《叶军数学工作站》第215期问题研究A等价命题的证明
大罕

本文在邬天泉证明的基础上，作了详细说明和某些简化．这些简化，虽然不是本质的，但也是必要的．

【问题】已知非零实数a,b,c满足ab=b+c，①bc=c+a，②ca=a+b，③

试求(b/a)^6+(c/b)^6+(a/c)^6的值.

【解答】

由①-②、①-③、②-③得：

b(a-c)=b-a，

a(b-c)=c-a，

c(b-a)=c-b，

⇒abc(a-c)(b-c)(b-a)=(b-a)(c-a)(c-b)，⇒abc=1.

以下约定符号：∑a=a+b+c，∑ab=ab+bc+ca，∑(b/a)=b/a+c/b+a/c，∑(a/b)=a/b+b/c+c/a，

①+②+③得 ∑ab=2∑a；

④

由①、②、③得

a-1=c/b，b-1=a/c，c-1=b/a，

⇒(a-1)(b-1)(c-1)=1，

⇒∑a=1+∑ab．

⑤

由④、⑤得 ∑a=-1，∑ab=-2.

又由①、②、③得

a=1+c/b，b=1+a/c，c=1+b/a，

⇒∑a=3+∑(b/a), ⇒∑(b/a)=-4，

再由①、②、③得　

b=b/a+c/a，c=c/b+a/b，a=a/c+b/c，

∴∑(b/a)+∑(a/b)=∑a，

∴∑(a/b)=-1-(-4)=3．

∑(b^2)/(a^2)=(∑(b/a))^2-2∑ab
=(-4)^2-2×3=10，

且∑(a^2)/(b^2)=(∑(a/b))^2-2∑(b/a)
=3^2-2×(-4)=17，
　∴∑(b^4)/(a^4)=[∑(b^2)/(a^2)]^2-2∑(a^2)/(b^2) =10^2-2×17=66，
　利用公式x^3+y^3+z^3= (x^3+y^3+z^3-3xyz)+3xyz
=(x+y+z)[x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)]+3xyz，有
　∴∑(b/a)^6=[∑(b^2)/(a^2)]^3=3(abc)^2+[∑(b^2)/(a^2)][∑(b^4)/(a^4)- ∑(b^2)/(a^2)]
　=3+10×(66-17)=493.

（正规书写过程详见附图）
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