脉望 ● 卷之一(2)
楚词云：“毋滑尔魂兮（巳也，汞也），彼（铅也，魄也）将自然。一气（药也）孔神兮，于中夜（时也）存。虚（心也）以待（时至也）之兮，母为之先。（二十七字括尽丹书。可见《参同》、《悟真》之说由来远矣。）”前此庄子云：“气也者，虚而待物者也，唯道集虚。”虚者，心斋也。又云：“善养生者，若牧羊然，视其后者而鞭之。”夫不先不后，乃勿助勿忘之谓也。故《沁园春》云：“炼已待时。”《青华秘文》云：“守己待癸生时。”“虚待”二字之义，渊矣哉。
《口诀》云：“便就动处略提起，凝住一念，助其腾腾上冲，谓之釆。闭气于下，使心气迎之与之交媾，谓之合。”故卓壶云云：“彼土如何发动，与此土如何对举？真：音演。疑为“铅”字误。之未生也，有为之媒。真之既生也，有为之机。铅汞之相见也，有为之防。铅汞之归釜也，有为之胎。以至沐浴抽添，何莫非真土之妙用也哉。”
寂然不动，土之性也。盖根尘已绝，万虑俱泯，一气纵横，自然遁道上升，降入丹田而成至宝。陈虚白以身心不动为採药，盖此意也。岂区区意迎目送运用之为哉。
火候全在念上着力。虚白云：“念不可起，意不可散。起火时人力不可干预，惟虚静为主，不使杂念挠之，听其自然。待其熏蒸一回，自尔生阴，化为玉液下降，灌溉五脏。喉中觉有甘津，乃其验也。到此时还守虚静，一毫不挠，自会凝结，久之寂定，方可徐徐而起。”
《真诠》谓：“性命只是一件，人之所以死者，形神离也。既死，则六根具而不能用者，无神以宰之也。”是知神乃形之主，神离则气散，命岂在外哉！若非两件双修而分先后殊未妥，何也？修性则命在其中，所谓神返身中气自回是也。未有外虚静而能交媾成丹者，盖先炼精成气，后修定超脱，返难究竟。若能证得法身，何患色身不妙。盖三关自有为入无为者，渐法也；修上一关兼下二关者，顿法也。今惟径行炼神还虚功夫，直到虚极静笃，精自化炁，炁白化神，欛柄在手，命由我立，是一簇贯三关也，岂不易简而捷径哉！（真空实相，非比顽空。）
刘长真喻性为土，喻命为水。性命相见，如水土和为泥，造成器物。若未经真火锻炼，土再见水，复化为泥也，如砖瓦曾经火炼，千年不坏，何况性命炼成至宝。
关尹子云：“万物之来，我皆对之以性，而不对之以心。”性者，心未萌也。
玄牝以静极而见也，妊房以情溢而辟也。
神凝则精气聚，而百宝结者，药物也。真息往来，而未尝少有间断者，火候也。此语可谓简而尽矣。
日凿一窍，七日而混沌死。故知识不用，归乎其天，则混沌全矣。胡混成曰：“保元和者，莫先于去情识，不识不知顺帝之则，此之谓与顺率循也。”
《坛经》云：“心念不起名为坐。”释典有行禅之说，又有卧禅之旨，要之心念不起，则行卧之间，俱是坐也。
释氏面壁，自有妙义。盖洗心退藏于密，以养其神，以复寂然之本体，犹面壁然，而物无见也。故曰：“心如墙壁，而可以入道。”（善修行者，睁眼不见人。）
孟子曰：“汤武反之也。”道书曰：“逆则成丹。”故儒家能善反之，则天地之性存焉，便成尧舜。道家能善逆之，则天地之性存焉，便成神仙。复归婴儿，与不失赤子之心，其旨同焉。
列子云“与齐俱入，与汨俱出”者，入水不濡也。“随烟烬上下，徐行而出”者，入火不灼也，皆指神而言。既谓之神，则无形矣，水安能濡？火安能灼？
庄云：“物之有知者恃息。”知是性，息自命。三教圣贤，千言万论，不过发挥“知息”二字。此老提纲揭领，豁人心目于百世。
眼观心动，耳听神移，口谈气散。予自约日用有四句云：“善恶事都莫思量，出入息浑无拘纵，常常倾耳凝空照，默默垂帘仔细观。”勤而行之，不知老之将至。
《灵枢经》云：“天谷元神，守之自真。”白玉蟾曰：“自形中之神，以入神中之性。”此之谓归根复命。
老子云：“能如婴儿乎？”又云：“复归于婴儿。”儿者，元神也。故曰：“婴儿入圣机”《生神章》云：“熙颐养婴儿。”又云：“庆此婴儿脱。”
绵绵若存，老子之火候也。孟子所谓勿忘勿助是也。养珠者龙，抱卵者雌。岂有言语转相告教哉。天机妙用，自然而然。故曰“真火本无候”也。
老子所谓先天地生者，混然无气而生气也。气焉既生，即名为一。惟一故二，则两仪分而天地辟矣。故曰：“道生一，一生二，二生三。”
《见性颂》云：“心清意静，气和神定。真息绵绵，灵光莹莹。”
楚词云：“毋滑尔魂兮（巳也，汞也），彼（铅也，魄也）将自然。一气（药也）孔神兮，于中夜（时也）存。虚（心也）以待（时至也）之兮，母为之先。（二十七字括尽丹书。可见《参同》、《悟真》之说由来远矣。）”前此庄子云：“气也者，虚而待物者也，唯道集虚。”虚者，心斋也。又云：“善养生者，若牧羊然，视其后者而鞭之。”夫不先不后，乃勿助勿忘之谓也。故《沁园春》云：“炼已待时。”《青华秘文》云：“守己待癸生时。”“虚待”二字之义，渊矣哉。
《口诀》云：“便就动处略提起，凝住一念，助其腾腾上冲，谓之釆。闭气于下，使心气迎之与之交媾，谓之合。”故卓壶云云：“彼土如何发动，与此土如何对举？真：音演。疑为“铅”字误。之未生也，有为之媒。真之既生也，有为之机。铅汞之相见也，有为之防。铅汞之归釜也，有为之胎。以至沐浴抽添，何莫非真土之妙用也哉。”
寂然不动，土之性也。盖根尘已绝，万虑俱泯，一气纵横，自然遁道上升，降入丹田而成至宝。陈虚白以身心不动为採药，盖此意也。岂区区意迎目送运用之为哉。
火候全在念上着力。虚白云：“念不可起，意不可散。起火时人力不可干预，惟虚静为主，不使杂念挠之，听其自然。待其熏蒸一回，自尔生阴，化为玉液下降，灌溉五脏。喉中觉有甘津，乃其验也。到此时还守虚静，一毫不挠，自会凝结，久之寂定，方可徐徐而起。”
《真诠》谓：“性命只是一件，人之所以死者，形神离也。既死，则六根具而不能用者，无神以宰之也。”是知神乃形之主，神离则气散，命岂在外哉！若非两件双修而分先后殊未妥，何也？修性则命在其中，所谓神返身中气自回是也。未有外虚静而能交媾成丹者，盖先炼精成气，后修定超脱，返难究竟。若能证得法身，何患色身不妙。盖三关自有为入无为者，渐法也；修上一关兼下二关者，顿法也。今惟径行炼神还虚功夫，直到虚极静笃，精自化炁，炁白化神，欛柄在手，命由我立，是一簇贯三关也，岂不易简而捷径哉！（真空实相，非比顽空。）
刘长真喻性为土，喻命为水。性命相见，如水土和为泥，造成器物。若未经真火锻炼，土再见水，复化为泥也，如砖瓦曾经火炼，千年不坏，何况性命炼成至宝。
关尹子云：“万物之来，我皆对之以性，而不对之以心。”性者，心未萌也。
玄牝以静极而见也，妊房以情溢而辟也。
神凝则精气聚，而百宝结者，药物也。真息往来，而未尝少有间断者，火候也。此语可谓简而尽矣。
日凿一窍，七日而混沌死。故知识不用，归乎其天，则混沌全矣。胡混成曰：“保元和者，莫先于去情识，不识不知顺帝之则，此之谓与顺率循也。”
《坛经》云：“心念不起名为坐。”释典有行禅之说，又有卧禅之旨，要之心念不起，则行卧之间，俱是坐也。
释氏面壁，自有妙义。盖洗心退藏于密，以养其神，以复寂然之本体，犹面壁然，而物无见也。故曰：“心如墙壁，而可以入道。”（善修行者，睁眼不见人。）
孟子曰：“汤武反之也。”道书曰：“逆则成丹。”故儒家能善反之，则天地之性存焉，便成尧舜。道家能善逆之，则天地之性存焉，便成神仙。复归婴儿，与不失赤子之心，其旨同焉。
列子云“与齐俱入，与汨俱出”者，入水不濡也。“随烟烬上下，徐行而出”者，入火不灼也，皆指神而言。既谓之神，则无形矣，水安能濡？火安能灼？
庄云：“物之有知者恃息。”知是性，息自命。三教圣贤，千言万论，不过发挥“知息”二字。此老提纲揭领，豁人心目于百世。
眼观心动，耳听神移，口谈气散。予自约日用有四句云：“善恶事都莫思量，出入息浑无拘纵，常常倾耳凝空照，默默垂帘仔细观。”勤而行之，不知老之将至。
《灵枢经》云：“天谷元神，守之自真。”白玉蟾曰：“自形中之神，以入神中之性。”此之谓归根复命。
老子云：“能如婴儿乎？”又云：“复归于婴儿。”儿者，元神也。故曰：“婴儿入圣机”《生神章》云：“熙颐养婴儿。”又云：“庆此婴儿脱。”
绵绵若存，老子之火候也。孟子所谓勿忘勿助是也。养珠者龙，抱卵者雌。岂有言语转相告教哉。天机妙用，自然而然。故曰“真火本无候”也。
老子所谓先天地生者，混然无气而生气也。气焉既生，即名为一。惟一故二，则两仪分而天地辟矣。故曰：“道生一，一生二，二生三。”
《见性颂》云：“心清意静，气和神定。真息绵绵，灵光莹莹。”
#元画#【元 颜辉 老子骑牛图】绢本 轴 设色 135.2x50.4厘米，台北故宫博物院藏；
高清大图：https://t.cn/A6SW2NtR；
传说李耳出关，骑着一头青牛。本幅即画老子骑牛，一童持杖随侍。衣纹粗笔挥洒，鬓发细笔勾画，线条转折起落富变化。就画风言，与颜辉不类，应为明人仿作。
颜辉（公元十三世纪末—十四世纪初），浙江江山人。字秋月，工画人物及写生，并工画鬼，笔法奇绝，饶有生意。
高清大图：https://t.cn/A6SW2NtR；
传说李耳出关，骑着一头青牛。本幅即画老子骑牛，一童持杖随侍。衣纹粗笔挥洒，鬓发细笔勾画，线条转折起落富变化。就画风言，与颜辉不类，应为明人仿作。
颜辉（公元十三世纪末—十四世纪初），浙江江山人。字秋月，工画人物及写生，并工画鬼，笔法奇绝，饶有生意。
国际奥数包揽金牌：中国人的数学，为何这么厉害？
《史记·留侯列传》中，记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景，当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时，张良答道：“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹，为刘邦一一数出利弊，这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算，衍生出经略谋划之意，“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时，也被译为“运筹学”。
在我国古代，数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍，是先人使用数千年的“计算器”，其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法，影响不可谓不深远。尽管随着时间推移，算筹在元代以后逐渐淡出，但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹：演天地之数
算筹又名算子、筹策，它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载：“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式，其他古文明中亦有应用。在此基础上，先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”（Quipu），是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方，不同形状的绳结可以代表不同数字，也可以用来计算总数，不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载：“黄帝使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，大桡作甲子，隶首作算数，容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物，但也可一窥“算数”历史之悠久，并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听，□财而无枝”之语，有研究者认为，“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之，“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器，叫做“中”，《周礼》中记载“凡射事，饰中，舍算”，后世有注“中，所以盛算也”，它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期，算筹的使用已经相当普遍，《论语》中有“斗筲之人，何足算也”，《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年，在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹，是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中，明确了它的制作规范：“其算，法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”换算成今天常用的单位，就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒，一套共271根，叫做“一握”，可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制，亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形，也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中，用“每自执牙筹，昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕：“盗夜发咸阳原上古墓，有火光出，用剑击之，铿然以坠，视之，白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪？既击碎之，有中官取以作算筹。”古人用帘，需能随意舒卷，因此白玉帘可能不是整片的白玉，而是由多条磨细的玉棒连缀而成，正适合做算筹。
古人为了携带方便，通常将算筹放在一个布袋里，挂在腰带上，这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定，“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子，被古人认为“秦皇东游，弃算袋于海，化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃（Virgularia sp.），因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形，很像一根算筹，古人称之为“越王余算”，并创造了相关传说：“昔晋安越王渡南海，将黑角白骨作算筹，其有馀者，弃于水中而生此，故叶白者似骨，黑者似角。
纵横布筹，算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算？或许有人会联想起一个经典的笑话：老师教学生写字，讲“‘一’字画一横，‘二’字画两横，‘三’字画三横”，学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信，他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹，要怎么表达数字呢？难道也像这个故事里的学生那样，表达数字“一”摆一根，数字“十”摆十根，数字“万”摆一万根吗？其实，古代的算筹记数依据是“位值制”记数法，即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身，而取决于它在记数中所处的位置，这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上，即每满十数进位，相比于二十进制、六十进制，这种进位制的应用最广泛，我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期，我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到：“一少于二，而多于五，说在建。”意思是，如果一和二都位于个位，一比二小；但如果一位于十位及以上，它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载，晋国绛县老人自称“臣生之岁，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣，其季于今，三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日，最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁，师旷说：“73年。”史赵则给出了一个字谜：“亥有二首六身，下二如身，是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横，下面是三个“人”字，形同“六”字，如果把上面的“二”移到下方，就成了“二六六六零”，将天数折合为年就是73年。（如果是2666天，和现实不符）
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”
“一纵十横，百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放，避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹，如果要用算筹表达从6到9的数字，则不需要摆和数字一样多的根数，而是先摆一根代表5，再在和它垂直交叉的方向放上1到4根，就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符，用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上，五在上方，六不积算，五不单张”。
算筹摆位的时候，高位在左，低位在右，和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”，并不需要摆71824根，只需要在个位摆4根，十位摆2根，百位摆8根，千位摆1根，万位摆7根就可以。因此，现代认为，“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合，表示任何十进位数字的系统”。
与之相比，其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如，以古埃及的数字形式表达“3244”，需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字，并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数，在书写数字时，将对应的字母写在一起，如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大，则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2，中下为2/3，底部为1/12；中栏中间表达数字为60，右栏顶部为1/30，中间为1/40。
用算筹做加法、减法，是按照从左到右的顺序，从高位到低位逐位相加、相减，随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹，也可以直接在被加或被减的数字上操作，把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似，以乘法为例，古人的做法是“上下相乘，实居中央”，先把乘数和被乘数按上下位置摆好，按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位，把乘得的积摆在上下两数中间，然后去掉上面的数的第一位，把下面的数往右移动一位；再用上面数的第二位乘下面数的每一位，把结果和中间的乘积相加……这样以此类推，直到计算完成。做除法是将被除数放中排，除数放下排，商数放上排，余数放在最下一排，刘徽《九章算术注》中定义，在上的筹称“实”，在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算，可以将算筹涂上不同的颜色，宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数；如果使用同色算筹，就在数字最后一位斜放一根，以示区分。做小数计算的话，要将小数部分和整数部分区分开，南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称，比如要计算天数，就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时，和现代的分数表达形式一样上下摆放，《孙子算经》称在上的筹为“子”，在下的筹为“母”，这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来，甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算，《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴，“大乘除皆不下照位，运筹如飞，人眼不能逐。人有故移其一算者，朴自上至下手循一遍，至移算处，则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点，即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算，算筹还可以用来做开方、开立方，解高次方程、四元方程等，自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就，都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石，它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。
《史记·留侯列传》中，记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景，当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时，张良答道：“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹，为刘邦一一数出利弊，这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算，衍生出经略谋划之意，“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时，也被译为“运筹学”。
在我国古代，数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍，是先人使用数千年的“计算器”，其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法，影响不可谓不深远。尽管随着时间推移，算筹在元代以后逐渐淡出，但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹：演天地之数
算筹又名算子、筹策，它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载：“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式，其他古文明中亦有应用。在此基础上，先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”（Quipu），是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方，不同形状的绳结可以代表不同数字，也可以用来计算总数，不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载：“黄帝使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，大桡作甲子，隶首作算数，容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物，但也可一窥“算数”历史之悠久，并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听，□财而无枝”之语，有研究者认为，“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之，“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器，叫做“中”，《周礼》中记载“凡射事，饰中，舍算”，后世有注“中，所以盛算也”，它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期，算筹的使用已经相当普遍，《论语》中有“斗筲之人，何足算也”，《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年，在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹，是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中，明确了它的制作规范：“其算，法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”换算成今天常用的单位，就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒，一套共271根，叫做“一握”，可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制，亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形，也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中，用“每自执牙筹，昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕：“盗夜发咸阳原上古墓，有火光出，用剑击之，铿然以坠，视之，白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪？既击碎之，有中官取以作算筹。”古人用帘，需能随意舒卷，因此白玉帘可能不是整片的白玉，而是由多条磨细的玉棒连缀而成，正适合做算筹。
古人为了携带方便，通常将算筹放在一个布袋里，挂在腰带上，这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定，“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子，被古人认为“秦皇东游，弃算袋于海，化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃（Virgularia sp.），因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形，很像一根算筹，古人称之为“越王余算”，并创造了相关传说：“昔晋安越王渡南海，将黑角白骨作算筹，其有馀者，弃于水中而生此，故叶白者似骨，黑者似角。
纵横布筹，算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算？或许有人会联想起一个经典的笑话：老师教学生写字，讲“‘一’字画一横，‘二’字画两横，‘三’字画三横”，学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信，他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹，要怎么表达数字呢？难道也像这个故事里的学生那样，表达数字“一”摆一根，数字“十”摆十根，数字“万”摆一万根吗？其实，古代的算筹记数依据是“位值制”记数法，即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身，而取决于它在记数中所处的位置，这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上，即每满十数进位，相比于二十进制、六十进制，这种进位制的应用最广泛，我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期，我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到：“一少于二，而多于五，说在建。”意思是，如果一和二都位于个位，一比二小；但如果一位于十位及以上，它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载，晋国绛县老人自称“臣生之岁，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣，其季于今，三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日，最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁，师旷说：“73年。”史赵则给出了一个字谜：“亥有二首六身，下二如身，是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横，下面是三个“人”字，形同“六”字，如果把上面的“二”移到下方，就成了“二六六六零”，将天数折合为年就是73年。（如果是2666天，和现实不符）
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”
“一纵十横，百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放，避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹，如果要用算筹表达从6到9的数字，则不需要摆和数字一样多的根数，而是先摆一根代表5，再在和它垂直交叉的方向放上1到4根，就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符，用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上，五在上方，六不积算，五不单张”。
算筹摆位的时候，高位在左，低位在右，和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”，并不需要摆71824根，只需要在个位摆4根，十位摆2根，百位摆8根，千位摆1根，万位摆7根就可以。因此，现代认为，“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合，表示任何十进位数字的系统”。
与之相比，其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如，以古埃及的数字形式表达“3244”，需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字，并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数，在书写数字时，将对应的字母写在一起，如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大，则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2，中下为2/3，底部为1/12；中栏中间表达数字为60，右栏顶部为1/30，中间为1/40。
用算筹做加法、减法，是按照从左到右的顺序，从高位到低位逐位相加、相减，随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹，也可以直接在被加或被减的数字上操作，把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似，以乘法为例，古人的做法是“上下相乘，实居中央”，先把乘数和被乘数按上下位置摆好，按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位，把乘得的积摆在上下两数中间，然后去掉上面的数的第一位，把下面的数往右移动一位；再用上面数的第二位乘下面数的每一位，把结果和中间的乘积相加……这样以此类推，直到计算完成。做除法是将被除数放中排，除数放下排，商数放上排，余数放在最下一排，刘徽《九章算术注》中定义，在上的筹称“实”，在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算，可以将算筹涂上不同的颜色，宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数；如果使用同色算筹，就在数字最后一位斜放一根，以示区分。做小数计算的话，要将小数部分和整数部分区分开，南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称，比如要计算天数，就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时，和现代的分数表达形式一样上下摆放，《孙子算经》称在上的筹为“子”，在下的筹为“母”，这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来，甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算，《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴，“大乘除皆不下照位，运筹如飞，人眼不能逐。人有故移其一算者，朴自上至下手循一遍，至移算处，则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点，即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算，算筹还可以用来做开方、开立方，解高次方程、四元方程等，自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就，都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石，它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。
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