高手如何赚钱：最小回报最大化
让我们从《普林斯顿概率论读本》的一道题开始：
有人在拉斯维加斯下了一个赌注，押A球队能在常规赛中保持不败，最后赢得冠军，赔率是1000比1，他下注了500美元，若获胜将拿走50万美元。
他运气不错，A球队进入了总决赛，并在比赛中以微弱优势领先于对手B球队。这意味着，如果势头不变，他的500美元将变成50万美元。
这时候拉斯维加斯打来电话，说愿意用15万美元买走他的下注。
如果他答应，15万美元马上到手，但可能失去赚50万的机会；
如果他不答应，就有机会拿走50万美元，但也可能一分钱都赚不到。
你会选择哪一个？
上面那位球迷对A球队很有信心，拒绝了“立即拿走15万美元”，而是选择已经快到嘴边的50万美元。
这是一个真实的故事。第四十二届超级碗，巨人队（B球队）在终场前35秒大逆转，赢了爱国者队（A球队）。那位朋友的50万美元就这样飞走了。
什么事情都可能发生。所谓的胜券在握，真的只是一个概率问题。
这位下注者做错了什么？
如果我们假设A球队的获胜概率大于50%，那么下注A球队的期望值也大于（50万 50%=25万）。该期望值既然大于15万。所以下注者的选择“拒绝拉斯维加斯开出的15万条件”，似乎是对的。
从概率的角度看，有些正确的选择未必有对的结果。类似于打德扑这类多次博弈，把决策的过程和结果分开看（虽然仍是一个整体），是传奇女扑克牌手安妮·杜克的关键思维模式。
可是，数十万美金，对谁都不是小数字。而且对于普通球迷来说，用500美元换来这么大的赢钱机会，一辈子都难得有一次。如果无法多次重复，概率思维还有用吗？
更不用说还有期望效用和损失厌恶对决策者的影响。
其实，下注者还有另外一种选择，可以让他稳赢数十万美元！
《普林斯顿概率论读本》的作者米勒教授给出了具体的方法--对冲：
下注者当时可以再下注押B球队赢。这样，不管哪一方获胜，他都可以有可观的收入。
让我们来算一下：
假设A球队的胜率是80%，因为拉斯维加斯要利用赔率差来赚钱，所以假设押注B队赢的赔率是3。就胜率而言，这是一个对下注者不利的赔率。（这部分表述和书中略有不同。）
这样一来，这个真实故事中的主角就迎来了一次对冲的机会，他可以反手再下一把注，押B队赢。如果计算妥当的话，不管是A队赢，还是B队赢，下注者都会稳赚。
那么，他应该下注多少呢？
如上所述，我们设该下注于B队的金额为B，所以：
A队胜的回报是（50万-500-B）；
B队胜的回报是（B 3-500-B）。
由于双边下注，我们至少会获得两种结果中较小的那个回报，所以接下来我们要追求的是：
令两种结果中较小的那个数值最大化。
如图，横坐标是B的数值，即下注于B球队的金额：
红线是假如A获胜的回报，表示为：（50万-500-B）
蓝线是假如B获胜的回报，表示为：（B 3-500-B）
纵坐标是A队胜和B队胜的不同回报。图中实线部分，是两种可能结果中的最小值，如图可知最小值的最高点是（B 3=50万）。
当（B 3=50万）时，不管哪一边获胜，我们赚到的金额是一样的。
计算结果是：B约为16.67万美元，下注者可以稳赚的最小金额是33.28万。
对冲之后，稳赚的金额比拉斯维加斯开出的收购价（15万美元）要高，同时也避免了因为意外发生而导致的50万“概率收益”归零。
我们可以将第二次押B队赢的行为，视为给起初押A队赢的概率权买个保险。考虑到单边押A队赢的期望值为（50万 80%=40万美元），押注于B队赢的16.67万美元在扣除成本后，换来最少稳赢的33.28万，还是很合算的。
请尤其留意，在另外一头下注，不可避免地拉低了整体期望值，原因是：拉斯维加斯对赔率的控制，令下注者押B球队的独立期望值是负数。
假设下注金额是B，A队的胜率是80%，下注B队的赔率是3，500和B是两头下注的本金，那么预期收益是：
80% 500000 20% B 3-（500 B）
而只押注于A队的期望值，是：80% 500000-500.
也就是说，为了实现对冲而下注两次的期望值，貌似要小于只下注于A队。 #投资#https://t.cn/RpkBJkx价值投资日志
让我们从《普林斯顿概率论读本》的一道题开始：
有人在拉斯维加斯下了一个赌注，押A球队能在常规赛中保持不败，最后赢得冠军，赔率是1000比1，他下注了500美元，若获胜将拿走50万美元。
他运气不错，A球队进入了总决赛，并在比赛中以微弱优势领先于对手B球队。这意味着，如果势头不变，他的500美元将变成50万美元。
这时候拉斯维加斯打来电话，说愿意用15万美元买走他的下注。
如果他答应，15万美元马上到手，但可能失去赚50万的机会；
如果他不答应，就有机会拿走50万美元，但也可能一分钱都赚不到。
你会选择哪一个？
上面那位球迷对A球队很有信心，拒绝了“立即拿走15万美元”，而是选择已经快到嘴边的50万美元。
这是一个真实的故事。第四十二届超级碗，巨人队（B球队）在终场前35秒大逆转，赢了爱国者队（A球队）。那位朋友的50万美元就这样飞走了。
什么事情都可能发生。所谓的胜券在握，真的只是一个概率问题。
这位下注者做错了什么？
如果我们假设A球队的获胜概率大于50%，那么下注A球队的期望值也大于（50万 50%=25万）。该期望值既然大于15万。所以下注者的选择“拒绝拉斯维加斯开出的15万条件”，似乎是对的。
从概率的角度看，有些正确的选择未必有对的结果。类似于打德扑这类多次博弈，把决策的过程和结果分开看（虽然仍是一个整体），是传奇女扑克牌手安妮·杜克的关键思维模式。
可是，数十万美金，对谁都不是小数字。而且对于普通球迷来说，用500美元换来这么大的赢钱机会，一辈子都难得有一次。如果无法多次重复，概率思维还有用吗？
更不用说还有期望效用和损失厌恶对决策者的影响。
其实，下注者还有另外一种选择，可以让他稳赢数十万美元！
《普林斯顿概率论读本》的作者米勒教授给出了具体的方法--对冲：
下注者当时可以再下注押B球队赢。这样，不管哪一方获胜，他都可以有可观的收入。
让我们来算一下：
假设A球队的胜率是80%，因为拉斯维加斯要利用赔率差来赚钱，所以假设押注B队赢的赔率是3。就胜率而言，这是一个对下注者不利的赔率。（这部分表述和书中略有不同。）
这样一来，这个真实故事中的主角就迎来了一次对冲的机会，他可以反手再下一把注，押B队赢。如果计算妥当的话，不管是A队赢，还是B队赢，下注者都会稳赚。
那么，他应该下注多少呢？
如上所述，我们设该下注于B队的金额为B，所以：
A队胜的回报是（50万-500-B）；
B队胜的回报是（B 3-500-B）。
由于双边下注，我们至少会获得两种结果中较小的那个回报，所以接下来我们要追求的是：
令两种结果中较小的那个数值最大化。
如图，横坐标是B的数值，即下注于B球队的金额：
红线是假如A获胜的回报，表示为：（50万-500-B）
蓝线是假如B获胜的回报，表示为：（B 3-500-B）
纵坐标是A队胜和B队胜的不同回报。图中实线部分，是两种可能结果中的最小值，如图可知最小值的最高点是（B 3=50万）。
当（B 3=50万）时，不管哪一边获胜，我们赚到的金额是一样的。
计算结果是：B约为16.67万美元，下注者可以稳赚的最小金额是33.28万。
对冲之后，稳赚的金额比拉斯维加斯开出的收购价（15万美元）要高，同时也避免了因为意外发生而导致的50万“概率收益”归零。
我们可以将第二次押B队赢的行为，视为给起初押A队赢的概率权买个保险。考虑到单边押A队赢的期望值为（50万 80%=40万美元），押注于B队赢的16.67万美元在扣除成本后，换来最少稳赢的33.28万，还是很合算的。
请尤其留意，在另外一头下注，不可避免地拉低了整体期望值，原因是：拉斯维加斯对赔率的控制，令下注者押B球队的独立期望值是负数。
假设下注金额是B，A队的胜率是80%，下注B队的赔率是3，500和B是两头下注的本金，那么预期收益是：
80% 500000 20% B 3-（500 B）
而只押注于A队的期望值，是：80% 500000-500.
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有人在拉斯维加斯下了一个赌注，押A球队能在常规赛中保持不败，最后赢得冠军，赔率是1000比1，他下注了500美元，若获胜将拿走50万美元。
他运气不错，A球队进入了总决赛，并在比赛中以微弱优势领先于对手B球队。这意味着，如果势头不变，他的500美元将变成50万美元。
这时候拉斯维加斯打来电话，说愿意用15万美元买走他的下注。
如果他答应，15万美元马上到手，但可能失去赚50万的机会；
如果他不答应，就有机会拿走50万美元，但也可能一分钱都赚不到。
你会选择哪一个？
上面那位球迷对A球队很有信心，拒绝了“立即拿走15万美元”，而是选择已经快到嘴边的50万美元。
这是一个真实的故事。第四十二届超级碗，巨人队（B球队）在终场前35秒大逆转，赢了爱国者队（A球队）。那位朋友的50万美元就这样飞走了。
什么事情都可能发生。所谓的胜券在握，真的只是一个概率问题。
这位下注者做错了什么？
如果我们假设A球队的获胜概率大于50%，那么下注A球队的期望值也大于（50万+50%=25万）。该期望值既然大于15万。所以下注者的选择“拒绝拉斯维加斯开出的15万条件”，似乎是对的。
从概率的角度看，有些正确的选择未必有对的结果。类似于打德扑这类多次博弈，把决策的过程和结果分开看（虽然仍是一个整体），是传奇女扑克牌手安妮·杜克的关键思维模式。
可是，数十万美金，对谁都不是小数字。而且对于普通球迷来说，用500美元换来这么大的赢钱机会，一辈子都难得有一次。如果无法多次重复，概率思维还有用吗？
更不用说还有期望效用和损失厌恶对决策者的影响。
其实，下注者还有另外一种选择，可以让他稳赢数十万美元！
《普林斯顿概率论读本》的作者米勒教授给出了具体的方法--对冲：
下注者当时可以再下注押B球队赢。这样，不管哪一方获胜，他都可以有可观的收入。
让我们来算一下：
假设A球队的胜率是80%，因为拉斯维加斯要利用赔率差来赚钱，所以假设押注B队赢的赔率是3。就胜率而言，这是一个对下注者不利的赔率。（这部分表述和书中略有不同。）
这样一来，这个真实故事中的主角就迎来了一次对冲的机会，他可以反手再下一把注，押B队赢。如果计算妥当的话，不管是A队赢，还是B队赢，下注者都会稳赚。
那么，他应该下注多少呢？
如上所述，我们设该下注于B队的金额为B，所以：
A队胜的回报是（50万-500-B）；
B队胜的回报是（B+3-500-B）。
由于双边下注，我们至少会获得两种结果中较小的那个回报，所以接下来我们要追求的是：
令两种结果中较小的那个数值最大化。
如图，横坐标是B的数值，即下注于B球队的金额：
红线是假如A获胜的回报，表示为：（50万-500-B）
蓝线是假如B获胜的回报，表示为：（B+3-500-B）
纵坐标是A队胜和B队胜的不同回报。图中实线部分，是两种可能结果中的最小值，如图可知最小值的最高点是（B+3=50万）。
当（B+3=50万）时，不管哪一边获胜，我们赚到的金额是一样的。
计算结果是：B约为16.67万美元，下注者可以稳赚的最小金额是33.28万。
对冲之后，稳赚的金额比拉斯维加斯开出的收购价（15万美元）要高，同时也避免了因为意外发生而导致的50万“概率收益”归零。
我们可以将第二次押B队赢的行为，视为给起初押A队赢的概率权买个保险。考虑到单边押A队赢的期望值为（50万+80%=40万美元），押注于B队赢的16.67万美元在扣除成本后，换来最少稳赢的33.28万，还是很合算的。
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假设下注金额是B，A队的胜率是80%，下注B队的赔率是3，500和B是两头下注的本金，那么预期收益是：
80%+500000+20%+B+3-（500+B）
而只押注于A队的期望值，是：80%+500000-500.
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有人在拉斯维加斯下了一个赌注，押A球队能在常规赛中保持不败，最后赢得冠军，赔率是1000比1，他下注了500美元，若获胜将拿走50万美元。
他运气不错，A球队进入了总决赛，并在比赛中以微弱优势领先于对手B球队。这意味着，如果势头不变，他的500美元将变成50万美元。
这时候拉斯维加斯打来电话，说愿意用15万美元买走他的下注。
如果他答应，15万美元马上到手，但可能失去赚50万的机会；
如果他不答应，就有机会拿走50万美元，但也可能一分钱都赚不到。
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什么事情都可能发生。所谓的胜券在握，真的只是一个概率问题。
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B队胜的回报是（B+3-500-B）。
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红线是假如A获胜的回报，表示为：（50万-500-B）
蓝线是假如B获胜的回报，表示为：（B+3-500-B）
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我们可以将第二次押B队赢的行为，视为给起初押A队赢的概率权买个保险。考虑到单边押A队赢的期望值为（50万+80%=40万美元），押注于B队赢的16.67万美元在扣除成本后，换来最少稳赢的33.28万，还是很合算的。
请尤其留意，在另外一头下注，不可避免地拉低了整体期望值，原因是：拉斯维加斯对赔率的控制，令下注者押B球队的独立期望值是负数。
假设下注金额是B，A队的胜率是80%，下注B队的赔率是3，500和B是两头下注的本金，那么预期收益是：
80%+500000+20%+B+3-（500+B）
而只押注于A队的期望值，是：80%+500000-500.
也就是说，为了实现对冲而下注两次的期望值，貌似要小于只下注于A队。#投资##价值投资日志[超话]#
整个阿姆斯特丹四周被运河环绕，市中心被许多小河支流穿插而过。城市水网纵横交错，船只可以航行到市内的任何一个地方。因此，阿姆斯特丹也被称为“北方威尼斯”。
但她和威尼斯又截然不同——城市建筑自西向东推进，横跨规划区，并不是通常的自中心向外围推进。就好像一把巨大的挡风玻璃雨刷，随着岁月的韵律，缓慢而又坚定地向西方铺陈。
有河自然有桥。阿姆斯特丹市内超过1300座桥中的许多座都极具特色，例如双闸式开合的“瘦桥”、河边满是酒吧咖啡厅的“三鲱鱼桥”、能同时看见15座桥的“十五桥”等。
在河水蜿蜒的城市乘坐游船是最好的游览方式。阿姆斯特丹的平底船虽然低矮，但是四面的窗和天花板全玻璃的设计，让游人们不会错过片刻两岸的风景。
阿姆斯特丹还拥有世界上独一无二的水上花卉市场，这条200年历史的辛格花市漂浮在辛格运河沿岸。
花店一家挨着一家，从街的这头一直延伸到另一头。商户们都是用小船载货运到岸边，使整条街到处都飘满花香，琳琅满目地摆满整条街。
而花市以外城市里的每个角落，也都点缀着鲜花，尤其是缤纷的郁金香。每年郁金香节这一天，每一个人都可以在水坝广场的采摘花园里拿一束，来分享这对荷兰有着特殊意义花朵的美丽。
运河里的水是阿姆斯特丹不断流动的生命力，它永恒地流淌着，润色了沿岸的街景，也滋润了整座城。
运河边的房屋们错落有致地排列着，在无声地诉说着阿姆斯特丹悠久的历史。
“上帝造海，荷兰人造陆”。同荷兰其他许多地方一样，阿姆斯特丹的土地很多是通过填海造陆而来。
因此阿姆斯特丹的土地可谓是寸土寸金，这就造成了阿姆斯特丹的房屋间距普遍较狭窄，但内室却很深的特点。
最开始，富人们在市中心的运河边建造了宽敞和豪华的住宅，于是中产阶级就只好在运河对岸建造宽度略小的房子，而更穷的人则只能在“运河三环”边建造更窄小的房子。
但如今看来，无论大小、豪华或普通，它们已成为构成整个城市独特景观的一部分，承载了城市的历史，令人流连忘返。
这些看上去如此精巧可爱的房子，背后却默默蕴藏着了不起的历史。走过其中一间，你不会想到这可能是绘画大师伦勃朗的故居，亦或是《安妮日记》作者安妮的家。
华灯初上之时，是欣赏这些联排屋的最佳时机。波光潋滟的运河倒映出一幅幅如梦似幻的印象派画作，让人无法决定真景和倒影哪个更美。
除了童话般的小屋，阿姆斯特丹还拥有不少宏伟华丽的建筑，却奇妙的与小桥流水人家构成和谐的景致。
国立博物馆，是欧洲最古老的博物馆，藏有众多荷兰国宝级的文物。博物馆树立着著名的“I am Amsterdam”，透露着张扬而自信的城市精神。
新文艺复兴式的火车站建在三个人工岛上，已成为了阿姆斯特丹市标，至今每天仍有1400多趟火车抵达或离开，站厅两侧是对称的高塔，一侧有钟，一侧有风向计。
但她和威尼斯又截然不同——城市建筑自西向东推进，横跨规划区，并不是通常的自中心向外围推进。就好像一把巨大的挡风玻璃雨刷，随着岁月的韵律，缓慢而又坚定地向西方铺陈。
有河自然有桥。阿姆斯特丹市内超过1300座桥中的许多座都极具特色，例如双闸式开合的“瘦桥”、河边满是酒吧咖啡厅的“三鲱鱼桥”、能同时看见15座桥的“十五桥”等。
在河水蜿蜒的城市乘坐游船是最好的游览方式。阿姆斯特丹的平底船虽然低矮，但是四面的窗和天花板全玻璃的设计，让游人们不会错过片刻两岸的风景。
阿姆斯特丹还拥有世界上独一无二的水上花卉市场，这条200年历史的辛格花市漂浮在辛格运河沿岸。
花店一家挨着一家，从街的这头一直延伸到另一头。商户们都是用小船载货运到岸边，使整条街到处都飘满花香，琳琅满目地摆满整条街。
而花市以外城市里的每个角落，也都点缀着鲜花，尤其是缤纷的郁金香。每年郁金香节这一天，每一个人都可以在水坝广场的采摘花园里拿一束，来分享这对荷兰有着特殊意义花朵的美丽。
运河里的水是阿姆斯特丹不断流动的生命力，它永恒地流淌着，润色了沿岸的街景，也滋润了整座城。
运河边的房屋们错落有致地排列着，在无声地诉说着阿姆斯特丹悠久的历史。
“上帝造海，荷兰人造陆”。同荷兰其他许多地方一样，阿姆斯特丹的土地很多是通过填海造陆而来。
因此阿姆斯特丹的土地可谓是寸土寸金，这就造成了阿姆斯特丹的房屋间距普遍较狭窄，但内室却很深的特点。
最开始，富人们在市中心的运河边建造了宽敞和豪华的住宅，于是中产阶级就只好在运河对岸建造宽度略小的房子，而更穷的人则只能在“运河三环”边建造更窄小的房子。
但如今看来，无论大小、豪华或普通，它们已成为构成整个城市独特景观的一部分，承载了城市的历史，令人流连忘返。
这些看上去如此精巧可爱的房子，背后却默默蕴藏着了不起的历史。走过其中一间，你不会想到这可能是绘画大师伦勃朗的故居，亦或是《安妮日记》作者安妮的家。
华灯初上之时，是欣赏这些联排屋的最佳时机。波光潋滟的运河倒映出一幅幅如梦似幻的印象派画作，让人无法决定真景和倒影哪个更美。
除了童话般的小屋，阿姆斯特丹还拥有不少宏伟华丽的建筑，却奇妙的与小桥流水人家构成和谐的景致。
国立博物馆，是欧洲最古老的博物馆，藏有众多荷兰国宝级的文物。博物馆树立着著名的“I am Amsterdam”，透露着张扬而自信的城市精神。
新文艺复兴式的火车站建在三个人工岛上，已成为了阿姆斯特丹市标，至今每天仍有1400多趟火车抵达或离开，站厅两侧是对称的高塔，一侧有钟，一侧有风向计。
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