导数在研究函数中的应用
1.求函数的切线方程。
求曲线f(x)在点p(x。，f(x。))处的切线方程的步骤:
（1）求出切线斜率k=f′(x。)；
（2）利用点斜式求出切线方程:y-f(x。)=f′(x。)(x-x。)。
注意:求过点(x。，y。)的切线方程，如果点在已知曲线上，容易认为该点就是切点进行求解而造成失误。
求曲线方程，首先要区分是“在某点”还是“过某点”，如果是“过某点”，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方。
例:已知曲线y=1/3x2十4/3。
（1）求曲线在点p（2，4）处的切线方程。
（2）求曲线过点p(2，4)的切线方程。
思路:（1）先求出曲线的导函数y′，再将x=2代入y′求得切线的斜率，最后求出切线方程；（2）先求出切点坐标，再求切线方程。
解析:如图 https://t.cn/zQ1HyUv

#王楚钦[超话]#
继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x)，由于P(n)(x)=n!An,n!An 是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。

#王楚钦[超话]#
【王楚钦】
证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n