正方形内一点到三顶点距离为定值问题
大罕

通过上一篇短文见识了旋转变换．下面再举一例，加深理解．

【问题】正方形ABCD内一点P，已知PA=7，PB=4，PC=9，求正方形ABCD的面积.

【解】将△BPC绕点B逆时针旋转90°得△BEA，如图，

则△BEP为等腰直角三角形，∴PE=4√2，

又∵△BEA≌△BPC ，∴EA=PC=9，而PA=7，由勾股定理逆定理知，△APE为直角三角形，且∠APE=90°，

过点A作BP延长线的垂线，垂足为F，由∠APB=90°+45°=150°，∴∠APF=45°.

∴在Rt△PAF中，AF=PF= (1/√2)PA=7/√2，

∴在Rt△ABF中，

AB^2=BF^2+AF^2=(4+7/√2)^2+(7/√2)^2=65+28√2，这就是正方形ABCD的面积.

【评论】正方形ABCD内一点P到三顶点A、B、C距离为定值，实际上就是△ABC内一点P到三顶点A、B、C距离为定值.因此，依然是利用旋转来解决这一问题.不过，只是旋转90°的不同罢了.

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BEAMS Recommend SHOP at HARAJUKU（原宿）

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〈BEAMS原宿〉
它是1976年BEAMS的发源地，作为男士休闲旗舰店，不断传递着与时代相匹配的各种时尚和生活方式。

〈BEAMS WOMEN 原宿〉
这是一家重新定义女性休闲品牌的商店，提出融合世界流行趋势和东京街头气氛的原创风格。

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正三角形内一点到三顶点距离为定值问题
大罕

以下问题属于初中范畴，能力较强的学生可以做出来。

【问题】正三角形ABC内一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5，求△ABC的面积.

【解】求正三角形面积，先求其边长（的平方）．为此作旋转变换．

将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得△BEA，如图，则△BPE为正三角形，且PE=PB=4.

又∵△BEA≌△BPC ，∴EA=PC=5，而PA=3，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，

过点A作BP延长线的垂线，垂足为F，由∠APB=90°+60°=150°，∴∠APF=30°，

在Rt△PAF中，AF=(1/2)PA=3/2，PF=3√3/2,

∴在Rt△ABF中，AB^2=BF^2+AF^2=(4+3√3/2)^2+(3/2)^2=12√3+25，

因此△ABC面积为(25√3/4) +9.

【评论】旋转变换是一种神奇的变换.从一点出发的三条线段，通过旋转变换，能使它们围成一个三角形，问题便迎刃而解.

本题对于拓展思路是有益的．作为一类题的模型，解题方法（旋转变换）应该记住．

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