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第n次本原单位根的伽罗华群

设Q(ω)是通过一个第n次本原单位根ω在有理域Q上生成的域扩张。因为每一个第n次单位根是ω的幂，域Q(ω)包含所有第n次单位根，并且Q(ω)是域Q的伽罗华扩张。

若k是一个整数，当且仅当k与n互素时，ωᵏ是一个第n次本原单位根，因此本例有如下映射：

ω ↦ ωᵏ；

上面的表达式引出Q(ω)的一个自同构，它把每n次本原单位根映射到它的第k次幂。Q(ω)的每一个自同构都是这样得到的，这些自同构在有理域上形成Q(ω)的伽罗华群。

取幂规则表明两个自同构的组合是通过指数相乘得到的。由此可见，我们有如下映射：

K ↦ (ω ↦ ωᵏ);

上面的表达式定义以n为模的整环的单位根与Q(ω)的伽罗华群之间的群同构。这说明伽罗华群是交换群，从而暗示本原单位根能用群表示。

备注：

1. 单位根(Roots of Unity): 设n是正整数，当一个函数为xⁿ -1 = 0或xⁿ = 1时，称它的根为n次单位根。在复数范围内，n次单位根有n个，例如当x⁴ -1 = 0时，1,-1,i和-i都是4次单位根。一般n次单位根表示为x = cos(2kπ/n) + isin(2kπ/n)，其中k=0,1,2,..,n-1 ，当k和n互质时，这个根成为本原单位根。

2. 如果一个整系数多项式的根都是n次本原单位根，这个多项式就是分圆多项式。分圆多项式在有理数集内是既约多项式。分圆方程与库默尔扩张分别由高斯和库默尔提出。

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