你现在怀疑吗?沉闷吗?悲哀痛苦吗?觉得外边的压迫你不能抵抗吗?我告诉你:你怀疑和沉闷,便是你因不知才会惑;你悲哀痛苦,便是你因不仁才会忧;你觉得你不能抵抗外界的压迫,便是你因不勇才有惧。这都是你的知、情、意未经过修养磨炼,所以还未成个人。我盼望你有痛切的自觉啊!有了自觉,自然会成功。那么,学校之外,当然有许多学问,读一卷经,翻一不史,到处都可以发现诸君的良师呀!

诸君啊,醒醒罢!养足你的根本智慧,体验出你的人格人生观,保护好你的自由意志。你成人不成人,就看这几年哩!

看到推特上@AndresECaicedo1 写的一串帖子,相当有意思,题目叫“√17是无理数吗?”。

柏拉图的《泰阿泰德》篇中有这样一段:
=============================
泰阿泰德:经你这么一说,苏格拉底,事情现在显得容易了。你提出的这个问题的意义似乎与此地一位与你同名的苏格拉底发现的问题属于同一类,前不久我与他交谈过。
苏格拉底:那是什么问题,泰阿泰德?
泰阿泰德:当时塞奥多洛在这里给我们讲平方根,面积为三平方尺或五平方尺的正方形的每一边(或根)都无法用代表一尺的线段来度量,以这种方式,他逐一举例,一直讲到十七平方尺。然后由于某些原因而停了下来。这个时候我们想到,这些平方根显然是无穷的,我们应该尝试着找一个集合名词,用它来表示所有这样的平方根。
苏格拉底:你们找到了吗?
泰阿泰德:我想是的,但我想听听你的看法。
苏格拉底:你先说完。
泰阿泰德:我们把所有的数分成两类。我们把任何作为某数自身相乘而得到的数比作正方形,称之为正方形数或等边形数。
苏格拉底:太好了!
泰阿泰德:任何介于此类数之间的数,例如三、五,或者任何不能靠某数自身相乘获得,但有一个因子大于或小于其他因子,因而其相应图形的对边也总是不相等的数,我们把它们比作长方形,称作长方形数。
苏格拉底:好极了!请说下去。
泰阿泰德:我们把所有用来代表等边形数、构成这个平面图形的所有相等的边的线段定义为边长,而由正方形的边长构成的平面图形的面积与某个长方形的面积相等,我们把作为正方形的边长的线段称之为平方根(不尽根),因为这些线段不能用其他长度的线段来度量,而只有用面积与以它们为边长构成的平面图形相等的正方形的边长才能加以度量。关于立方体的同类问题还有另一个区别。
苏格拉底:无法再好了,我的年轻朋友们,我敢肯定没有人会指控塞奥多洛作伪证。
=============================

雅典的泰阿泰德是公元前四世纪的古希腊数学家,以研究无理数(成就大多数记载在欧几里得《几何原本》的第十卷里)和证明了正多面体只有五种而著名。他是对话中提到的昔兰尼的塞奥多洛的学生,塞奥多洛也以对无理数的研究闻名。对话中说塞奥多洛证√3是无理数,然后√5是无理数等等,一直到√17时,“由于某些原因而停了下来”。这个原因是什么呢?

我们先来看著名的√2是无理数的证明,据说毕达哥拉斯学派的希帕索斯因为发现了这个证明而被丢入海中溺死。
=============================
假如√2是有理数,也就是能被写作两个整数之比,记
√2 = p/q
我们可以假设这里p/q已被约分,也即p和q不能同时是偶数。于是
2q^2 = p^2
等式左边是个偶数,于是右边p^2也是偶数。但只有偶数的平方才会是偶数,所以p必须是偶数,设p=2t。于是
2q^2 = (2t)^2 = 4t^2
q^2 = 2t^2
类似上面的推理,这下q也得是偶数了,和假设矛盾。得证。
=============================

对于任何一个素数s,上面这个证法可以推广成证√s是无理数:只要把“是偶数”换成“能被t整除”就行了,特别的关键就是只有能被素数t整除的数的平方才能被t整除。√17当然就能这样被证明是无理数。

√5当然也能按照上面这个方法来证明它是无理数,但是看下面这个证明:
=============================
假如√5是有理数,也就是能被写作两个整数之比,记
√5 = p/q
我们可以假设这里p/q已被约分,也即p和q不能同时是偶数。于是
5q^2 = p^2
如果p和q中有一个是偶数,那么另一个就得是奇数,但这是不可能的,因为这种情况下上面的等式一边是偶数一边是奇数。所以它们两个都得是奇数,设p=2t+1,q=2s+1。于是
5(2s+1)^2 = (2t+1)^2
20s^2+20s+5 = 4t^2+4t+1
20s^2+20s+4 = 4t^2+4t
5s^2+5s+1 = t^2+t
5s(s+1)+1 = t(t+1)
连着的两个整数的乘积一定是偶数,因为里面必有一个偶数。于是上式左边是奇数,右边是偶数,得到矛盾。得证。
=============================

上面这个证明仍旧只基于奇偶性作推理而得出矛盾。有趣的是这样的方式也对比如√8这样不是素数的平方根有效:
=============================
假如√8是有理数,也就是能被写作两个整数之比,记
√8 = p/q
我们可以假设这里p/q已被约分,也即p和q不能同时是偶数。于是
8q^2 = p^2
显然p必须是偶数。设p=2t。于是
8q^2 = (2t)^2
8q^2 = 4t^2
2q^2 = t^2
我们已经见过这种情况下q必须是偶数,得到矛盾。得证。
=============================

事实上,对2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15(也即小于17的所有非平方正整数)都能只用奇偶法来证明它们的平方根,但是这种方法在证明√17是无理数时失效了。这很可能就是《泰阿泰德》篇中塞奥多洛“由于某些原因而停了下来”的原因。

古希腊人大概把数的奇偶性看得很重要,《泰阿泰德》篇中有这样的话:
=============================
苏格拉底:现在再次设想一下这个人捕捉他想要得到的知识,追捕、捉住、再放飞。我们该用什么样的术语来描述这个过程,用一些与我们用来描述最初的获得过程相同的术语,还是用其他不同的术语?举个例子也许可以帮助你明白我的意思。有一门被你们称为“算术”的科学。
泰阿泰德:对。
苏格拉底:那么把这门科学想象为追逐所有数,偶数和奇数。
泰阿泰德:我会这样做的。
=============================
那么塞奥多洛坚持用这种用奇偶性来作推理证明平方根无理性的做法也就容易理解了。

但是严格地什么叫做“只用奇偶性作推理”呢?√17是无理数是否真是“只用奇偶性作推理”无法推出的?美国亚利桑那州立大学的两位数学家Victor Pambuccian和Celia Schacht提出了一套(或几套)比皮亚诺公理系统弱的算术公理系统(他们称之为“关于奇偶的算术系统”),在其中可以证明任何非平方数的无理性,除了那些形如8k+1的数的平方根外——17正是最小的这样的非平方数。(附图是这个系统的前15条公理,定义了一个被记作PA-的弱算术公理系统)


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