【聚焦宁夏九大重点产业③】中国“高端奶之乡”的远虑和近忧——宁夏奶产业发展观察
新华社客户端宁夏频道3月14日电（记者靳赫）宁夏是国内重要的牛奶主产区。近年来，宁夏通过规模化、标准化养殖，从根本上提高了生鲜乳质量、生产效益和安全性，国内“高端奶之乡”的地位正在加速形成。同时，宁夏吸引龙头乳企“抢滩”式布局，以现代化产加销手段，引领“奶瓶子”里的供给侧改革走向深入，在奶业振兴中走在全国前列，也为国内奶产业加快提质增效探索出宝贵经验。
在取得一系列发展优势的同时，部分业内人士认为，宁夏奶产业持续高质量发展，也面临着牛源与饲草紧张、养殖场和乳企利益联结机制不完善、品牌建设和精深加工存短板等问题，应及时谋划布局，针对性施策。
规模化养殖促奶源高端化蝶变
宁夏奶产业在全国有着十分重要的地位。宁夏农业农村厅调研结果显示，截至2019年底，宁夏奶牛存栏量居全国第8位，生鲜乳总产量居全国第7位。考虑到宁夏面积仅有6.64万平方公里，若从平均值来看，宁夏奶产业排名更为拔群。例如，2019年宁夏人均生鲜乳占有量居全国第1位，每万人占有奶牛数居全国第2位。宁夏奶产业发展对于实现奶业振兴有着标杆性意义。
宁夏奶产业发展成就与当地资源禀赋和产业基础关系密切。宁夏地处黄河中上游，气候干爽，日照充足，冬无严寒，夏无酷暑，处于业界公认的“黄金奶源带”，自然条件十分适合优质饲草种植和高产奶牛成长。尤其在夏季，南方奶牛因热应激反应而产奶量锐减时，宁夏的高品质生鲜乳仍能保持稳定供应。
同时，在近40年的发展历程中，宁夏奶牛养殖模式已发生重大变革，产业基础雄厚。“家养一头牛，吃喝不用愁”，起初，农户在自家院里养几头奶牛，每日自行挤奶，曾是宁夏最主要的牛奶生产方式。随着产业发展，尤其是三聚氰胺事件和2015年之后持续数年的奶价大跌之后，原先农户散养奶牛的模式无论是在生产效益，还是在牛奶各项指标与安全性上都越来越跟不上产业发展需求，散户被大量淘汰出局，宁夏政府部门则在这些危机中培育规模化发展的新机，通过持续开展奶牛“出户入园”“出户入场”等工程，使标准化规模养殖场成为奶牛养殖的主角，让当地奶产业加速完成一轮深刻变革。
宁夏农业农村厅首席兽医师罗晓瑜告诉记者，目前宁夏奶牛规模化养殖率已从2010年的60%提高到98%以上。“存栏量100头以上就算规模化养殖，而我们66%的规模化养殖场奶牛存栏量都在千头以上。”罗晓瑜说。得益于此，先进养殖技术、设备和管理模式等在宁夏迅速推广普及。如今，当地规模化养殖场的奶牛良种率、机械挤奶率、青贮饲喂率等反应生产水平的关键指标均达100%，成母牛年均单产突破9000公斤，生产效益大幅提升，生鲜乳主要卫生指标达欧盟标准。
近几年，若是走进宁夏大型养殖场的挤奶大厅，生产场景足以颠覆不少人对于国内奶产业的认知：“训练有素”的奶牛排队走上重型转盘式挤奶机，几名工人只需在一旁完成套挤奶杯的工作，几分钟到十几分钟内，机器便会完成挤奶，挤奶杯自动脱落，奶牛又自行排着队走出挤奶厅。不仅如此，数百米长的大型标准化棚舍、自走式全混合日粮搅拌车、奶牛发情和健康水平自动监测系统等国际先进设备在这里都成为标配。现代化的养殖方式使宁夏牛奶的乳蛋白率、乳脂率、体细胞数等几十种指标走在全国前列，也因此，国内大型乳企普遍将宁夏视为高端奶源地。
龙头乳企加速布局引领高质量发展
得益于奶牛养殖规模化水平高、鲜奶质量好、下游有龙头乳企托底收购等，宁夏不仅抵御住了2015年以来的产业周期性下行的冲击，还获得逆势发展。近两年，随着生鲜乳收购价格止跌上行和当地政府对奶产业扶持力度持续加大，宁夏奶产业被注入加速发展的动能。
记者从宁夏农业农村厅获悉，截至2020年底，宁夏奶牛存栏量达57.38万头，较2019年底增加13.68万头，增幅达31.1%，增速全国最快。“2020年宁夏奶牛新增存栏量相当于前9年的总和。”谈起产业爆发式增长，宁夏农业农村厅畜牧兽医局副局长卢耀伏自豪地说。
在产业链下游的乳制品加工环节，一场龙头乳企间的“抢滩”式竞争也已拉开帷幕。2020年，伊利在宁夏建设的16条生产线投入生产，蒙牛的奶业全产业链高质量发展百亿集群项目加紧推进，新希望乳业宣布收购宁夏本土乳企夏进乳业，光明乳业则与宁夏中卫市、宁夏农投联手共建奶产业全产业链项目，这一年，宁夏新增生鲜乳日加工能力1400吨。
作为生鲜产品，养殖场生产的生鲜乳需每日及时运送加工，本地产业链上下游配套发展至关重要。龙头乳企争相布局，让宁夏奶产业有了“不愁销”的发展底气，如今伊利、蒙牛、夏进等乳企每年收购宁夏90%以上的生鲜乳，为当地奶产业高质量发展起到关键引领作用。
“和过去收奶的奶贩子不同，龙头乳企会和养殖场签订长期订单，他们对鲜奶质量把控非常严格，每天要检测几十种指标，不达标不但不收购，还会有严厉的惩罚措施，养殖场不敢有一点马虎。”吴忠市奶业协会会长王文兵说。正是由于产业链上下游共同对牛奶品质进行把控和监测，宁夏生鲜乳抽检合格率已连续10年保持100%。
不仅如此，龙头乳企的入驻还大大提高了行业的现代化生产水平。在伊利、蒙牛在宁公司的车间里，全封闭、全自动的智能化生产线高速运转，技术人员在中控室里点点鼠标便可“遥控”各条生产线，在牛奶预处理、杀菌、发酵、灌装等过程中，看不到一滴暴露在空气中的牛奶，生产效率也大大提高，其中伊利公司的一条生产线达到每小时生产4.8万瓶牛奶的惊人效率。如今，宁夏奶产业全产业链产值预计达到470亿元，其中生鲜乳产值近90亿元，而乳制品加工产值则达270亿元左右，产业链延长让整个行业受益。
加速奶业振兴短长期难题交织待解
2020年底，宁夏将奶产业确定为自治区九大重点特色产业之一，并提出新一轮奶业大发展计划，拟于5年内实现全区奶牛存栏量达100万头，生鲜乳总产量达550万吨，全产业链产值达千亿元。由于目前国内居民每年人均牛奶消费量大大低于发达国家，市场潜力巨大，且宁夏产业基础良好，上行发展趋势明显，业内人士对产业前景普遍看好。然而，也有部分业内人士表示，这一宁夏优势产业发展也面临着不少短期与长期交织的问题，应提前谋划布局，以保障持续高质量发展。
首先，妥善解决牛源与饲草“卡脖子”问题。从国外进口高产奶牛是各养殖场重要的扩大养殖规模方式，近两年宁夏新建的养殖场补栏尤其依赖进口，据卢耀伏介绍，各养殖场自繁自育所需的优质性控冻精等也有相当一部分来源于国外。同时，近两年随着全国各鲜奶主产区养殖户补栏积极性增长，市场上奶牛尤其是国外高产奶牛呈供不应求之势，价格持续攀高。“2019年到2020年，一头进口奶牛的价格上涨了1万元左右，还很难买到，我们最后只能‘指着牛肚子买’，抢先预定还在母牛肚子里的小牛。”宁夏利垦牧业红崖子第一奶牧场场长杨洋说。
与此同时，宁夏近年来饲草种植面积滞后于养殖规模扩张速度，随着养殖规模扩大，饲草缺口可能进一步加大。部分基层干部和养殖场主建议，应大力支持奶牛良种繁育基地建设，加快核心种子母牛群和优质后备种公牛培育，促进高产奶牛快速扩繁，同时提高种养结合水平，解决养殖场配套种植土地不足的问题，并通过建设优质饲草基地、调优种植结构、推广“黑麦草+青贮玉米”一年两收模式等手段增加饲草供给。
其次，完善养殖场和乳企利益联结机制。作为产业上下游两个重要环节，养殖场和乳企利益却有较为明显的冲突，前些年生鲜乳供不应求时，乳企需高价抢奶，近几年生鲜乳供应量大增，不少养殖场主又反映养殖场缺乏议价权，长此以往不利于产业稳定发展。部分业内人士建议，应引导乳企和养殖场通过股份合作、二次分红等方式，形成利益共享、风险共担的利益联结机制，并充分发挥行业协会作用，完善政府、行业协会与乳企共同议价的机制。
再次，进一步做强品牌、发展精深加工。尽管此前宁夏已着手打造“宁夏牛奶”区域公用品牌，并在业界形成良好口碑，但记者调研发现，目前消费者对这一品牌的知晓度并不高，品牌带来的价格优势也未充分凸显。与此同时，宁夏目前的牛奶产品依然以常温液态奶、酸奶等普通产品为主，附加值高的稀奶油、奶酪、蛋白粉等高端产品仅有个别企业加工，产量占比很小。宁夏塞尚·金河集团董事长闫建国等人认为，随着经济发展和居民生活水平进一步提高，未来高端乳制品市场前景将越来越广阔，应提前布局谋划，引导企业发展精深加工，进一步提高产品附加值。
新华社客户端宁夏频道3月14日电（记者靳赫）宁夏是国内重要的牛奶主产区。近年来，宁夏通过规模化、标准化养殖，从根本上提高了生鲜乳质量、生产效益和安全性，国内“高端奶之乡”的地位正在加速形成。同时，宁夏吸引龙头乳企“抢滩”式布局，以现代化产加销手段，引领“奶瓶子”里的供给侧改革走向深入，在奶业振兴中走在全国前列，也为国内奶产业加快提质增效探索出宝贵经验。
在取得一系列发展优势的同时，部分业内人士认为，宁夏奶产业持续高质量发展，也面临着牛源与饲草紧张、养殖场和乳企利益联结机制不完善、品牌建设和精深加工存短板等问题，应及时谋划布局，针对性施策。
规模化养殖促奶源高端化蝶变
宁夏奶产业在全国有着十分重要的地位。宁夏农业农村厅调研结果显示，截至2019年底，宁夏奶牛存栏量居全国第8位，生鲜乳总产量居全国第7位。考虑到宁夏面积仅有6.64万平方公里，若从平均值来看，宁夏奶产业排名更为拔群。例如，2019年宁夏人均生鲜乳占有量居全国第1位，每万人占有奶牛数居全国第2位。宁夏奶产业发展对于实现奶业振兴有着标杆性意义。
宁夏奶产业发展成就与当地资源禀赋和产业基础关系密切。宁夏地处黄河中上游，气候干爽，日照充足，冬无严寒，夏无酷暑，处于业界公认的“黄金奶源带”，自然条件十分适合优质饲草种植和高产奶牛成长。尤其在夏季，南方奶牛因热应激反应而产奶量锐减时，宁夏的高品质生鲜乳仍能保持稳定供应。
同时，在近40年的发展历程中，宁夏奶牛养殖模式已发生重大变革，产业基础雄厚。“家养一头牛，吃喝不用愁”，起初，农户在自家院里养几头奶牛，每日自行挤奶，曾是宁夏最主要的牛奶生产方式。随着产业发展，尤其是三聚氰胺事件和2015年之后持续数年的奶价大跌之后，原先农户散养奶牛的模式无论是在生产效益，还是在牛奶各项指标与安全性上都越来越跟不上产业发展需求，散户被大量淘汰出局，宁夏政府部门则在这些危机中培育规模化发展的新机，通过持续开展奶牛“出户入园”“出户入场”等工程，使标准化规模养殖场成为奶牛养殖的主角，让当地奶产业加速完成一轮深刻变革。
宁夏农业农村厅首席兽医师罗晓瑜告诉记者，目前宁夏奶牛规模化养殖率已从2010年的60%提高到98%以上。“存栏量100头以上就算规模化养殖，而我们66%的规模化养殖场奶牛存栏量都在千头以上。”罗晓瑜说。得益于此，先进养殖技术、设备和管理模式等在宁夏迅速推广普及。如今，当地规模化养殖场的奶牛良种率、机械挤奶率、青贮饲喂率等反应生产水平的关键指标均达100%，成母牛年均单产突破9000公斤，生产效益大幅提升，生鲜乳主要卫生指标达欧盟标准。
近几年，若是走进宁夏大型养殖场的挤奶大厅，生产场景足以颠覆不少人对于国内奶产业的认知：“训练有素”的奶牛排队走上重型转盘式挤奶机，几名工人只需在一旁完成套挤奶杯的工作，几分钟到十几分钟内，机器便会完成挤奶，挤奶杯自动脱落，奶牛又自行排着队走出挤奶厅。不仅如此，数百米长的大型标准化棚舍、自走式全混合日粮搅拌车、奶牛发情和健康水平自动监测系统等国际先进设备在这里都成为标配。现代化的养殖方式使宁夏牛奶的乳蛋白率、乳脂率、体细胞数等几十种指标走在全国前列，也因此，国内大型乳企普遍将宁夏视为高端奶源地。
龙头乳企加速布局引领高质量发展
得益于奶牛养殖规模化水平高、鲜奶质量好、下游有龙头乳企托底收购等，宁夏不仅抵御住了2015年以来的产业周期性下行的冲击，还获得逆势发展。近两年，随着生鲜乳收购价格止跌上行和当地政府对奶产业扶持力度持续加大，宁夏奶产业被注入加速发展的动能。
记者从宁夏农业农村厅获悉，截至2020年底，宁夏奶牛存栏量达57.38万头，较2019年底增加13.68万头，增幅达31.1%，增速全国最快。“2020年宁夏奶牛新增存栏量相当于前9年的总和。”谈起产业爆发式增长，宁夏农业农村厅畜牧兽医局副局长卢耀伏自豪地说。
在产业链下游的乳制品加工环节，一场龙头乳企间的“抢滩”式竞争也已拉开帷幕。2020年，伊利在宁夏建设的16条生产线投入生产，蒙牛的奶业全产业链高质量发展百亿集群项目加紧推进，新希望乳业宣布收购宁夏本土乳企夏进乳业，光明乳业则与宁夏中卫市、宁夏农投联手共建奶产业全产业链项目，这一年，宁夏新增生鲜乳日加工能力1400吨。
作为生鲜产品，养殖场生产的生鲜乳需每日及时运送加工，本地产业链上下游配套发展至关重要。龙头乳企争相布局，让宁夏奶产业有了“不愁销”的发展底气，如今伊利、蒙牛、夏进等乳企每年收购宁夏90%以上的生鲜乳，为当地奶产业高质量发展起到关键引领作用。
“和过去收奶的奶贩子不同，龙头乳企会和养殖场签订长期订单，他们对鲜奶质量把控非常严格，每天要检测几十种指标，不达标不但不收购，还会有严厉的惩罚措施，养殖场不敢有一点马虎。”吴忠市奶业协会会长王文兵说。正是由于产业链上下游共同对牛奶品质进行把控和监测，宁夏生鲜乳抽检合格率已连续10年保持100%。
不仅如此，龙头乳企的入驻还大大提高了行业的现代化生产水平。在伊利、蒙牛在宁公司的车间里，全封闭、全自动的智能化生产线高速运转，技术人员在中控室里点点鼠标便可“遥控”各条生产线，在牛奶预处理、杀菌、发酵、灌装等过程中，看不到一滴暴露在空气中的牛奶，生产效率也大大提高，其中伊利公司的一条生产线达到每小时生产4.8万瓶牛奶的惊人效率。如今，宁夏奶产业全产业链产值预计达到470亿元，其中生鲜乳产值近90亿元，而乳制品加工产值则达270亿元左右，产业链延长让整个行业受益。
加速奶业振兴短长期难题交织待解
2020年底，宁夏将奶产业确定为自治区九大重点特色产业之一，并提出新一轮奶业大发展计划，拟于5年内实现全区奶牛存栏量达100万头，生鲜乳总产量达550万吨，全产业链产值达千亿元。由于目前国内居民每年人均牛奶消费量大大低于发达国家，市场潜力巨大，且宁夏产业基础良好，上行发展趋势明显，业内人士对产业前景普遍看好。然而，也有部分业内人士表示，这一宁夏优势产业发展也面临着不少短期与长期交织的问题，应提前谋划布局，以保障持续高质量发展。
首先，妥善解决牛源与饲草“卡脖子”问题。从国外进口高产奶牛是各养殖场重要的扩大养殖规模方式，近两年宁夏新建的养殖场补栏尤其依赖进口，据卢耀伏介绍，各养殖场自繁自育所需的优质性控冻精等也有相当一部分来源于国外。同时，近两年随着全国各鲜奶主产区养殖户补栏积极性增长，市场上奶牛尤其是国外高产奶牛呈供不应求之势，价格持续攀高。“2019年到2020年，一头进口奶牛的价格上涨了1万元左右，还很难买到，我们最后只能‘指着牛肚子买’，抢先预定还在母牛肚子里的小牛。”宁夏利垦牧业红崖子第一奶牧场场长杨洋说。
与此同时，宁夏近年来饲草种植面积滞后于养殖规模扩张速度，随着养殖规模扩大，饲草缺口可能进一步加大。部分基层干部和养殖场主建议，应大力支持奶牛良种繁育基地建设，加快核心种子母牛群和优质后备种公牛培育，促进高产奶牛快速扩繁，同时提高种养结合水平，解决养殖场配套种植土地不足的问题，并通过建设优质饲草基地、调优种植结构、推广“黑麦草+青贮玉米”一年两收模式等手段增加饲草供给。
其次，完善养殖场和乳企利益联结机制。作为产业上下游两个重要环节，养殖场和乳企利益却有较为明显的冲突，前些年生鲜乳供不应求时，乳企需高价抢奶，近几年生鲜乳供应量大增，不少养殖场主又反映养殖场缺乏议价权，长此以往不利于产业稳定发展。部分业内人士建议，应引导乳企和养殖场通过股份合作、二次分红等方式，形成利益共享、风险共担的利益联结机制，并充分发挥行业协会作用，完善政府、行业协会与乳企共同议价的机制。
再次，进一步做强品牌、发展精深加工。尽管此前宁夏已着手打造“宁夏牛奶”区域公用品牌，并在业界形成良好口碑，但记者调研发现，目前消费者对这一品牌的知晓度并不高，品牌带来的价格优势也未充分凸显。与此同时，宁夏目前的牛奶产品依然以常温液态奶、酸奶等普通产品为主，附加值高的稀奶油、奶酪、蛋白粉等高端产品仅有个别企业加工，产量占比很小。宁夏塞尚·金河集团董事长闫建国等人认为，随着经济发展和居民生活水平进一步提高，未来高端乳制品市场前景将越来越广阔，应提前布局谋划，引导企业发展精深加工，进一步提高产品附加值。
上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
齐齐哈尔姑娘李盈莹立功！中国女排双杀美国丨郎平盛赞……
绝境逢生！
中国女排精神再度完美上演，两赢老对手美国太解气
北京时间10月14日，中国女排迎来了六强赛的首场对决，对手是美国女排。
前三局的比赛，中国女排1比2落后。第四局，齐齐哈尔姑娘李盈莹最后时刻发挥出色，中国女排将大比分扳平。决胜局李盈莹再度发挥，最终帮助女排3比2，逆转了对手，拿到六强赛开门红。整场比赛，朱婷得到了25分，李盈莹得到了12分。
美国女排在上一次交手0比3惨败给中国女排之后，这次六强赛再度相遇，她们果然作出了变化，亚当斯进入了先发阵容。开局中国女排就遭遇了争议判罚，张常宁打手出界没有判罚。开局女排1比4落后，朱婷强攻，帮助女排追到了6比7。暂停回来，朱婷再度强攻得手，追到了9平。不过，此后美国女排又拉开了分差。
在丁霞发球失误之后，中国女排一度14比17落后。然而，女排此后打出了一波6比2，完成反超。关键时刻朱婷连续得分，拉尔森的进攻被中国女排双人拦网封住，中国女排25比22拿下了第一局。
第二局女排依然慢热，亚当斯三号位快攻得手，美国女排11比9领先。张常宁扣球打手出界，中国女排一度追到了13比15。丁霞救球出界，女排14比19落后。此后，郎导两点换三点，然而，姚迪和曾春蕾上场之后，并没有改变被动的局面，朱婷一次扣球，肩膀还别了一下，表情痛苦。阿金拉德沃扣球得分，美国女排25比19扳回一局。
第三局女排开局的一传问题仍然明显，同时，龚翔宇的强攻也没有奏效，郎导用曾春蕾换下了龚翔宇。在女排追到12平之后，美国女排打出了一波5比0，拉开了分差。此后女排苦苦追赶，颜妮发球失误，中国女排17比21落后。李盈莹替补张常宁上场之后，女排连续追分，19比22，美国女排喊出了暂停。暂停回来，美国女排稳住局面，希尔打直线得手，25比20再下一城。
第四局女排开局占优，不过对手追到了12平，关键时刻，曾春蕾进攻得分，女排一波3比0，拉开分差。此后，两边比分交替上涨，在美国女排追到了19比21的情况下，朱婷强攻得手，美国女排又连追了三分，追到了22平。关键时刻，龚翔宇和李盈莹连续得分，女排25比23，扳平大比分。
决胜局，女排开局6比4领先。在对手追到7比9的情况下，李盈莹完全开挂了。强攻得手之后，又是发球直接得分。比赛迎来了转折，朱婷强攻，女排获得了赛点，李盈莹强攻制胜，女排笑到了最后。
纵观整场比赛，惠若琪总结道：“今天两支球队都发挥了非常高的水平，哪一方的发接做得更好，在某一局就能赢取胜利，两强相遇，比发接、比细节、比心态，比在关键球上如何做的更坚定更果断。最后，中国队的发球攻击力提升上去了，尤其是换上李盈莹后，从进攻到发球都给了中国队很大的帮助，最后队伍用全队的努力取得了胜利。”
李盈莹赛后采访：用年轻队员的冲劲带动自己赢球是大家共同努力的结果
人物小传
李盈莹，2000年2月出生于黑龙江省齐齐哈尔市，自幼在齐齐哈尔中小学校园排球青训体系接受排球训练。9岁时被天津女排主帅王宝泉相中，进入天津女排青训体系受训，作为左手球员，在主攻位置上展现出了非凡的才华，多次入选国家少年女排和国家青年女排，在世少赛和世青赛上均有不俗表现。2017—2018赛季中国女排超级联赛，李盈莹从天津女排青年队升入一队参赛。
终于找到第二朱婷
美国队本场比赛抱着复仇的姿态，因此在开场落后一局之后，连胜2局。
但是在第四局，中国队小将李盈莹的两记扣球，直接将比赛拖入到决胜第五局时刻。李盈莹的出色状态成为了第五局中国队的核心，无论是发球还是拦网，李盈莹都表现十分出色，最终在第五局帮助中国队锁定胜局，成为本场比赛的奇兵。
早在复赛对阵俄罗斯的比赛，李盈莹就在替补登场后表现十分神勇，帮助场面一度胶着的中国女排3比1击败了俄罗斯队。而此役第四局，郎平令旗一挥，让李盈莹替补登场。而18岁的中国新星，也再次没有辜负郎导的信任。
全场比赛，李盈莹替补出战，在短时间里砍下12分，并列队内第三位。她的爆发让人看到了在进攻端朱婷的影子。
本场比赛，中国队的核心朱婷、龚翔宇以及张常宁都被对手看的很紧，李盈莹的破局成为比赛的关键转折，这毫无疑问也成为了她职业生涯的转折点。她的进攻与发球有望成为中国女排在争冠道路上的利器。
作为仅仅只有18岁的小将，在比赛中会出现过多失误，进攻被三人拦网也出现了多次。但是在关键时刻她却是敢打敢拼的球员，这一点在气场方面她胜过太多的球员，因此成为中国队的奇兵。
郎平靠18岁奇兵再次打服美国
对手名帅气得直跺脚
而到了令人窒息的第五局，李盈莹继续表现神勇，不仅进攻端持续有贡献，她的杀手锏发球也帮助中国女排在中局成功拉开比分。当李盈莹一次进攻帮助中国女排7比5领先时，美国名帅基拉里甚至暴怒的直跺脚怒吼，显然他也被李盈莹给“惹毛”了。
最终李盈莹在出场三局的情况下，20扣9中，外加1个拦网2个得分，总共得到了12分，表现可谓是不辱使命。而郎导能在生死的关键时刻依然敢信任如此年轻的李盈莹，也不得不让人顶礼膜拜她确实有“用人不疑”的大心脏。
接下来中国队不出意外将晋级四强，若是在半决赛或者是决赛中面对意大利，中国队有望去冲击唯一输掉的对手。目前中国队多位进攻手状态不错，不会再惧怕面对意大利，
https://t.cn/E7nhFIW
绝境逢生！
中国女排精神再度完美上演，两赢老对手美国太解气
北京时间10月14日，中国女排迎来了六强赛的首场对决，对手是美国女排。
前三局的比赛，中国女排1比2落后。第四局，齐齐哈尔姑娘李盈莹最后时刻发挥出色，中国女排将大比分扳平。决胜局李盈莹再度发挥，最终帮助女排3比2，逆转了对手，拿到六强赛开门红。整场比赛，朱婷得到了25分，李盈莹得到了12分。
美国女排在上一次交手0比3惨败给中国女排之后，这次六强赛再度相遇，她们果然作出了变化，亚当斯进入了先发阵容。开局中国女排就遭遇了争议判罚，张常宁打手出界没有判罚。开局女排1比4落后，朱婷强攻，帮助女排追到了6比7。暂停回来，朱婷再度强攻得手，追到了9平。不过，此后美国女排又拉开了分差。
在丁霞发球失误之后，中国女排一度14比17落后。然而，女排此后打出了一波6比2，完成反超。关键时刻朱婷连续得分，拉尔森的进攻被中国女排双人拦网封住，中国女排25比22拿下了第一局。
第二局女排依然慢热，亚当斯三号位快攻得手，美国女排11比9领先。张常宁扣球打手出界，中国女排一度追到了13比15。丁霞救球出界，女排14比19落后。此后，郎导两点换三点，然而，姚迪和曾春蕾上场之后，并没有改变被动的局面，朱婷一次扣球，肩膀还别了一下，表情痛苦。阿金拉德沃扣球得分，美国女排25比19扳回一局。
第三局女排开局的一传问题仍然明显，同时，龚翔宇的强攻也没有奏效，郎导用曾春蕾换下了龚翔宇。在女排追到12平之后，美国女排打出了一波5比0，拉开了分差。此后女排苦苦追赶，颜妮发球失误，中国女排17比21落后。李盈莹替补张常宁上场之后，女排连续追分，19比22，美国女排喊出了暂停。暂停回来，美国女排稳住局面，希尔打直线得手，25比20再下一城。
第四局女排开局占优，不过对手追到了12平，关键时刻，曾春蕾进攻得分，女排一波3比0，拉开分差。此后，两边比分交替上涨，在美国女排追到了19比21的情况下，朱婷强攻得手，美国女排又连追了三分，追到了22平。关键时刻，龚翔宇和李盈莹连续得分，女排25比23，扳平大比分。
决胜局，女排开局6比4领先。在对手追到7比9的情况下，李盈莹完全开挂了。强攻得手之后，又是发球直接得分。比赛迎来了转折，朱婷强攻，女排获得了赛点，李盈莹强攻制胜，女排笑到了最后。
纵观整场比赛，惠若琪总结道：“今天两支球队都发挥了非常高的水平，哪一方的发接做得更好，在某一局就能赢取胜利，两强相遇，比发接、比细节、比心态，比在关键球上如何做的更坚定更果断。最后，中国队的发球攻击力提升上去了，尤其是换上李盈莹后，从进攻到发球都给了中国队很大的帮助，最后队伍用全队的努力取得了胜利。”
李盈莹赛后采访：用年轻队员的冲劲带动自己赢球是大家共同努力的结果
人物小传
李盈莹，2000年2月出生于黑龙江省齐齐哈尔市，自幼在齐齐哈尔中小学校园排球青训体系接受排球训练。9岁时被天津女排主帅王宝泉相中，进入天津女排青训体系受训，作为左手球员，在主攻位置上展现出了非凡的才华，多次入选国家少年女排和国家青年女排，在世少赛和世青赛上均有不俗表现。2017—2018赛季中国女排超级联赛，李盈莹从天津女排青年队升入一队参赛。
终于找到第二朱婷
美国队本场比赛抱着复仇的姿态，因此在开场落后一局之后，连胜2局。
但是在第四局，中国队小将李盈莹的两记扣球，直接将比赛拖入到决胜第五局时刻。李盈莹的出色状态成为了第五局中国队的核心，无论是发球还是拦网，李盈莹都表现十分出色，最终在第五局帮助中国队锁定胜局，成为本场比赛的奇兵。
早在复赛对阵俄罗斯的比赛，李盈莹就在替补登场后表现十分神勇，帮助场面一度胶着的中国女排3比1击败了俄罗斯队。而此役第四局，郎平令旗一挥，让李盈莹替补登场。而18岁的中国新星，也再次没有辜负郎导的信任。
全场比赛，李盈莹替补出战，在短时间里砍下12分，并列队内第三位。她的爆发让人看到了在进攻端朱婷的影子。
本场比赛，中国队的核心朱婷、龚翔宇以及张常宁都被对手看的很紧，李盈莹的破局成为比赛的关键转折，这毫无疑问也成为了她职业生涯的转折点。她的进攻与发球有望成为中国女排在争冠道路上的利器。
作为仅仅只有18岁的小将，在比赛中会出现过多失误，进攻被三人拦网也出现了多次。但是在关键时刻她却是敢打敢拼的球员，这一点在气场方面她胜过太多的球员，因此成为中国队的奇兵。
郎平靠18岁奇兵再次打服美国
对手名帅气得直跺脚
而到了令人窒息的第五局，李盈莹继续表现神勇，不仅进攻端持续有贡献，她的杀手锏发球也帮助中国女排在中局成功拉开比分。当李盈莹一次进攻帮助中国女排7比5领先时，美国名帅基拉里甚至暴怒的直跺脚怒吼，显然他也被李盈莹给“惹毛”了。
最终李盈莹在出场三局的情况下，20扣9中，外加1个拦网2个得分，总共得到了12分，表现可谓是不辱使命。而郎导能在生死的关键时刻依然敢信任如此年轻的李盈莹，也不得不让人顶礼膜拜她确实有“用人不疑”的大心脏。
接下来中国队不出意外将晋级四强，若是在半决赛或者是决赛中面对意大利，中国队有望去冲击唯一输掉的对手。目前中国队多位进攻手状态不错，不会再惧怕面对意大利，
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