国际奥数包揽金牌:中国人的数学,为何这么厉害?
《史记·留侯列传》中,记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景,当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时,张良答道:“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹,为刘邦一一数出利弊,这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算,衍生出经略谋划之意,“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时,也被译为“运筹学”。
在我国古代,数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍,是先人使用数千年的“计算器”,其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法,影响不可谓不深远。尽管随着时间推移,算筹在元代以后逐渐淡出,但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹:演天地之数
算筹又名算子、筹策,它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载:“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式,其他古文明中亦有应用。在此基础上,先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”(Quipu),是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方,不同形状的绳结可以代表不同数字,也可以用来计算总数,不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载:“黄帝使羲和占日,常仪占月,臾区占星气,伶伦造律吕,大桡作甲子,隶首作算数,容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物,但也可一窥“算数”历史之悠久,并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听,□财而无枝”之语,有研究者认为,“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之,“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器,叫做“中”,《周礼》中记载“凡射事,饰中,舍算”,后世有注“中,所以盛算也”,它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期,算筹的使用已经相当普遍,《论语》中有“斗筲之人,何足算也”,《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年,在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹,是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中,明确了它的制作规范:“其算,法用竹,径一分,长六寸,二百七十一枚而成六觚,为一握。”换算成今天常用的单位,就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒,一套共271根,叫做“一握”,可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制,亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形,也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中,用“每自执牙筹,昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕:“盗夜发咸阳原上古墓,有火光出,用剑击之,铿然以坠,视之,白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪?既击碎之,有中官取以作算筹。”古人用帘,需能随意舒卷,因此白玉帘可能不是整片的白玉,而是由多条磨细的玉棒连缀而成,正适合做算筹。
古人为了携带方便,通常将算筹放在一个布袋里,挂在腰带上,这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定,“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子,被古人认为“秦皇东游,弃算袋于海,化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃(Virgularia sp.),因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形,很像一根算筹,古人称之为“越王余算”,并创造了相关传说:“昔晋安越王渡南海,将黑角白骨作算筹,其有馀者,弃于水中而生此,故叶白者似骨,黑者似角。
纵横布筹,算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算?或许有人会联想起一个经典的笑话:老师教学生写字,讲“‘一’字画一横,‘二’字画两横,‘三’字画三横”,学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信,他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹,要怎么表达数字呢?难道也像这个故事里的学生那样,表达数字“一”摆一根,数字“十”摆十根,数字“万”摆一万根吗?其实,古代的算筹记数依据是“位值制”记数法,即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身,而取决于它在记数中所处的位置,这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上,即每满十数进位,相比于二十进制、六十进制,这种进位制的应用最广泛,我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期,我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到:“一少于二,而多于五,说在建。”意思是,如果一和二都位于个位,一比二小;但如果一位于十位及以上,它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载,晋国绛县老人自称“臣生之岁,正月甲子朔,四百有四十五甲子矣,其季于今,三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日,最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁,师旷说:“73年。”史赵则给出了一个字谜:“亥有二首六身,下二如身,是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横,下面是三个“人”字,形同“六”字,如果把上面的“二”移到下方,就成了“二六六六零”,将天数折合为年就是73年。(如果是2666天,和现实不符)
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则:“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。”
“一纵十横,百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法,个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放,避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹,如果要用算筹表达从6到9的数字,则不需要摆和数字一样多的根数,而是先摆一根代表5,再在和它垂直交叉的方向放上1到4根,就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符,用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上,五在上方,六不积算,五不单张”。
算筹摆位的时候,高位在左,低位在右,和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”,并不需要摆71824根,只需要在个位摆4根,十位摆2根,百位摆8根,千位摆1根,万位摆7根就可以。因此,现代认为,“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合,表示任何十进位数字的系统”。
与之相比,其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如,以古埃及的数字形式表达“3244”,需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字,并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数,在书写数字时,将对应的字母写在一起,如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大,则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2,中下为2/3,底部为1/12;中栏中间表达数字为60,右栏顶部为1/30,中间为1/40。
用算筹做加法、减法,是按照从左到右的顺序,从高位到低位逐位相加、相减,随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹,也可以直接在被加或被减的数字上操作,把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似,以乘法为例,古人的做法是“上下相乘,实居中央”,先把乘数和被乘数按上下位置摆好,按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位,把乘得的积摆在上下两数中间,然后去掉上面的数的第一位,把下面的数往右移动一位;再用上面数的第二位乘下面数的每一位,把结果和中间的乘积相加……这样以此类推,直到计算完成。做除法是将被除数放中排,除数放下排,商数放上排,余数放在最下一排,刘徽《九章算术注》中定义,在上的筹称“实”,在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算,可以将算筹涂上不同的颜色,宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数;如果使用同色算筹,就在数字最后一位斜放一根,以示区分。做小数计算的话,要将小数部分和整数部分区分开,南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称,比如要计算天数,就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时,和现代的分数表达形式一样上下摆放,《孙子算经》称在上的筹为“子”,在下的筹为“母”,这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来,甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算,《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴,“大乘除皆不下照位,运筹如飞,人眼不能逐。人有故移其一算者,朴自上至下手循一遍,至移算处,则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点,即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算,算筹还可以用来做开方、开立方,解高次方程、四元方程等,自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就,都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石,它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。

我哥的女朋友怀孕了,我妈知道后开心到飞,就说了一句话,没想到嫂子就去医院把孩子流了。

我哥和嫂子已经谈了两年多了,最近一直在谈结婚的事。现在婚房也准备好了,就差订婚,准备婚礼了。

本来嫂子家要了12万的彩礼,我家一直嫌多,要留出办婚礼的钱,还要准备出这么多彩礼钱真的很吃力,就想少拿点,可女方家里说,这些钱他们也不要,是给闺女买嫁妆用的,不能不拿,要不然亲戚朋友那都没有脸面,后来我家人也同意了。

没想到,这时候,我哥突然告诉我妈,嫂子怀孕了,我妈可高兴了,心想反正俩人要结婚了,现在正好双喜临门。我妈就跟嫂子说:以后有了孩子,这花钱地方也多了,能不能那12万彩礼就不给了,也不要你娘家买什么嫁妆,这些钱还给你们留着,未来养孩子用。

我嫂子听了当时也没说什么,没想到一回家就变了个人,都没告诉我哥,就跟她妈一起去医院,把孩子流了。

我哥很生气,可嫂子说:“要怪就怪你妈,没把她家放在眼里,以为有了孩子就能免了彩礼吗,想得也太美了吧。”

我妈知道后,哭了好几天,她的本意本来也是好的,谁知事情结果竟是这样。

之后,为了娶嫂子进门我们家一分钱也没少出,结婚后我嫂子对我妈也不冷不热的,我妈心里一直不舒服。

为了孩子的婚事,父母操碎了心,希望孩子们也能理解一下父母吧

自从堂姐没去读书后,那个9岁的我就一直巴巴地依赖着二姐,放学,上学总是走在她后面。
也经常去她教室等她。留堂听写时,她什么都不会,我也不顾老师就直接坐在她旁边,告诉她怎么写。我想讨好她。
我什么都不懂,但我希望二姐不要和堂姐那样,受人欺负。

从5年级开始,我们终于读同班,我第一次兴奋地去请求老师,我要和她坐同桌。
我把笔记给二姐抄,跟她讲阅读题,怎样快速地背诵课文......。
可她永远都会去等同学下课,去找她们一起上学。却很少和我多说一句话。
我总觉得和二姐之间有道无法逾越的沟,不自觉地隔开我们,可我说不清楚是怎么回事?

6年级时,第一次为了她,向老师发脾气。可也是仗着老师对我的喜欢,才敢那样做吧。
那天老师提出重选组长,我自然选我二姐。但在选票里,是我,二姐,男同学,三人票数差不多。
我自己放弃,把票给了二姐,但老师选了男同学。
我突然站了起来,力气大到站起的时候把椅子也弄翻。用力:扶起,放好,响彻教室的声音在我一通发泄下,更加乱响。
老师呆站在一旁,在她惊愕的眼皮底下,我流利地收拾课本,背起书包,一溜烟地逃课去了。
第二天上学,老师没说什么,宣布了二姐当组长。
喜不自胜.....

第二学期,大伯要二姐休学,去工厂打工。做羊毛机学徒。
半手工的羊毛机器上密密麻麻排满了各种色号的线,毎一根都有它的位置,每一根都需要先弯着腰排好。
那些线是我整个童年的阴影,我总觉得有一天,我们每个人的命运都会拴在那些线上,只能24个小时不停地转,没有日与夜。

放学后,我一如既往,跟在二姐身旁,怔怔地看着她的背影。走着走着,我的眼泪就掉下来。

她才13岁啊,去了工厂也只是个童工。

就要用那双小小的手扛起养家的重担,大人都去哪里了,有人告诉我吗?每个大人都在干什么呢?邻居家的姐姐也去当羊毛机童工,二姐也要去当童工。
我们女孩子的命,就是这样吗?
古老破败的墙壁永远残旧不堪,木板支起摇摇晃晃的床永远放着一张潮湿的棉被,单薄的衣裳即使过年也不会温暖。
这些不会说话,但它就在哪里告诉了我答案。我们改变不了命运,在这样的环境里,我们女孩的命运是案板上鲜艳的猪肉,流着血水地被一片片切开。

我问二姐:再坚持一学期吧,把小学读完,好吗?
她满脸泪水。
我紧紧抱住了她,像抱住了自己的命运。
也许有一天,我也会是她。

我们一起反抗,好吗?
我闯进了大伯家,拼命地说话,滔滔不绝。从哀求,生气到愤怒,直到自己也放声大哭。
二姐默默坐在一旁,低着头。
其实我们都明白,空荡荡的屋里也变不出学费,大伯当水泥工的手长出了泥藓也变不出学费。
我们只是想反抗一下,上天的不公。

第二个学期,二姐和我一起上学了。
我们的关系比以前好了些,但依然无话可说。
我们犹如被一根根钉子钉好的木偶,只要摆在位置上就好了。
小学结束后,二姐就去当了童工。
我哭了好几次。

上初中时,妈妈生病把家里的钱花光并且欠了一大笔债,没钱支付学费。
我和其他的学生坐在教室里,忐忑不安。老师在宽敞人声鼎沸的教室里问:谁没交学费。全班就我一个人在突然安静的空间里举起手,缓缓站了起来。
从那刻起,自卑的种子在我心里生根发芽。而我,也终于认清,自己的命运。
也许我要做点什么?比如逃课,比如去爷爷恐怖的琴房看看,比如骑着老旧的自行车去城里走走......

第一次逃课,躺在空旷的草地上,和同学谈梦想,谈未来,或是一言不发,静静看着天空发呆。
同学说:我的梦想就是当个好妻子。
又说:苟富贵,勿相忘。并把这句话写在语文书本上。
这两句话也刻在了还能谈梦想的时光中,偶尔残喘想起。那个少女成了别人的妻子,藏在了手机打不通的号码里。

跑去爷爷恐怖的琴房,永远闷热昏暗。我总觉得里面躲着一个看不见又能窃视到我的灵魂,它一定也在看着我。
一页页的画像,一纸纸毛笔字,一架架当时说不出名字的乐器,我第一次好奇地拔动了那根弦......

和同学骑着自行车第一次进城,我们找了个中介,一人交了一百块钱。交完,身上一分钱也没有,暑气直冒的地上,饥渴难耐,喉咙生出一堆堆烟火来。
回家,抱着焦急到处找人的父母大哭。
第二天,还能去上学。
......
有时我在想,那个年代的大人到底怎么了,拼命地生孩子,像生一个个只是被吃掉的鸡蛋。这些小孩才稍稍长大一点,就迫不及待地被吃掉了。

我也只是那个被吃掉的小孩,即使长大。

而大人也只是被命运吃掉的小孩,而已。


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