几何画板解安溪县2020届初中毕业班第一次质量检查数学试卷倒一题
（安溪县2020届初中毕业班第一次质量检查数学试卷倒一题）
25．（14分）已知抛物线C：y=ax²＋bx＋c经过点（h，4），且对于任意实数x，不等式ax²＋bx＋c≤4恒成立．
（1）若抛物线与x轴的两个交点为(x1，0)，(4-x1，0)．
①求抛物线的顶点坐标；
②若抛物线经过原点时，且当m≤x≤m＋2时，二次函数y=ax²＋bx＋c的最大值为3m，求m的值．
（2）若直线l：y=kx＋b’经过抛物线的顶点P，Q为抛物线与直线l另一个交点，当-4≤k≤-2时，线段PQ（不含端点P、Q）上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的取值范围．
图文解析
观察动态演示：（图1）
结合图形与题意，可知：a＜0，y的最大值为4．
（1）①【分析】如图2，根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称即可求出对称轴，从而求得抛物线的顶点坐标．
【解析】由题意，得抛物线的对称轴是直线：
y的最大值是4，
∴抛物线的顶点坐标是（2，4）.
②【分析】根据题意与①可求出抛物线的解析式为y=-(x-2)²＋4，根据m、m+2的值与对称轴x＝2的关系分三种情况讨论：
（ⅰ）如图3，当m＋2＜2，即m＜0时，由于a＜0，抛物线的开口向下，故在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，所以当x＝m＋2时，y取得最大值3m，从而-(m+2-2)²＋4＝3m，解方程即可求出m的值.
（ⅱ）如图4，当m≤2≤m＋2，即0≤m≤2时,由于a＜0，抛物线的开口向下，故当x＝2时，y取得最大值3m，从而-(2-2)²＋4＝3m，解方程即可求出m的值.
（ⅲ)如图5，当m＞2时，由于a＜0，抛物线的开口向下，故在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，所以当x＝m时，y取得最大值3m，从而-(m-2)²＋4＝3m，解方程即可求出m的值.
【解析】由①知：抛物线的解析式为：y=a(x-2)²＋4，
∵抛物线经过原点，
∴0=a(0-2)²＋4，
解得 a＝-1，
∴抛物线的解析式为：y=-(x-2)²＋4，
（ⅰ）当m＋2＜2，即m＜0时，
∵a＜0，抛物线的开口向下，
∴在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，
∴当x＝m＋2时，y取得最大值3m，
∴-(m+2-2)²＋4＝3m，即m²＋3m-4＝0，
解得 m1＝-4，m2＝1（舍去）；
（ⅱ）当m≤2≤m＋2，即0≤m≤2时,
∵a＜0，抛物线的开口向下，
∴当x＝2时，y取得最大值3m，
∴-(2-2)²＋4＝3m，即3m＝4，
（ⅲ)当m＞2时，
∵a＜0，抛物线的开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，
∴当x＝m时，y取得最大值3m，
∴-(m-2)²＋4＝3m，即m²-m＝0，
解得 m1＝0（舍去），m2＝1（舍去）；
（2）【分析】因为直线l：y=kx＋b’经过抛物线的顶点P(h，4)，故b’＝4-kh，得直线l的解析式为：y=kx＋4-kh＝k(x-h)＋4，
因为线段PQ（不含端点P、Q）上至少存在两个横坐标为整数的点，可得
结合-4≤k≤-2，即可求得a的取值范围.
【解析】∵直线l：y=kx＋b’经过抛物线的顶点P(h，4)，
∴kh＋b’＝4，
∴b’＝4-kh，
∴直线l的解析式为：y=kx＋4-kh＝k(x-h)＋4，
∴a(x-h)²＋4＝k(x-h)＋4，
∵线段PQ（不含端点P、Q）上至少存在两个横坐标为整数的点，得
∵a＜0，
∴k＜2a，
∵-4≤k≤-2，
∴-2≤0.5k≤-1，
∴a的取值范围是-1＜a＜0.
【点评】本题是带有参数的二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质、函数与不等式的关系、待定系数法、分类讨论、解方程（组）、解不等式等知识.应用好抛物线的性质，函数与不等式的关系，数形结合是解答本题的关键． https://t.cn/zQ1HyUv

【钟馗到底是什么】捉鬼天师钟馗，民间流传甚广的钟馗捉鬼图而为人所熟知。然而钟馗并非人的名字，只是一种植物。明李时珍《本草纲目》记述。钟馗源于仲葵，是一种植物的名称，它的根可以当武器用。有人借谐音编出一个手执仲葵捶打鬼的钟馗。因故事讲的是专门捉拿恶鬼,很符合人们的心理，故受到欢迎！#沈月# https://t.cn/EAt7klc

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