朗道-西格尔估计(Landau–Siegel estimates)
1. 朗道-西格尔估计概况
处理这些零点的第一个突破来自朗道(或兰道)，他证明存在一个有效可计算的常数B > 0，因此，对于不同模的任何实本原符号χᴅ和χᴅ'(其中D和D'是下标)，若β和β’分别是L(s,χᴅ)和L(s,χᴅ')的实零点，则有如下表示：
min{β, β’} ≤ 1 - B / log|DD'|;
换言之，若西格尔零点存在，则零点的数量不能太多。证明这一点的方法是通过一个扭曲(twisting)论证，这就把问题推广到双二次域Q(√D,√D')的戴德金ζ函数上。这个技术在现代数学著作中仍有大量应用。
经过更仔细的分析，这种排斥效应(参见Deuring–Heilbronn现象)把朗道引向1936年的定理。该定理指出：对于每一个ε > 0，都有C(ε) ∈ R+，以至于存在这样的情形: 若β是L(s,χᴅ)的实零点，则存在β < 1 - C(ε) |D|^(-3/8 - ε)。然而，在克雷数学杂志的同一期中，西格尔直接把这一估计提高到如下的程度：
β < 1 - C(ε) |D|^ε;
朗道和西格尔的证明都没有提供明确的计算方法，因此它们都是无效结果的实例。
2. Siegel–Tatuzawa定理
1951年，T.Tatuzawa证明西格尔定理的几乎有效版本，证明对于任何固定的0 < ε < 1/11.2, 若|D| > e^(1/ε)，则有如下表示：
L(1, χᴅ) > 0.655|D|^(-ε);
除了最多一个基本判别式的可能例外。利用这一结果的几乎有效性，P.Weinberger(1973）证明: 除了最多一个元素外，欧拉的65个伊多尼尔数(idoneal number)的列表是完备的。
备注：
1. 上文提到，对于D ∈Z的基本判别式(即二次数域的判别式)，实本原狄利克雷符号与克罗内克符号(D|∙): Z→{-1,0,1}一一对应，其中D的定义域如上所示是一个整数。因此定义(D|∙)的一种方法是把它作为如下公式所确定的完备乘法算术函数(对于素数p):
(D/p) =1, (p) splits in Q(√D),
= -1, (p) is inert...
= 0, (p) ramifies
对于以上三个值，都有如下的符号表示：
(D/-1) = sign of D;
因此把它写为χ :=(D|∙)是很普遍的，它是模|D|的实本原特征，其中D也被称为狄利克雷L-函数的特征χ的前导子。克罗内克是当时极少数洞察若尔当的置换群著作的德国数学家，读者必须要精于行列式才能理解克罗内克符号。
2. 模是抽象代数的基本代数结构之一，环上的模是域上向量空间的概念的推广，其中相应的标量是任意给定环(带恒等元)的元素，并且定义乘法(在左侧和/或右侧)在环的元素和模的元素之间。模的定义：从环R中取标量的模称为R模，设R是一个环，1ʀ是它的乘法恒等式，一个左R-模M由一个阿贝尔群(M, +)和一个操作⋅:R × M组成，模的运算简述如下：
r∙(x + y) = r∙x + r∙y;
(r + s)∙x = r∙x + s∙x;
(r∙s)∙x = r∙(s∙x);
1ʀ ∙x = x.
link1: https://t.cn/A6orAohx
link2: https://t.cn/A6orfjp3
1. 朗道-西格尔估计概况
处理这些零点的第一个突破来自朗道(或兰道)，他证明存在一个有效可计算的常数B > 0，因此，对于不同模的任何实本原符号χᴅ和χᴅ'(其中D和D'是下标)，若β和β’分别是L(s,χᴅ)和L(s,χᴅ')的实零点，则有如下表示：
min{β, β’} ≤ 1 - B / log|DD'|;
换言之，若西格尔零点存在，则零点的数量不能太多。证明这一点的方法是通过一个扭曲(twisting)论证，这就把问题推广到双二次域Q(√D,√D')的戴德金ζ函数上。这个技术在现代数学著作中仍有大量应用。
经过更仔细的分析，这种排斥效应(参见Deuring–Heilbronn现象)把朗道引向1936年的定理。该定理指出：对于每一个ε > 0，都有C(ε) ∈ R+，以至于存在这样的情形: 若β是L(s,χᴅ)的实零点，则存在β < 1 - C(ε) |D|^(-3/8 - ε)。然而，在克雷数学杂志的同一期中，西格尔直接把这一估计提高到如下的程度：
β < 1 - C(ε) |D|^ε;
朗道和西格尔的证明都没有提供明确的计算方法，因此它们都是无效结果的实例。
2. Siegel–Tatuzawa定理
1951年，T.Tatuzawa证明西格尔定理的几乎有效版本，证明对于任何固定的0 < ε < 1/11.2, 若|D| > e^(1/ε)，则有如下表示：
L(1, χᴅ) > 0.655|D|^(-ε);
除了最多一个基本判别式的可能例外。利用这一结果的几乎有效性，P.Weinberger(1973）证明: 除了最多一个元素外，欧拉的65个伊多尼尔数(idoneal number)的列表是完备的。
备注：
1. 上文提到，对于D ∈Z的基本判别式(即二次数域的判别式)，实本原狄利克雷符号与克罗内克符号(D|∙): Z→{-1,0,1}一一对应，其中D的定义域如上所示是一个整数。因此定义(D|∙)的一种方法是把它作为如下公式所确定的完备乘法算术函数(对于素数p):
(D/p) =1, (p) splits in Q(√D),
= -1, (p) is inert...
= 0, (p) ramifies
对于以上三个值，都有如下的符号表示：
(D/-1) = sign of D;
因此把它写为χ :=(D|∙)是很普遍的，它是模|D|的实本原特征，其中D也被称为狄利克雷L-函数的特征χ的前导子。克罗内克是当时极少数洞察若尔当的置换群著作的德国数学家，读者必须要精于行列式才能理解克罗内克符号。
2. 模是抽象代数的基本代数结构之一，环上的模是域上向量空间的概念的推广，其中相应的标量是任意给定环(带恒等元)的元素，并且定义乘法(在左侧和/或右侧)在环的元素和模的元素之间。模的定义：从环R中取标量的模称为R模，设R是一个环，1ʀ是它的乘法恒等式，一个左R-模M由一个阿贝尔群(M, +)和一个操作⋅:R × M组成，模的运算简述如下：
r∙(x + y) = r∙x + r∙y;
(r + s)∙x = r∙x + s∙x;
(r∙s)∙x = r∙(s∙x);
1ʀ ∙x = x.
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1993年，她卖掉了自己所有的财产，又八方奔波募捐，只为修建一座庙。可修好至今，庙里却不供佛，也无僧人。
这个庙里供奉的是她的救命恩人。她几十年如一日地为恩人上香祈福的背后，隐藏着一个动人的故事。
她叫曾阿兴，13岁那年，她和母亲从新加坡回到家乡福建惠安崇武西沙投亲无果后，便在这里简单安顿下来，靠在西沙湾海边捡些“海鲜”、在滩头种点番薯换钱艰难度日。
1949年9月17日，曾阿兴跟着母亲一早就来到海边，母亲在滩头劳作，曾阿兴在海滩“寻宝”。
当天，叶飞将军带领28军84师251团的官兵们来到西沙湾，进行登陆训练，为解放厦门和金门备战。
临近中午时分，突然有几架敌机从海峡对面呼啸而来。
251团的解放军官兵们，听到敌机的轰鸣声迅速就地隐蔽起来。
敌机没有侦查到解放军，却发现了来不及躲藏的众多百姓，便对着地面一番疯狂轰炸，之后，又往城中方向飞去。
要是敌机对城中进行空袭，那后果不堪想象。251团的战士们大呼“不好！”当即对空射击，用激烈的枪声把敌机引向他们自己。果然，敌机快速掉头飞回西沙湾，很快，西沙湾便是炮火连天。
海滩上的曾阿兴，被身边此起彼伏的爆炸声吓得哇哇大哭，抱着头奔跑着到处找母亲：“妈妈！妈妈......”慌乱中，她完全不知自己正处在极其危险的境地。
危急时刻，距离曾阿兴较近的五个战士，不约而同地向她跑去，大声喊着：“小姑娘快趴下！快趴下！”跑在前面的三个战士，一把将她推倒，扑上去就把她护在身下。而另外两个战士，倒在了去救她的路上。
敌机飞走了，曾阿兴久久不见护着自己的解放军战士有动静，她便使劲用力，将他们从自己身上推开，看见瘫软在身边的三个战士身上还在汩汩流血，曾阿兴吓得全身颤抖。
当曾阿兴的母亲哭喊着找过来，眼前残酷的一幕，让她瞬间明白：女儿的毫发无损，是那五个解放军战士用自己的生命换来的。
她把惊恐万分的女儿紧紧抱在怀里，痛哭不已，然后拉着女儿跪在战士们的遗体前，久久不愿起来......
在这场敌机空袭中，共有27名战士为了保护老百姓，牺牲了自己年轻的生命。乡亲们自发地来到海滩，怀着悲痛的心情配合解放军，将牺牲的战士们掩埋在了海岸附近。
曾阿兴的母亲把她带到烈士们墓前，泪如雨下地对她说：“你要记住，你的命是他们给的，今后你喝的每一口水，吃的每一粒米，都要记得感恩！一定要永远记住这些解放军战士！”
尚年幼的曾阿兴，对于“感恩”还似懂非懂，只是自己几分钟之内的死、生经历犹在眼前。她对着救命恩人的墓地重重点了点头，不知他们的名字，只能把“解放军”刻进心里。
后来，曾阿兴跟着母亲，和乡亲们一起在西沙湾用石头搭建了一座简陋石屋和一个供台，以祭奠牺牲的战士们。母亲每天都要带着她来上香祭拜，从春到冬，岁岁年年。
感恩救命恩人，已然成了她生活不可或缺的部分。为人妻时，曾阿兴告诉爱人：“我们世世代代都不能忘记解放军！”为人母时，她把自己当年被救的故事一遍又一遍讲给孩子们听，让孩子们要永远记得解放军的恩情。她也像母亲一样，带着孩子们祭拜解放军烈士，祭拜恩人。
无论岁月变迁，都不曾改变曾阿兴丝毫感恩的心。可海边那间简陋的祭拜石屋，终是经不住岁月的风沙，日渐破烂不堪。
1980年，曾阿兴的母亲临终前，放心不下破旧石屋供台上的英烈们，她叮嘱曾阿兴，一定要建一座庙宇来为英烈们遮风挡雨。
接下来的岁月，与其说曾阿兴是不敢忘记母亲的临终嘱咐，不如说是她从不曾忘记解放军的恩情。曾阿兴有六个孩子，生活并不容易，可修庙宇报答恩情，始终是最让她牵肠挂肚的事。
时光的齿轮滑到1993年，曾阿兴终于开启完成母亲和自己的心愿之旅。她先是卖掉了自己所有值钱的东西，加上儿女们的资助，凑了6万元，接着再每天四处奔波跑募捐。
所幸，她的感恩故事早已传遍八方，人们也无不被她感动着，纷纷解囊助她完成心愿，短短几个月时间便募集到了60多万元。最后，在当地政府的支持和帮助下，修庙工程在西沙湾正式启动。
经过三年时间，庙宇完工，取名“天下第一庙”，也是全国唯一 一座解放军烈士庙。当年为保护西沙湾百姓而牺牲的27位解放军战士的塑像，被供奉在庙里。
在烈士们的塑像前，曾阿兴还摆满了各种新式武器、以及新时代生活用品的模型。她说，恨不得把解放军烈士们生前没有享用过的所有东西，都送来给他们看看。她还在每天上香祭拜时，和战士们说个没完，分享自己幸福美好的生活。
如今，曾阿兴老人早已定居在解放军烈士庙附近，把守护庙，守护恩人当做自己生活的全部。
我们每一个中国人，都应该知道“解放军烈士庙”这个地方，都应该向曾阿兴一样，永远铭记、感恩，那些毫不犹豫用生命护我们周全的英烈们！
来源/李砍柴
作者/语意
编辑/幽
这个庙里供奉的是她的救命恩人。她几十年如一日地为恩人上香祈福的背后，隐藏着一个动人的故事。
她叫曾阿兴，13岁那年，她和母亲从新加坡回到家乡福建惠安崇武西沙投亲无果后，便在这里简单安顿下来，靠在西沙湾海边捡些“海鲜”、在滩头种点番薯换钱艰难度日。
1949年9月17日，曾阿兴跟着母亲一早就来到海边，母亲在滩头劳作，曾阿兴在海滩“寻宝”。
当天，叶飞将军带领28军84师251团的官兵们来到西沙湾，进行登陆训练，为解放厦门和金门备战。
临近中午时分，突然有几架敌机从海峡对面呼啸而来。
251团的解放军官兵们，听到敌机的轰鸣声迅速就地隐蔽起来。
敌机没有侦查到解放军，却发现了来不及躲藏的众多百姓，便对着地面一番疯狂轰炸，之后，又往城中方向飞去。
要是敌机对城中进行空袭，那后果不堪想象。251团的战士们大呼“不好！”当即对空射击，用激烈的枪声把敌机引向他们自己。果然，敌机快速掉头飞回西沙湾，很快，西沙湾便是炮火连天。
海滩上的曾阿兴，被身边此起彼伏的爆炸声吓得哇哇大哭，抱着头奔跑着到处找母亲：“妈妈！妈妈......”慌乱中，她完全不知自己正处在极其危险的境地。
危急时刻，距离曾阿兴较近的五个战士，不约而同地向她跑去，大声喊着：“小姑娘快趴下！快趴下！”跑在前面的三个战士，一把将她推倒，扑上去就把她护在身下。而另外两个战士，倒在了去救她的路上。
敌机飞走了，曾阿兴久久不见护着自己的解放军战士有动静，她便使劲用力，将他们从自己身上推开，看见瘫软在身边的三个战士身上还在汩汩流血，曾阿兴吓得全身颤抖。
当曾阿兴的母亲哭喊着找过来，眼前残酷的一幕，让她瞬间明白：女儿的毫发无损，是那五个解放军战士用自己的生命换来的。
她把惊恐万分的女儿紧紧抱在怀里，痛哭不已，然后拉着女儿跪在战士们的遗体前，久久不愿起来......
在这场敌机空袭中，共有27名战士为了保护老百姓，牺牲了自己年轻的生命。乡亲们自发地来到海滩，怀着悲痛的心情配合解放军，将牺牲的战士们掩埋在了海岸附近。
曾阿兴的母亲把她带到烈士们墓前，泪如雨下地对她说：“你要记住，你的命是他们给的，今后你喝的每一口水，吃的每一粒米，都要记得感恩！一定要永远记住这些解放军战士！”
尚年幼的曾阿兴，对于“感恩”还似懂非懂，只是自己几分钟之内的死、生经历犹在眼前。她对着救命恩人的墓地重重点了点头，不知他们的名字，只能把“解放军”刻进心里。
后来，曾阿兴跟着母亲，和乡亲们一起在西沙湾用石头搭建了一座简陋石屋和一个供台，以祭奠牺牲的战士们。母亲每天都要带着她来上香祭拜，从春到冬，岁岁年年。
感恩救命恩人，已然成了她生活不可或缺的部分。为人妻时，曾阿兴告诉爱人：“我们世世代代都不能忘记解放军！”为人母时，她把自己当年被救的故事一遍又一遍讲给孩子们听，让孩子们要永远记得解放军的恩情。她也像母亲一样，带着孩子们祭拜解放军烈士，祭拜恩人。
无论岁月变迁，都不曾改变曾阿兴丝毫感恩的心。可海边那间简陋的祭拜石屋，终是经不住岁月的风沙，日渐破烂不堪。
1980年，曾阿兴的母亲临终前，放心不下破旧石屋供台上的英烈们，她叮嘱曾阿兴，一定要建一座庙宇来为英烈们遮风挡雨。
接下来的岁月，与其说曾阿兴是不敢忘记母亲的临终嘱咐，不如说是她从不曾忘记解放军的恩情。曾阿兴有六个孩子，生活并不容易，可修庙宇报答恩情，始终是最让她牵肠挂肚的事。
时光的齿轮滑到1993年，曾阿兴终于开启完成母亲和自己的心愿之旅。她先是卖掉了自己所有值钱的东西，加上儿女们的资助，凑了6万元，接着再每天四处奔波跑募捐。
所幸，她的感恩故事早已传遍八方，人们也无不被她感动着，纷纷解囊助她完成心愿，短短几个月时间便募集到了60多万元。最后，在当地政府的支持和帮助下，修庙工程在西沙湾正式启动。
经过三年时间，庙宇完工，取名“天下第一庙”，也是全国唯一 一座解放军烈士庙。当年为保护西沙湾百姓而牺牲的27位解放军战士的塑像，被供奉在庙里。
在烈士们的塑像前，曾阿兴还摆满了各种新式武器、以及新时代生活用品的模型。她说，恨不得把解放军烈士们生前没有享用过的所有东西，都送来给他们看看。她还在每天上香祭拜时，和战士们说个没完，分享自己幸福美好的生活。
如今，曾阿兴老人早已定居在解放军烈士庙附近，把守护庙，守护恩人当做自己生活的全部。
我们每一个中国人，都应该知道“解放军烈士庙”这个地方，都应该向曾阿兴一样，永远铭记、感恩，那些毫不犹豫用生命护我们周全的英烈们！
来源/李砍柴
作者/语意
编辑/幽
网友提问：挚友离开了，印象中他乐观、积极、开朗，与他接触过的都觉得他有趣、给人带去正能量，开导我，要理解他人、要追寻真善美，要坚信美好的事物总会到来，可世界真如你所描述的美好，那为何会放弃它？
王盐：
你去便利店买牛奶。
跨入店门的那一刻，好多人跑出来对你欢呼。
店老板告诉你，开业以来的第一万名顾客，可以得到免费去欧洲一月游的机会。
你脑海中浮现出电视上美丽的欧洲景色还有欧洲归来的人们眉飞色舞的样子。
经过长时间的准备，你站在欧洲的土地上，满脸的期待。
到达欧洲的第一个晚上，你激动的失眠了。
欧洲应该是个很美好的地方，你在日记中写道。
可在欧洲时间长了，新奇的感觉慢慢淡去，你吃不惯那里的食物，常常会拉肚子，你和欧洲人语言不通，没人能理解你喜欢的笑话。你开始觉得，欧洲也就是那么回事，和自己的家乡一样有好有坏，没什么太大区别。
旅程再也引不起你的兴趣。
欧洲的很多著名景点，其实并没有照片和电视里那么美丽，你在给朋友的回复短信中写道。
朋友说你不懂得珍惜，既然有了这样的机会，就要好好的努力去享受，不要浪费。
朋友还说，大家都很羡慕你，去欧洲是他的梦想，可惜没有机会实现。
据说没去过欧洲的人生是不完整的，据说很多人因为欧洲之行从而改变人生。
可你总觉得，什么都没有改变，也没有什么特别夸张的感觉，欧洲就是欧洲，不是天堂。
每天漫长的旅程让你觉得不那么舒服，导游却不知疲倦尽职尽责的把你拉到每一个值得驻足的地方。
景色很美，你承认这一点，但你觉得有点累了。
在众人不解的目光中，你决定回家。
妈妈从你进家门就念叨你傻，好好的大奖，就这么回来真是白瞎。
每个认识你的人都重复着妈妈的话，似乎自己真的是个傻子。
很久很久以后，你去便利店买鸡蛋，人们围过来向你欢呼。
这一切似曾相识的像是个玩笑。
店老板笑嘻嘻的跑过来宣布，你是这家店开业以来……
你拒绝了。
为什么？店老板以为自己听错。
大概我比较懒吧，你笑着回答，拎着鸡蛋走出便利店。
回到家，妈妈问你怎么去这么久。
“听说有人中了大奖，我就过去凑凑热闹。”
你把鸡蛋塞进冰箱。#微博新知博主#
王盐：
你去便利店买牛奶。
跨入店门的那一刻，好多人跑出来对你欢呼。
店老板告诉你，开业以来的第一万名顾客，可以得到免费去欧洲一月游的机会。
你脑海中浮现出电视上美丽的欧洲景色还有欧洲归来的人们眉飞色舞的样子。
经过长时间的准备，你站在欧洲的土地上，满脸的期待。
到达欧洲的第一个晚上，你激动的失眠了。
欧洲应该是个很美好的地方，你在日记中写道。
可在欧洲时间长了，新奇的感觉慢慢淡去，你吃不惯那里的食物，常常会拉肚子，你和欧洲人语言不通，没人能理解你喜欢的笑话。你开始觉得，欧洲也就是那么回事，和自己的家乡一样有好有坏，没什么太大区别。
旅程再也引不起你的兴趣。
欧洲的很多著名景点，其实并没有照片和电视里那么美丽，你在给朋友的回复短信中写道。
朋友说你不懂得珍惜，既然有了这样的机会，就要好好的努力去享受，不要浪费。
朋友还说，大家都很羡慕你，去欧洲是他的梦想，可惜没有机会实现。
据说没去过欧洲的人生是不完整的，据说很多人因为欧洲之行从而改变人生。
可你总觉得，什么都没有改变，也没有什么特别夸张的感觉，欧洲就是欧洲，不是天堂。
每天漫长的旅程让你觉得不那么舒服，导游却不知疲倦尽职尽责的把你拉到每一个值得驻足的地方。
景色很美，你承认这一点，但你觉得有点累了。
在众人不解的目光中，你决定回家。
妈妈从你进家门就念叨你傻，好好的大奖，就这么回来真是白瞎。
每个认识你的人都重复着妈妈的话，似乎自己真的是个傻子。
很久很久以后，你去便利店买鸡蛋，人们围过来向你欢呼。
这一切似曾相识的像是个玩笑。
店老板笑嘻嘻的跑过来宣布，你是这家店开业以来……
你拒绝了。
为什么？店老板以为自己听错。
大概我比较懒吧，你笑着回答，拎着鸡蛋走出便利店。
回到家，妈妈问你怎么去这么久。
“听说有人中了大奖，我就过去凑凑热闹。”
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