【原文照转】
从“无穷”到“集合”，这位数学家以一己之力打造了数学大厦基础
数学真美
自从人类诞生于地球这颗蔚蓝色的星球，每当仰望浩瀚的星空和深邃的宇宙，人们对“无穷之美”充满了无限的遐想。希尔伯特曾说：没有任何问题象“无穷”那样深深地触动人的情感，很少别的观念能像“无穷”那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它概念能象“无穷”那样需要加以阐明。
然而，“无穷”虽美，但也令人充满困惑甚至令人感到恐惧，人们对“无穷”充满向往却又无力把握。只有当“无穷”遇上“集合论”的时候，“无穷”之美才真正地被人类所掌控。那么，“无穷”与“集合论 ”到底是怎样的关系呢？
早在两千多年前的古希腊，人类的先行者就开始了对“无穷”的思考，尽管那时的数学家和哲学家们已经积累了大量有关“无穷”的问题，但是几乎所有人对“无穷”都持回避的态度。
公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺提出了四个著名的“芝诺悖论”：“二分法悖论”、“阿基里斯追龟悖论”、“飞矢不动悖论”与“运动场悖论”。这些悖论是人类最早的关于“无穷”与“集合”的深度思考，也是“无穷集合”最早的思想萌芽。
在此之后的希腊哲学家亚里士多德将“无穷”分为两大类，一类是“潜无穷”，一类是“实无穷”。“潜无穷”的意思是说，有的事物看起来是“无穷”的，但是最终还是“有限”的。比如“宇宙”的年龄，对于人类来说，是“无穷”的，但是如果以“上帝视角”来看的话，它依然是有限的。在亚里士多德看来，“实无穷”是不存在的，一切的“无穷”都是“潜无穷”，因而它由此推断出“无穷集合”是不存在的。
由于亚里士多德在那个时代的权威性，人们对他的话普遍当成真理，深刻地影响了后世的包括伽利略、高斯、柯西等伟大学者，几乎所有人都拒绝承认“实无穷”。
比如，伽利略认为所有的“无穷集合”都是一样的，不能比较大小。
大数学家高斯甚至在给朋友的信中说：“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用，因为这在数学中是从来不允许的。”他甚至反对任何人使用“无穷的概念”和使用“无穷记号”。
法国大数学家柯西也不承认“无穷集合”的存在。对于康托尔提出的“部分与整体构成一一对应的关系”更是认为那是自相矛盾的事。
由此可见，人类接受“无穷概念”的过程是多么的艰辛，但是真理的光芒是永远无法掩盖的。历史的车轮滚滚向前，转眼来到了十七世纪。牛顿和莱布尼兹等数学家开始尝试把“无穷小量”引进数学，构成所谓的“无穷小演算”——近代最伟大的数学理论“微积分”诞生了。
在“积分法”里，人们将“无穷多个无穷小量”加在一起，而在“微分法”里，人们则将两个“无穷小量”相除。
由于“无穷小量”运算的引进，给数学带来了前所未有的繁荣和进步，不过，由于“无穷小量”的使用“不严格”，使得“微积分”底层的“逻辑矛盾”越来越严重，最终导致了“第二次数学危机”的爆发。
“第二次数学危机”爆发后，全世界的数学家都行动了起来。为了给“微积分”建立一个“严格化”的逻辑基础，康托尔提出了著名的“等势原理”。
所谓的“等势原理”，其中重点在于它的这个“势”字。简单说来，“势”就是“集合的元素的个数”。例如，如果一个集合有50个元素，我们说这个集合的“势”为50。如果两个集合的元素个数相等，我们就称两个集合“等势”。要判断两个集合是不是“等势”，最主要的特征是看这两个集合之间能不能建立起元素的“一一对应”的关系，只要二者能建立起“一一对应”的关系，我们就称两个集合的元素是一样多的。
根据“等势原理”，不但可以比较两个“有限个元素的集合”的大小，还可比较“两个无穷集合”的大小，从而就可以轻易地推出以下看起来不可思议的结论：
①全体整数和奇数一样多。
②全体正整数和全体有理数一样多。
③全体正整数的集合和全体实数的集合不等“势”。
特别要注意第③条，它的证明过程是数学最美的证明之一。同时第③条告诉我们，并不是所有的无穷集合都是等“势”的，“无穷集合”也是可以比较大小的。
以上这些重要的学术成果，康托尔于1873年11月29日在给戴德金信中提到，同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明“实数集”是不可数的，不能同“正整数集”建立一一对应的关系。也就是在这一天，“集合论”诞生了。
“等势原理”提出来之后，几乎遭到了整个学界的反对，1884年，康托尔一连遭受到来自各方面的压力，精神上备受打击，同年5月底，他的精神崩溃了，从此之后，康托尔只能利用少数头脑清醒的时间进行“集合论”的研究。
1897年，人们发现了越来越多的由“集合论”引发的悖论，最终导致“第三次数学危机”的爆发，伟大的学者康托尔也在这场危机中走到了生命的尽头，于1918年1月于精神病院孤独地离开人世。
随着时间的推移，人们逐渐认识到了“集合论”的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，他用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来。”
在“第三次数学危机”中，人们为了克服大量“悖论”所带来的困难，数学家们提出用“公理化方案”对“集合”的定义加以限制，最终完成了从“朴素集合论”到“公理化集合论”的蜕变，最终成为了今天所见到的“现代数学大厦”的基础。
在今天，小到用“集合”来定义的自然数、实数、函数，大到本身就具有“集合”性质的群、环、拓扑空间等，整个数学的各个分支都离不开“集合”的基础。在追求真理的坎坷路上，康托尔是不幸的，但是人类是幸运的，因为人类没有错过那个最为关键的年代，当几乎整个学界都站到了康托尔的对立面时，康托尔仍然凭着一己之力，为构建“近、现代数学”的基础“集合论”而努力，为整个人类文明的持续发展，注入了新的活力。
从“无穷”到“集合”，这位数学家以一己之力打造了数学大厦基础
数学真美
自从人类诞生于地球这颗蔚蓝色的星球，每当仰望浩瀚的星空和深邃的宇宙，人们对“无穷之美”充满了无限的遐想。希尔伯特曾说：没有任何问题象“无穷”那样深深地触动人的情感，很少别的观念能像“无穷”那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它概念能象“无穷”那样需要加以阐明。
然而，“无穷”虽美，但也令人充满困惑甚至令人感到恐惧，人们对“无穷”充满向往却又无力把握。只有当“无穷”遇上“集合论”的时候，“无穷”之美才真正地被人类所掌控。那么，“无穷”与“集合论 ”到底是怎样的关系呢？
早在两千多年前的古希腊，人类的先行者就开始了对“无穷”的思考，尽管那时的数学家和哲学家们已经积累了大量有关“无穷”的问题，但是几乎所有人对“无穷”都持回避的态度。
公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺提出了四个著名的“芝诺悖论”：“二分法悖论”、“阿基里斯追龟悖论”、“飞矢不动悖论”与“运动场悖论”。这些悖论是人类最早的关于“无穷”与“集合”的深度思考，也是“无穷集合”最早的思想萌芽。
在此之后的希腊哲学家亚里士多德将“无穷”分为两大类，一类是“潜无穷”，一类是“实无穷”。“潜无穷”的意思是说，有的事物看起来是“无穷”的，但是最终还是“有限”的。比如“宇宙”的年龄，对于人类来说，是“无穷”的，但是如果以“上帝视角”来看的话，它依然是有限的。在亚里士多德看来，“实无穷”是不存在的，一切的“无穷”都是“潜无穷”，因而它由此推断出“无穷集合”是不存在的。
由于亚里士多德在那个时代的权威性，人们对他的话普遍当成真理，深刻地影响了后世的包括伽利略、高斯、柯西等伟大学者，几乎所有人都拒绝承认“实无穷”。
比如，伽利略认为所有的“无穷集合”都是一样的，不能比较大小。
大数学家高斯甚至在给朋友的信中说：“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用，因为这在数学中是从来不允许的。”他甚至反对任何人使用“无穷的概念”和使用“无穷记号”。
法国大数学家柯西也不承认“无穷集合”的存在。对于康托尔提出的“部分与整体构成一一对应的关系”更是认为那是自相矛盾的事。
由此可见，人类接受“无穷概念”的过程是多么的艰辛，但是真理的光芒是永远无法掩盖的。历史的车轮滚滚向前，转眼来到了十七世纪。牛顿和莱布尼兹等数学家开始尝试把“无穷小量”引进数学，构成所谓的“无穷小演算”——近代最伟大的数学理论“微积分”诞生了。
在“积分法”里，人们将“无穷多个无穷小量”加在一起，而在“微分法”里，人们则将两个“无穷小量”相除。
由于“无穷小量”运算的引进，给数学带来了前所未有的繁荣和进步，不过，由于“无穷小量”的使用“不严格”，使得“微积分”底层的“逻辑矛盾”越来越严重，最终导致了“第二次数学危机”的爆发。
“第二次数学危机”爆发后，全世界的数学家都行动了起来。为了给“微积分”建立一个“严格化”的逻辑基础，康托尔提出了著名的“等势原理”。
所谓的“等势原理”，其中重点在于它的这个“势”字。简单说来，“势”就是“集合的元素的个数”。例如，如果一个集合有50个元素，我们说这个集合的“势”为50。如果两个集合的元素个数相等，我们就称两个集合“等势”。要判断两个集合是不是“等势”，最主要的特征是看这两个集合之间能不能建立起元素的“一一对应”的关系，只要二者能建立起“一一对应”的关系，我们就称两个集合的元素是一样多的。
根据“等势原理”，不但可以比较两个“有限个元素的集合”的大小，还可比较“两个无穷集合”的大小，从而就可以轻易地推出以下看起来不可思议的结论：
①全体整数和奇数一样多。
②全体正整数和全体有理数一样多。
③全体正整数的集合和全体实数的集合不等“势”。
特别要注意第③条，它的证明过程是数学最美的证明之一。同时第③条告诉我们，并不是所有的无穷集合都是等“势”的，“无穷集合”也是可以比较大小的。
以上这些重要的学术成果，康托尔于1873年11月29日在给戴德金信中提到，同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明“实数集”是不可数的，不能同“正整数集”建立一一对应的关系。也就是在这一天，“集合论”诞生了。
“等势原理”提出来之后，几乎遭到了整个学界的反对，1884年，康托尔一连遭受到来自各方面的压力，精神上备受打击，同年5月底，他的精神崩溃了，从此之后，康托尔只能利用少数头脑清醒的时间进行“集合论”的研究。
1897年，人们发现了越来越多的由“集合论”引发的悖论，最终导致“第三次数学危机”的爆发，伟大的学者康托尔也在这场危机中走到了生命的尽头，于1918年1月于精神病院孤独地离开人世。
随着时间的推移，人们逐渐认识到了“集合论”的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，他用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来。”
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无论他选择干什么，只跟他走，因为他就是我向往成为的人，说不上完美，但已足矣！
优秀的人很多，但只有肖战给我力量，让我向阳而生，不断前进，想放弃的时候，想想他，就是我的一切动力！
人生只有一直往前走，勇敢前进，光点永远在前方！
无论他选择干什么，只跟他走，因为他就是我向往成为的人，说不上完美，但已足矣！
优秀的人很多，但只有肖战给我力量，让我向阳而生，不断前进，想放弃的时候，想想他，就是我的一切动力！
人生只有一直往前走，勇敢前进，光点永远在前方！
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